精品解析：四川省宜宾市南溪区2024-2025学年 九年级 上学期教学质量检测数学试题

2024年秋期义务教育阶段教学质量监测 九年级·数学 （总分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的实数根是（ ） A. B. C. D. ， 3. 某校九年级（一）班共有40名同学，分为5个学习小组，周一数学老师课堂上要抽一个同学展示一道数学题，根据数学题的难度，要在适合展示该问题的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽一个，则恰好抽到甲的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，于点D，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 如图，交于点O，，，，点E，F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 宜宾市2022年的一般性公共预算收入275亿元，2024年预计一般性公共预算收入达到396亿元，设2023年、2024年的一般性公共预算收入的年平均增长率为x，根据题意列出的下列方程中正确的是（ ） A. B. C D. 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（ ） A. B. C. D. 9. 若，化简的结果是（ ） A. B. 5 C. D. 10. 如图，中，，，且，过点A作交延长线于点F，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 如图．点P从点出发向原点O运动，已知点，以为斜边向右作等腰，与y轴交于点D，当时，点P的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 如图，正方形中，点E是边上的动点，作于点F，交于点H，交于点G，设，有下列结论：①；②③当时，；④当时，．其中正确的有（ ） A ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）（注意：在试题卷上作答无效） 13 化简： ___________． 14. 下列语句：①“八月秋高风怒号”、②“夜晚举头望见明月”、③“大漠弯弓射中大雕”、④“日出东方”，其中随机事件有______（填序号） 15. 若、分别为方程的两根，则______． 16. 如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为______ 17. 如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为______ 18. 如图，中．，，D、E分别是AB，AC上的动点．且，则的最小值为______ 三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算、解方程： （1） （2） 20. 如图，的顶点坐标分别是、、 （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）在第一象限内画出将以原点O为位似中心，放大到原来的2倍的； （3）直接写出点、的坐标． 21. 某单位准备筹建一个新部门，需面向社会招收一批职工，单位组织报名的人员进行考试，便于择优录取，将考试结果评定为A、B、C、D四个等级，并绘制出如下两幅不完整的统计图，其中等级C所对的圆心角为，解答下列问题： （1）本次报名参加考试的有多少人； （2）补全条形统计图： （3）若等级A中只有两位女同志，单位要在等级A中随机选择两人担任部门领导，请用树状图求出恰好选中一男一女的概率． 22. 九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） （1）求的长度： （2）小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 23. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． （1）经过多少时间时，四边形为矩形； （2）经过多少时间时，四边形的面积为； （3）经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 24. 某政府工作人员发现某街道楼房外墙上有一块较大的宣传牌，为宣传社会主义核心价值观，他需要知道宣传牌的高度，便于设计24个字的大小，于是在正对宣传牌的点C处测得上沿点A的仰角为，往宣传牌直进12米到达点D处，又测得点A的仰角为，同时测得宣传牌下沿点B的仰角为（垂直于地面），请计算宣传牌的高度（结果保留根号） 25. 如图，直线与双曲线交于点和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D，设直线与x轴正半轴的夹角（）为． （1）求的值． （2）若，求a、b、k的值． （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P．使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋期义务教育阶段教学质量监测 九年级·数学 （总分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 2. 方程的实数根是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解；∵， ∴， 解得，， 故选：D． 3. 某校九年级（一）班共有40名同学，分为5个学习小组，周一数学老师课堂上要抽一个同学展示一道数学题，根据数学题的难度，要在适合展示该问题的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽一个，则恰好抽到甲的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的知识．直接利用概率公式即可解答． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽一个， ∴恰好抽到甲的概率为． 故选：D． 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是比例的性质，设，则，再代入计算即可． 【详解】解；∵， 设，则， ∴， 故选：A． 5. 如图，中，，，，于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形．先求得，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在与中，，． ∴． ∴， 故选：A． 6. 如图，交于点O，，，，点E，F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，利用“相似三角形对应中线的比等于相似比”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点E，F分别是、的中点， ∴， 故选：B． 7. 宜宾市2022年的一般性公共预算收入275亿元，2024年预计一般性公共预算收入达到396亿元，设2023年、2024年的一般性公共预算收入的年平均增长率为x，根据题意列出的下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为，根据公式列方程即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解及其解法，整理方程，把代入，结合可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵关于的一元二次方程有实数根， 整理得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 若，化简的结果是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的条件求得，推出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 10. 如图，中，，，且，过点A作交的延长线于点F，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，可得，可得，再证明，再进一步可得答案． 详解】解：∵， ∴，而，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C 11. 如图．点P从点出发向原点O运动，已知点，以为斜边向右作等腰，与y轴交于点D，当时，点P的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质．作轴，轴，证明，推出四边形是正方形，设，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为，， ∵等腰， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或， ∴或， ∴点P的坐标是或， 故选：C． 12. 如图，正方形中，点E是边上的动点，作于点F，交于点H，交于点G，设，有下列结论：①；②③当时，；④当时，．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．先证明，推出，，证明，推出，据此可判断①正确；设，则，求得，证明，分别求得，，据此可判断②正确；利用等积法求得，由，再用分别表示和的长，据此可判断③错误；当时，同理可判断④正确． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由正方形中知，即， ∴， ∴， ∴，①正确； 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴，②正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴，， ∴， ∴， ∴，③错误； 当时，，， ∴，， 又， ∴，④正确； 综上，①②④正确， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）（注意：在试题卷上作答无效） 13. 化简： ___________． 【答案】 【解析】 【分析】化简二次根式即可； 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 14. 下列语句：①“八月秋高风怒号”、②“夜晚举头望见明月”、③“大漠弯弓射中大雕”、④“日出东方”，其中随机事件有______（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查的是随机事件的概念，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义，即可求解． 【详解】解：①“八月秋高风怒号”、②“夜晚举头望见明月”、③“大漠弯弓射中大雕”，都是随机事件； ④“日出东方”，是必然事件； 故答案为：①②③． 15. 若、分别为方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，正确把握根与系数关系是解题关键，根据，，结合可得答案． 【详解】解： 是方程的两根， ，， ∴； 故答案为：13 16. 如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为______ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理．利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， 故答案为：5． 17. 如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，解一元二次方程．作的外接圆，作的直径，作于点，利用圆周角定理求得，证明四边形是矩形，推出，利用垂径定理结合圆周角定理求得，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：作的外接圆，作的直径，作于点，连接，，，如图， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得(负值已舍)， 故答案为：． 18. 如图，中．，，D、E分别是AB，AC上的动点．且，则的最小值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．作，使，利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出，得到，当点在线段上时，有最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：作，使，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值，最小值为， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，零次幂，含特殊角的三角函数值的混合运算； （1）先化简二次根式，二次根式的乘法运算，零次幂，代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 20. 如图，的顶点坐标分别是、、 （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）在第一象限内画出将以原点O为位似中心，放大到原来的2倍的； （3）直接写出点、的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3），． 【解析】 【分析】本题考查的是画轴对称图形，画位似图形，写出坐标系内点的坐标； （1）分别确定关于原点成中心对称的，再顺次连接即可； （2）分别确定以原点O为位似中心，放大到原来的2倍的，再顺次连接即可； （3）根据点、的位置可得其坐标； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问3详解】 解：由图可得：，． 21. 某单位准备筹建一个新部门，需面向社会招收一批职工，单位组织报名的人员进行考试，便于择优录取，将考试结果评定为A、B、C、D四个等级，并绘制出如下两幅不完整的统计图，其中等级C所对的圆心角为，解答下列问题： （1）本次报名参加考试的有多少人； （2）补全条形统计图： （3）若等级A中只有两位女同志，单位要在等级A中随机选择两人担任部门领导，请用树状图求出恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）40人 （2）画图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，列表法求概率： （1）用等级的人数除以所占的百分比，求出总人数即可； （2）求出等级的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：本次报名参加考试的人员有（人）； 【小问2详解】 解：等级有人， 等级的人数为：（人），补全条形图如图： 【小问3详解】 解：由题意，等级的人员为两男两女，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共12种等可能的情况，其中恰好选中一男一女的情况有8种， ∴恰好选中一男一女的概率． 22. 九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） （1）求的长度： （2）小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）4或9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形矩形得到，然后代数求解即可； （2）设，，，根据矩形矩形得到，得到，，然后根据一元二次方程的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形 ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4或9； 【小问2详解】 解：设，， ∵矩形矩形 ∴ ∴ 整理得， 根据题意得， ∴ ∴（负值舍去） 原矩形的长与宽的比值k的取值范围为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，一元二次方程的判别式，解分式方程，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 23. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． （1）经过多少时间时，四边形为矩形； （2）经过多少时间时，四边形的面积为； （3）经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 【答案】（1）当时，四边形为矩形； （2）当t为5时，四边形的面积为． （3）当t为或时，点P和点Q的距离为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，，，，． 依题意得：， 解得：． 答：当时，四边形矩形； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． 【小问3详解】 解：过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 24. 某政府工作人员发现某街道楼房外墙上有一块较大的宣传牌，为宣传社会主义核心价值观，他需要知道宣传牌的高度，便于设计24个字的大小，于是在正对宣传牌的点C处测得上沿点A的仰角为，往宣传牌直进12米到达点D处，又测得点A的仰角为，同时测得宣传牌下沿点B的仰角为（垂直于地面），请计算宣传牌的高度（结果保留根号） 【答案】宣传牌的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，延长交于点，则，证明，设，而，可得，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∴， 设，而， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴， ∴， ∴宣传牌的高度为米． 25. 如图，直线与双曲线交于点和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D，设直线与x轴正半轴的夹角（）为． （1）求的值． （2）若，求a、b、k的值． （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P．使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2），，； （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）求得，，得到，，利用正切函数的定义即可求解； （2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交坐标轴分别为点和，设，求得，证明，得到四边形，都是平行四边形，推出，再证明，据此求解即可； （3）设，分当点P在轴的正半轴上和点P在轴的负半轴上时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：， 令，则， ∴，，，， 在中，； 【小问2详解】 解：过点作轴平行线，过点作轴的平行线，交于点，交坐标轴分别为点和，如图， ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为， 设， ∴，，， ∴，，，， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形，都是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：设， 当点P在轴的正半轴上时，， ∵，， ∴， ∴，即， ∵与， 联立得， 整理得， 解得：，， ∴，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴； 当点P在轴的负半轴上时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$