精品解析：江苏南通市市区、通州、启东2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一般方程化为斜截式方程，得出斜率即可得出倾斜角. 【详解】直线可化为， 设直线的倾斜角为，， 则斜率，即. 故选：C 2. 数列，，，…的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过逐项验证即可求解. 【详解】对于A和C，令，分母显然无意义，排除， 对于B，令，得，错误， 对于D，分别令，得符合，正确， 故选：D 3. 已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将曲线的方程化为标准方程，结合曲线的形状可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，曲线的方程可化为， 因为曲线是焦点在轴上的椭圆，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 故选：A. 4. 在空间四边形中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用空间向量加减法及数乘运算计算求解. 【详解】在空间四边形中， ，， 所以， 则. 故选：C. 5. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可 【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法， 同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种. 故选：B. 6. 已知数列满足：，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推关系式逐项计算可得的值. 【详解】由题意可得，且，则， ，，， ，，， 故选：B. 7. 已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 8. 已知抛物线C：，若在C上存在点P，使得过点P可作两条互相垂直的直线与圆相切，则r的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出到圆心的距离与半径的关系，再结合抛物线的性质求解. 【详解】设圆的圆心坐标为，半径为， 因为过点P可作两条互相垂直的直线与圆相切，所以， 设点，因为点在抛物线上，所以， 所以， 所以当时，，即，所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【详解】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD 10. 记为数列的前n项和，已知，是公差为d的等差数列，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是等差数列 D. “”是“”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式得，再根据，求得，从而依次判断. 【详解】根据题意，是公差为d的等差数列， 则，则， 当时， ， 当时，满足上式，所以， 则， 所以是等差数列，C正确； 若，则，所以，A正确； 若，，B错误； 因为 ， 所以“”是“”的充要条件，D正确. 故选：ACD 11. 已知正方体，是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若到点与点的距离相等，则的轨迹为直线 B. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点与点、点到直线的距离公式及向量法求线线角、线面角，结合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义逐项分析判断即可. 【详解】设正方体边长为2，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 设. 选项A：，. 则，整理得， 此时为直线，A正确. 选项B：直线方程为：，，到直线的距离为. 直线方程为：，，，到直线的距离为. 则，整理得，此时为抛物线，B正确. 选项C：，易知为平面的一个法向量. 则， 所以，此时为圆，C错误. 选项D：，， 则， 即，此时为双曲线，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】表示出，再根据点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为点在平面内，又， 所以，又是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 13. 已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先设弦的中点，利用垂直关系，建立方程，求点的轨迹方程；再与圆联立，求出交点得到公共弦长. 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 设弦的中点，则，， 则，即. 联立两圆，解得：， 故所求弦长为：. 故答案为： 14. 已知数列的前n项积为，，，则____（用阶乘表示）；若数列的前n项和为，且恒成立，则m的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】变形给定的通项，利用乘法交换律、结合律，结合累乘法求出，再利用阶乘的性质，裂项相消法求和，进而求出m的最小值. 【详解】当时，， ； ，因此， 由恒成立，得，所以m的最小值为2. 故答案为：；2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前项的和为. （1）若是等比数列，且，，求； （2）若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，首先判断，再等比数列求和公式得到方程组，即可求出、，从而得解； （2）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质求出，再由求和公式及等差数列通项公式计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为. 因为，所以， 所以，， 则，整理得，解得，所以. 所以. 【小问2详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以. 16. 已知双曲线：与抛物线：有相同的焦点. （1）若，在第一象限的交点为，且，求的方程； （2）过点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点.若，求的离心率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用抛物线的定义求出点的坐标，代入双曲线方程中并结合的关系求解即可； （2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式得到直线的斜率，利用直线与渐近线平行的关系得到，求解离心率即可. 【小问1详解】 抛物线：的焦点，准线方程为， 由，结合抛物线的定义知，点的横坐标为， 所以点坐标为. 所以解得 所以的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为. 联立方程组 消得， 设，，则. 由， 解得. 因为直线与的一条渐近线平行，所以， 所以的离心率. 17. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求证：是等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，结合及等差数列的定义证明即可； （2）首先求出，即可求出，从而得到，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 由， 则当时，， 两式相减得，， 所以，即 因为，则，所以， 所以是等差数列，且公差为. 【小问2详解】 当时，， 即，解得或（舍去）. 由（1）知，. 所以. 所以， ， 两式相减得， 即， 所以. 18. 如图，在正四棱锥中，，为与的交点，点E，F分别为棱，的中点，且. （1）求的长度； （2）求二面角的正弦值； （3）若，且A，E，F，G四点共面，求的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，根据两向量垂直数量积为，得到的值； （2）分别计算平面和的法向量，利用向量法求解即可； （3）求出平面的一个法向量，利用A，E，F，G四点共面，得出，即可求解. 【小问1详解】 在正四棱锥中，以O为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，则，，，. 设，则，. 所以，. 因为，所以，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， ，. 设平面的法向量为. 由得 则，取，则， 即平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 由得 取，则，， 即平面的一个法向量为. 设二面角的大小为，则， 所以， 即二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 因为，， 由得 则，取，则， 即平面的一个法向量为. 因为A，E，F，G四点共面，则， 所以， 解得. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的焦距为，且经过点. （1）求C的方程； （2）若三点P，Q，R都在C上，且P，Q关于点O对称，直线与圆O：相切. （i）从下面两个结论中选择一个证明： ①直线与圆O相切；②为等腰三角形： （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）答案见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得的两个方程，即可求解； （2）（i）选择①：当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设方程为，设，，则.由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即的方程；直线与圆联立 ，韦达定理得，.求出圆心到直线的距离，结合上述式子，即可证明；选择②：要证为等腰三角形，即证，即证.当直线的斜率不存在时，同①知，满足.当直线的斜率存在时，设方程为，设，，则.结合①证即可； （ii）由（i）知，的面积当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，由韦达定理及函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由C的焦距为，且经过点， 则，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 如图： （i）选择①：当直线的斜率不存在时， 此时直线的方程为（或）， 不妨取点，则，， 所以直线的方程为，满足与圆O相切. 当直线的斜率存在时，设方程为， 设，，则. 因为直线与圆O：相切， 所以，即. 联立方程组消得，， 所以，. 因为直线的方程为， 即， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆O相切. 综上，直线与圆O相切. 选择②：要证为等腰三角形， 即证，即证. 当直线的斜率不存在时，同①知，满足； 当直线的斜率存在时，设方程为， 设，，则， 同①知，，， 所以 ， 所以. 所以为等腰三角形. （ii）由（i）知，，故的面积为 . 当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时， 由， 所以. 设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 数列，，，…的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间四边形中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 6. 已知数列满足：，.则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线C：，若在C上存在点P，使得过点P可作两条互相垂直的直线与圆相切，则r的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 记为数列的前n项和，已知，是公差为d的等差数列，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是等差数列 D. “”是“”的充要条件 11. 已知正方体，是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若到点与点的距离相等，则的轨迹为直线 B. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 13. 已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 14. 已知数列的前n项积为，，，则____（用阶乘表示）；若数列的前n项和为，且恒成立，则m的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前项的和为. （1）若是等比数列，且，，求； （2）若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值. 16. 已知双曲线：与抛物线：有相同的焦点. （1）若，在第一象限的交点为，且，求的方程； （2）过点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点.若，求的离心率. 17. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求证：是等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 18. 如图，在正四棱锥中，，为与的交点，点E，F分别为棱，的中点，且. （1）求的长度； （2）求二面角的正弦值； （3）若，且A，E，F，G四点共面，求的值. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的焦距为，且经过点. （1）求C的方程； （2）若三点P，Q，R都在C上，且P，Q关于点O对称，直线与圆O：相切. （i）从下面两个结论中选择一个证明： ①直线与圆O相切；②为等腰三角形： （ii）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $