精品解析：北京燕山教育集团2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

2026北京燕山高二（上）期末 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡上交. 2026年1月 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，点在平面内，则的值为（ ） A. B. 1 C. 10 D. 11 5. 在展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 6. 在正三棱锥中，二面角的平面角为，则与平面所成角的正切值为（ ） A B. C. D. 7. 从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点F是双曲线一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论错误的是（ ） A. 平面CMN截正方体ABCD—所得的截面图形是五边形 B. 直线到平面CMN距离是； C. 存在点P，使得 D. △面积的最小值是． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线与直线垂直，则_________ 12. 已知，那么______，______.（用数字作答） 13. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 14. 已知抛物线的焦点到准线的距离为3，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为___________. 15. 已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论： （1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，； （2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆； （3）面积的最大值为； （4）线段长度的最大值为3． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）求点到平面的距离： （2）求直线与平面所成角的正弦值 18. 已知直线：与直线：，. （1）若，求a的值； （2）求证：直线与圆恒有公共点； （3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值. 19. 已知椭圆过点，，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线与椭圆的另一个交点为，为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 20. 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点.设平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若平面与棱交于点，求的值. 21. 已知椭圆的焦距为2，离心率为，点P为椭圆右顶点、F为椭圆右焦点．过椭圆右焦点作斜率不为0的直线l交椭圆于两点M和N，直线和直线、分别交于A、B两点． （1）求椭圆标准方程； （2）请判断以为直径的圆是否过x轴上两定点？若过请求出这两定点坐标，若不过说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京燕山高二（上）期末 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡上交. 2026年1月 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率等于倾斜角的正切值即可求解. 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为， 故选：B. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、、的值，可求得双曲线的离心率. 【详解】在椭圆中，，，则， 因此，双曲线的离心率为. 故选：C. 3. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆与抛物线的性质求解 【详解】抛物线的焦点为， 所以椭圆中 故选：D 4. 已知，，，点在平面内，则的值为（ ） A. B. 1 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的坐标运算，利用平面向量的共面定理即可得出. 【详解】∵点在平面内，∴存在实数，使得等式成立， ∵，，， ∴， ∴，解得. 故选：D 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 6. 在正三棱锥中，二面角的平面角为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题作图，根据二面角的平面角定义在图表示出，利用正三棱锥的几何性质，结合勾股定理与锐角三角函数，再根据线面角定义求解即可. 【详解】由题意可作图如下： 其中为线段的中点，为等边的中心， 易知， 在等腰中，由为线段的中点，则， 所以是二面角的平面角，则， 在正三棱锥中，易知平面， 因为平面，所以， 设底面等边的边长为，则， 在中，， 则，， 在中，， 在中，，由图可知为与平面所成角. 故选：D. 7. 从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用乘法分步原理分三步计算即得解. 详解】从中选一个数字，有种方法； 从中选两个数字，有种方法； 组成无重复数字的三位奇数，有种方法， 所以三位奇数的个数共有. 故选：B 8. 已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线距离公式和充分必要条件可判断. 【详解】由双曲线，可知，且渐近线方程为 若点F到直线l的距离，得，或， 如图，由双曲线性质可知，直线l与双曲线C没有公共点； 反之，若直线l与双曲线C没有公共点，因为直线l过原点， 由图可知，，或， 则， 即点F到直线l的距离大于或等于1， 所以，“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的充分不必要条件. 故选：A 9. 设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得． 【详解】设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上， ，， 又，所以，所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆上两动点与直线上动点间的“距离”的最小值问题，解题关键是取中点，把用表示，这样两动点转化为一个动点，求得点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论错误的是（ ） A. 平面CMN截正方体ABCD—所得的截面图形是五边形 B. 直线到平面CMN的距离是； C. 存在点P，使得 D. △面积的最小值是． 【答案】D 【解析】 【分析】作出截面图形判断A；由已知可推得平面，先求出以及的面积，利用等积法可判断B；以A点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求得利用坐标法可判断C、D. 【详解】如图1，直线与、的延长线分别交于，连接分别交于，连接， 图1 则五边形即为所得的截面图形，故A正确； 由题可知，平面，平面， ∴平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 图2 设点到平面的距离为h，由正方体的棱长为2可得， ，， 则，， 所以， ∴， 因为， 则， ∴由，则，所以， 所以直线到平面的距离是，故B正确； 如图3，建立空间直角坐标系，则，，，， 则. 图3 设，， ∴，又，，， ∴，，， 假设存在点，使得， ∴，整理得， ∴（舍去）或， 故存在点，使得，故C正确； 由上知，所以点在的射影为， ∴点到的距离为： ， ∴当时，， ∴故面积的最小值是，故D错误. 故选：D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线与直线垂直，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】由直线垂直的判定有，即可求参数a. 【详解】由题设知：，解得. 故答案为： 12. 已知，那么______，______.（用数字作答） 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】把代入已知等式可求出，再把代入已知等式可求出，再结合的值可求得结果. 【详解】把代入已知等式，得， 把代入已知等式，得， 所以， 故答案为 1;． 13. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系.由题意该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，所以双曲线过点和，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径. 【详解】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点到准线的距离为3，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为___________. 【答案】 ## 4.5 【解析】 【分析】根据的几何意义得，设直线：，代入，设、， 根据韦达定理得、，结合求出，得，根据求出即可得解. 【详解】依题意可得，则，， 设直线：， 联立，消去得， 设、， 则，，， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以，即，所以， 因为，所以. 所以点到轴的距离为. 故答案为：. 15. 已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论： （1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，； （2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆； （3）面积的最大值为； （4）线段长度的最大值为3． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】将点代入曲线中，即可求出曲线的方程，即可判断（1）；将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），代入化简后为以原点为圆心，半径为2的圆，即可判断（2）；设直线为：，椭圆与直线联立，韦达定理，表示出，当时，即可求出的最大值；求出到直线直线：的距离，表示出面积，由均值不等式即可求出最大值，即可判断（4）. 【详解】点在曲线：上，所以，所以曲线：，所以曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，所以（1）错误； 将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），设曲线上任意一点设为，扩大后的坐标设为，所以，所以，因为在上，所以，所以化简后为：，表示以原点为圆心，半径为2的圆，所以（2）正确； 设直线为：，所以联立得：， 即， ，所以 ，因为，所以 当时，，所以（4）错误； 到直线直线：的距离为：， ，当且仅当时取等，即时取等，故（3）正确. 故选：（2）（3）. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 【答案】（1）18 （2）15 （3）84 【解析】 【分析】（1）根据排列组合求解即可． （2）按甲乙是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案． （3）先求男生甲和女生乙同时被选中的选法，再根据间接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法，再根据分步乘法计数原理求解即可． 【小问1详解】 根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人， 男生有种选法，女生有种选法， 故选法有种； 【小问2详解】 根据题意，分3种情况讨论： 男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种． 男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种， 男生甲和女生乙被选中，有种， 则共有种选法. 【小问3详解】 男生甲和女生乙同时被选中的选法为种， 4人参加百米接力赛总安排方法为种， 甲跑第一棒的安排方法为种， 乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）求点到平面的距离： （2）求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到面的距离及线面角. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面，， 又，因此，，两两垂直， ，，点是的中点.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则， 取，则，，则， 点到平面的距离； 【小问2详解】 平面的法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线：与直线：，. （1）若，求a的值； （2）求证：直线与圆恒有公共点； （3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值. 【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据两直线平行，可直接得出的值； （2）求出直线所过定点在圆上，即可证明结论成立； （3）根据题中条件，由为直角三角形，得到为斜边，且，由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由圆的几何法表示出弦长，列出等量关系求解，即可得出的值. 【详解】（1）因为直线：的斜率为， 又，直线：，所以，则； （2）由，令可得，所以直线过定点， 因为显然满足，即点在圆上， 所以直线与圆恒有公共点； （3）因为圆的圆心为，半径为， 又直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，为直角三角形，所以，则为斜边，且， 又圆心到直线的距离为显然恒成立， 根据圆的性质可得：， 所以，解得. 【点睛】关键点点睛： 求解本题第三问的关键在于根据圆的性质，以及题中条件，确定为的斜边，并得到的长度，再结合点到直线距离公式，以及弦长公式，即可求解. 19. 已知椭圆过点，，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线与椭圆的另一个交点为，为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）垂直，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得、，计算即可得，即可得椭圆的方程； （2）求出直线，与曲线联立后可计算出点坐标，即可得直线与直线的斜率，即可得其位置关系. 【小问1详解】 椭圆过点，，故，离心率，故， 则，故； 【小问2详解】 由、，则直线为，即， 联立，可得，则， 故，则，即， 则、，有， 故直线与直线垂直. 20. 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点.设平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若平面与棱交于点，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，由条件易得，结合线面平行的判定可得平面，结合平面，平面平面，可得； （2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得为平面的法向量，设平面的法向量为，由题意可求，结合向量夹角公式即可求平面与平面夹角的余弦值； （3）由题意得，平面与平面共面，连接，设，结合条件可得，由（2）可得，即可求得的值，即的值. 【小问1详解】 在中，因为，分别为，中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 设，连接， 因为为正四棱锥，所以为正方形的中心， 所以，平面 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图： 由题意可知，，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则. 因为平面，所以为平面的法向量，， 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由题意得，平面与平面共面， 连接，设，（），所以， 因为，所以， 平面的法向量为， 由平面，可知， 即，解得． 即 21. 已知椭圆的焦距为2，离心率为，点P为椭圆右顶点、F为椭圆右焦点．过椭圆右焦点作斜率不为0的直线l交椭圆于两点M和N，直线和直线、分别交于A、B两点． （1）求椭圆标准方程； （2）请判断以为直径的圆是否过x轴上两定点？若过请求出这两定点坐标，若不过说明理由． 【答案】（1） （2）以为直径的圆过x轴上两定点，两定点坐标为，. 【解析】 【分析】（1）由已知可推得，，，，即可得到椭圆标准方程； （2）先求出直线斜率不存在时点的坐标以及以为直径的圆的方程，得到两个定点坐标.再证明当直线斜率存在时，以及即可得到结论. 【小问1详解】 由已知可得，，则. 又，所以，. 所以，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 以为直径的圆过x轴上两定点， 两定点坐标为，. 由（1）可得，椭圆右顶点，右焦点. 当直线斜率不存在时，方程为，可推得，. 易知分别与重合，则，， 此时圆心为，半径为，圆的方程为， 与轴交于两点，分别为，； 当直线斜率存在时，设方程为，，. 显然直线与椭圆相交， 联立直线方程与椭圆的方程 可得，， 根据韦达定理得，.且，. 又，直线方程为， 代入，可得点坐标为. ，直线方程为， 代入，可得点坐标为. 则，， . 即，所以，则点在以为直径的圆上. 同理可证，所以，则点在以为直径的圆上. 所以，以为直径的圆经过x轴上两定点， 两定点坐标为，. 【点睛】判断以为直径的圆过定点时，常用向量法.联立直线与圆锥曲线方程，根据韦达定理得到坐标的关系式，根据向量数量积为0，代入相关点的坐标化简后即可得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $