精品解析：四川宜宾市2025年秋期义务教育阶段教学质量监测 九年级 数学

2025年秋期义务教育阶段教学质量监测 九年级・数学 （总分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，即可解答． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 2. 下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B. 游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C. 宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D. 宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，需依据三类事件的概念对各选项进行判断． 【详解】∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． ∵A选项中金沙江与岷江在三江口汇入长江是客观既定事实，属于必然事件． ∵C选项中溶洞内不具备阳光直射的条件，一定不会出现阳光直射现象，属于不可能事件． ∵D选项中李庄白肉制作过程使用猪肉是其固有属性，属于必然事件． ∵B选项中游览蜀南竹海时是否遇到下雨，结果具有不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法对A进行判断，根据二次根式的乘法对B进行判断，根据二次根式的加减法对C、D进行判断． 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意； B. ，计算错误，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. 和不是同类二次根式，不能直接相加减，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是熟悉二次根式的四则运算法则． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12， ∴BC==5， ∴sin∠A==， 故选：D. 5. 一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间[距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．过点作于，交于，利用平行线分线段成比例定理，得到，再结合已知的和，求出的长度． 【详解】解：过点作于，交于， ∵， ∴， ∵木条等距且平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点的对应点在第三象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形的对应点坐标，把点A的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，点的对应点在第三象限，， ∴，即， 故选：D． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，熟练掌握根据图形边长关系列方程的方法是解题的关键． 先根据车道宽度米，求出停车位区域的长和宽，再根据停车位面积=停车位长×停车位宽列出方程，最后对照选项选出正确答案． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为米， 根据题意得，， 故选：A． 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，求解即可． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即， ∴ 故选：B． 10. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 12. 如图，、、是分别以、、为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点均在反比例函数的图象上．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及一元二次方程的解法，熟练掌握等腰直角三角形斜边中点的坐标规律和反比例函数的性质是解题的关键． 先设出第一个等腰直角三角形的直角边长，利用斜边中点在反比例函数上求出该边长，再依次求出后两个等腰直角三角形的直角边长，最后得到三个中点的纵坐标并求和． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形，是斜边中点， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， ∵是等腰直角三角形，是斜边中点， ∴， ∵在上， ∴， ∴， 解得（舍去负根）， ∴． 设， ∵是等腰直角三角形，是斜边中点， ∴， ∵在上， ∴， 代入，得， ∴， 解得（舍去负根）， ∴． ∴， 故选：D． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）． 13. 如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意得， 所以，， 解得， 故答案为：． 14. 如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，二维码中黑色部分的面积约为． 故答案为：． 15. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为__________． 【答案】##5厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质在凸透镜成像中的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质，由物距与像距的比例关系，得到物高与像高的比例关系，进而求出像的长度． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 16. 图中有三个正方形，大正方形与两个小正方形的面积分别记为，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据题意列出方程，解方程求出，进而求出． 【详解】解：设正方形的边长为， 如图， ∵四边形、四边形、四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴，是等腰直角三角形， 同理可得，，都是等腰直角三角形， ∴，， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 17. 如图，已知点A，B分别是反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A，B分别在反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上，即可得S△OBD，S△AOC|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出k的值． 【详解】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO=∠ODB=90°，∴∠OBD+∠BOD=90°． ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠OBD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC． 又∵∠AOB=90°，tan∠BAO，∴，∴，即，解得：k=±4． 又∵k＜0，∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及锐角三角函数的定义．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 18. 如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点．有如下结论：①；②；③；④为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①利用折叠性质得到，，在中求出，从而得到． ②在中，由，利用三角函数求出． ③构造全等三角形，证明． ④利用胡不归模型，将转化为某线段，再求垂线段最短． 【详解】解：①∵四边形是正方形，，对折使与重合，折痕为， ∴，， ∵过折叠使落在上的处， ∴， 在中，， ∴， ∴，故①正确． ②∵ 在中，，故②错误． ③由折叠可得，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④过作于，连接， ∵， ∴， ∴， 当时，取最小值，即取最小值， 此时，在中，，， ∴， ∴的最小值是，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数以及胡不归模型的应用，熟练掌握折叠前后图形的对应关系和转化思想是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的化简、负整数指数幂的运算、一元二次方程的解法等知识点，熟练掌握实数的混合运算规则和一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）先分别计算特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简和负整数指数幂，再进行加减运算． （2）先将方程整理为一般式，再通过因式分解法求解． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 或， ，． 20. 为丰富学生课余生活，促进学生全面发展和健康发展，宜宾市年秋假时间安排在月日日，某学校为了解七、八年级学生对活动的参与意向，设置了（市内研学）、（家庭亲子游）、（学校托管）、（居家实践）四个选项，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的统计图（如下）． （1）本次调查共抽取了__________名学生，并补全条形统计图； （2）所在扇形的圆心角度数为__________． （3）学校将在选项（市内研学）的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人参加研学小组，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1），补全条形统计图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握统计图表的数据分析方法和概率计算公式是解题的关键． （1）先根据选项的人数和所占百分比求出总调查人数，再依次计算、选项的人数，补全条形统计图． （2）用选项的人数占比乘以，得到所在扇形的圆心角度数． （3）用列表法列出四人中任选两人的所有等可能结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：总人数（名）， ∴本次调查共抽取了名学生， ∵选项人数（名） ∴选项人数（名） 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：的圆心角度数 A所在扇形的圆心角度数为 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种． ． 21. 宜宾中心现为川南第一高楼，外观设计融入宜宾的大江文化与自然风貌，以风帆为造型，寓意扬帆起航，象征宜宾在时代大潮中开拓进取，成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量宜宾中心的高度，如图，在地面观测点处测得楼顶的仰角为，沿水平方向向楼底行走100米到达观测点处，测得楼顶的仰角为，已知观测点与楼底在同一直线上，求宜宾中心的高度．（结果保留整数） （参考数据：） 【答案】宜宾中心的高度约为288米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握利用三角函数建立方程求解高度的方法是解题的关键．设宜宾中心的高度米，利用中得到，再在中用表示，最后根据列方程求解． 【详解】解：设米， ∵，， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 答：宜宾中心的高度约为288米． 22. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， （1）求的取值范围： （2）若，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键． （1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k． 【小问1详解】 解：方程中， ，，， 由题意可知：， 解得：； 【小问2详解】 ∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，即， ∵， ∴，即：①． ∵②， 联立①②解得： ∴， 解得：． 23. 今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 【答案】（1） （2）m的值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款电视机每次降价的百分率是x，根据原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据商家所获的总利润为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该款电视机每次降价的百分率是x， 由题意得： 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：由题意得： 整理得： 解得：，. 尽可能让利于顾客， . 答：m的值为 24. 【基础巩固】 (1)如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】 (2)如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，得出，即可求解； （3）过点作交的延长线于点，证明，得出，继而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， ； （3）过点作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根． （1）求点B、C的坐标； （2）点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值； （3）在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为点的坐标为； （2）； （3）P点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）证明，求得，再求得点的坐标为，据此即可求解； （3）先求得直线的解析式，设P点坐标为，分①和②两种情况讨论，利用相似三角形的性质分别列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：解方程， 解得或， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：，， ， 又点的纵坐标是3， ，， ， ， ， 又∵在中，， ， 又， ， ， ， 又∵四边形为矩形， ， ， 点的坐标为， 将代入到双曲线方程中得 ∴解得 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 由题意得：，， 在中，， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设P点坐标为， ①， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， ， 点坐标为； ②， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， ， 点坐标为， 综上所述：P点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合运用，涉及到求函数解析式、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程、勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期义务教育阶段教学质量监测 九年级・数学 （总分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2. 下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B. 游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C. 宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D. 宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 3. 下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（　　） A. B. C. D. 5. 一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间[距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（ ） A. 20 B. C. D. 6. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点的对应点在第三象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 10. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 11. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 12. 如图，、、是分别以、、为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点均在反比例函数的图象上．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）． 13. 如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是______． 14. 如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为________． 15. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为__________． 16. 图中有三个正方形，大正方形与两个小正方形的面积分别记为，若，则的长为__________． 17. 如图，已知点A，B分别是反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO，则k的值为_________． 18. 如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点．有如下结论：①；②；③；④为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是__________． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）解方程： 20. 为丰富学生课余生活，促进学生全面发展和健康发展，宜宾市年秋假时间安排在月日日，某学校为了解七、八年级学生对活动的参与意向，设置了（市内研学）、（家庭亲子游）、（学校托管）、（居家实践）四个选项，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的统计图（如下）． （1）本次调查共抽取了__________名学生，并补全条形统计图； （2）所在扇形的圆心角度数为__________． （3）学校将在选项（市内研学）的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人参加研学小组，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 21. 宜宾中心现为川南第一高楼，外观设计融入宜宾的大江文化与自然风貌，以风帆为造型，寓意扬帆起航，象征宜宾在时代大潮中开拓进取，成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量宜宾中心的高度，如图，在地面观测点处测得楼顶的仰角为，沿水平方向向楼底行走100米到达观测点处，测得楼顶的仰角为，已知观测点与楼底在同一直线上，求宜宾中心的高度．（结果保留整数） （参考数据：） 22. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， （1）求的取值范围： （2）若，试求的值． 23. 今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 24. 【基础巩固】 (1)如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】 (2)如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值． 25. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根． （1）求点B、C的坐标； （2）点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值； （3）在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $