精品解析：江苏南通市海门区2025-2026学年高二上学期数学期末试卷

高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数，再将代入导函数求值. 【详解】因为函数， 所以， 于. 故选：D 2. 如果，，那么直线不通过（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解. 【详解】因为，且，所以均不为零， 由直线方程，可化为， 因为，且，可得，y轴截距， 所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限． 故选：B. 3. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 详解】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项可求得结果 【详解】数列为等比数列，则， ，所以， 所以， 故选：C 5. 已知直线垂直于直线，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【详解】因为直线垂直于直线， 所以，解得. 故选：A. 6. 已知在四面体中，，，.点在棱上，满足，点在棱上，满足.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减、数乘运算化简即可. 【详解】由题意得，， 所以， 故，则. 故选：B 7. 已知等差数列的前项和为，若，，则对于任意的，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得，进而可求公差，求得通项公式，令，可得数列的前5项为正数，第6项为0，可求的最大值. 【详解】由，可得，所以，解得， 又，所以公差， 所以等差数列的通项公式为， 令，解得，所以数列的前5项为正数，第6项为0， 又公差，所以数列单调递减，所以的最大值为. 故或. 故选：B. 8. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，它到双曲线的一条渐近线的距离为，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用焦点到渐近线距离求出的值，再结合渐近线倾斜角的关系求出的值，进而得到双曲线的方程. 【详解】由题可知，双曲线的一条渐近线为，即， 所以， 设为渐近线的倾斜角，为渐近线的倾斜角， 所以， 又，，所以，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 《庄子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若一尺之棰长度为1，第一天得到的长度为，第天得到的长度记为，且数列的前项和为，则（ ） A. 是公比为的等比数列 B. C. 任意， D. 存在，，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列的定义、通项公式、前项和公式，结合任意性定义、存在性定义逐一判断即可. 【详解】根据题意，结合等比数列的定义可知是公比为的等比数列， 所以选项A正确； ，所以选项B不正确； ，任意， 因为 所以，因此选项C正确； 若， 因为，公比为，， 所以该等比数列是单调递减数列， 所以， 所以，因此不存在，，使得， 所以选项D不正确. 故选：AC 10. 在平面直角坐标系中，设过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，且抛物线在点，处的切线交于点，则（ ） A. B. 直线，的斜率之积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断AB；利用导数求出切线方程，联立求出，再计算即可判断C；利用两点间距离公式计算. 【详解】由题意得，，且直线的斜率存在，故可设， 联立，得， 则， 则，，故A正确； ，故B错误； 因为，所以， 则切线，即， 同理可得，， 联立，两式相减得， 两式相加得，则， 则 ， 则，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 11. 在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点在侧面内运动（含边界），且点到点的距离等于到棱的距离，记点的运动轨迹为曲线，点为曲线的顶点，则（ ） A. 曲线是抛物线的一部分 B. C. 二面角的正切值为2 D. 点到平面的距离最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据点到定点与到定直线的距离相等，在侧面内建立方程，判断曲线 Γ 为抛物线的一部分；对B，求出向量与的坐标，通过数量积为证明两直线垂直；对C，求出平面与平面的法向量，利用法向量夹角的三角函数关系，计算二面角的正切值；对D，根据点的轨迹方程，分析其坐标（即到平面的距离）在区间 [0,1] 内的最大值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则， 因为是中点，所以, 设点，则， 到的距离为，所以，整理得， 对于A：在平面内，是抛物线方程，且在侧面内， 所以是抛物线的一部分，A正确； 对于B：由前分析可知，所以, 因为，所以， 即，B正确； 对于C：平面即平面，显然是平面的一个法向量； 设平面的法向量为，， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 所以， ， 所以，C错误； 对于D：因为点的运动轨迹方程为， 点到平面的距离就是其坐标的绝对值， 问题即求在的范围内，求的最大值， 函数是一个开口向上的二次函数，其对称轴为， 在区间内，函数的最大值出现在区间的端点处， 当时，， 当时，， 所以点到平面的距离的最大值为，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的首项为1，对于任意，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】对于任意，，， 令，所以， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以. 故答案为： 13. 已知点，是圆内接正方形的一条对角线上的两个端点，则圆的半径大小为______，圆上动点到点的距离的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】线段为圆的一条直径可求圆心和半径，再判断点与圆的位置关系即可求出范围. 【详解】由题意得，线段为圆的一条直径，且， 所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆外， 则的最大值为，最小值为， 故取值范围是. 故答案为：； 14. 已知直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，若点在第一象限，且，，依次成等差数列，则直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，设直线的方程为，联立方程组，得到，结合，求得的值，即可得到直线的斜率. 【详解】由椭圆，可得，则，所以， 因为，，依次成等差数列，可得， 即，即， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为，可得， 代入上式，可得， 消去，可得，解得，因为，所以， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的导数为. （1）当时，求曲线在处切线的方程； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为，当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义结合直线点斜式求解即可； （2）求导,对分类讨论，进而求解的解集. 【小问1详解】 当时，，则，， 所以曲线在处切线的斜率， 所以曲线在处切线的方程为，即. 【小问2详解】 由题意知，， 当时，对恒成立，故解集为， 当时，令，解得或（不符合题意舍去）， 若，则，即； 若，则，即， 故解集为， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为. 16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，由题意可得，求解可求得圆的标准方程； （2）利用弦长求得圆心到直线的距离，分直线的斜率是否存在两种情况可求解. 小问1详解】 设圆心，因为圆经过点，， 所以， 所以， 整理得，解得，所以圆心， 又圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 根据垂径定理得，圆心到直线的距离为， 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为3，符合题意； 当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， 所以由点到直线的距离公式得 即，解得，直线的方程为，即； 综上所述：直线的方程为或. 17. 已知数列满足，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，求数列的前2025项和； （3）设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把递推式变形，证明为常数； （2）先求，再对裂项，用裂项相消求和； （3）对进行裂项相消求和得到，代入不等式化简得到，通过分析函数的单调性，求出其最大值，从而确定的取值范围. 【小问1详解】 证明：由，又， 两边同除以得，即， 又，故. 所以是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 前项和，. 当时,. 【小问3详解】 由（1）知， 因此， 数列的前项和为： 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得： 令，分析其单调性： 故在上单调递减，因此. 要使对一切恒成立，只需，即. 所以，实数的取值范围为. 18. 如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，进而可得，结合已知可证结论； （2）取的中点，连接，可证两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得两平面夹角的余弦值； （3）设，利用向量的线性运算求得，利用，求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为三角形是等腰直角三角形，且，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，， 所以四边形为矩形，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面与平面所成的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，又，则， 由（2）可得，所以， 因为点为的中点，所以， 所以， 因为直线与平面交于点，所以， 解得，所以. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，右焦点为，若点为椭圆的右顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上两点，（异于点）关于坐标原点对称，直线，分别交椭圆于另一点和点. （ⅰ）求直线与直线的斜率之积； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）3. 【解析】 【分析】（1）设出F点坐标，则，根据离心率，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. （2）（ⅰ）设，则，由（1）得，可得直线AF的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理，可得D点坐标，进而可得E点坐标，即可得直线PD，PE斜率，整理计算，即可得答案. （ⅱ）由（ⅰ）知A、B、D的坐标，即可得直线AB的方程和A、B两点间距离，根据点到直线距离公式，可得点D到直线AB的距离d，代入面积公式，利用换元法，结合基本不等式，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 设半焦距为c，则右焦点，又椭圆右顶点， 所以， 由，解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，则，由（1）得， 则直线AF的方程为， 联立，得 ， 设，由韦达定理得，解得， 代入直线方程，可得，即， 因为，则可得， 因为，所以， ， 所以 （ⅱ）由（ⅰ）知，，，， 则，且直线AB的方程为，即， 则点D到直线AB的距离， 所以面积 则， 令，由，得，则， 代入可得 ， 令，则，当且仅当，即时取等号， 则， 代入可得， 为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为，所以当时，有最大值，且为9， 所以面积S的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 如果，，那么直线不通过（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 64 5. 已知直线垂直于直线，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知在四面体中，，，.点在棱上，满足，点在棱上，满足.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，，则对于任意的，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为双曲线：（，）右焦点，它到双曲线的一条渐近线的距离为，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 《庄子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若一尺之棰长度为1，第一天得到的长度为，第天得到的长度记为，且数列的前项和为，则（ ） A. 是公比为的等比数列 B. C. 任意， D. 存在，，使得 10. 在平面直角坐标系中，设过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，且抛物线在点，处的切线交于点，则（ ） A. B. 直线，的斜率之积为 C. D. 11. 在棱长为1正方体中，点是棱的中点，点在侧面内运动（含边界），且点到点的距离等于到棱的距离，记点的运动轨迹为曲线，点为曲线的顶点，则（ ） A. 曲线是抛物线的一部分 B. C. 二面角的正切值为2 D. 点到平面的距离最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的首项为1，对于任意，，，则______. 13. 已知点，是圆内接正方形的一条对角线上的两个端点，则圆的半径大小为______，圆上动点到点的距离的取值范围是______. 14. 已知直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，若点在第一象限，且，，依次成等差数列，则直线的斜率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的导数为. （1）当时，求曲线在处切线的方程； （2）解关于不等式. 16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 17. 已知数列满足，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，求数列前2025项和； （3）设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值. 19. 已知椭圆：（）离心率为，右焦点为，若点为椭圆的右顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上两点，（异于点）关于坐标原点对称，直线，分别交椭圆于另一点和点. （ⅰ）求直线与直线的斜率之积； （ⅱ）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $