精品解析：安徽池州市东至县部分学校2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

安徽东至县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级 2月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是二次函数，则的值是（ ） A. B. 3 C. 9 D. 2. 将抛物线（a、b是常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则a、b的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. （2016湖南省株洲市）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，x的取值范围是（　　） A. x＜2 B. x＞5 C. 2＜x＜5 D. 0＜x＜2或x＞5 5. 如图，若点是线段的黄金分割点，，则AD的长是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 7. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ） A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形 8. 我国古代在利用“计里画方”的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和记照板来测量距离在如图所示测量高度的示意图中，照准板内芯的高度观测者的眼睛与在同一水平线上，若，，则的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（ ）． A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 没有变化 10. 在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知关于的函数是二次函数，则 __________． 12. 若二次函数的图象过点，则关于的一元二次方程的两个根为__________． 13. 如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为__米（结果保留根号）． 14. 如图，小明用个相似的直角三角形设计了一个类似海螺的图案，若，则的长为__________．（结果保留一位小数，参考数据：） 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为． （1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； （2）直接写出当函数值时，自变量的取值范围． 16. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且，． （1）求证：． （2）若，，的面积为20，求的面积． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 18. 如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． （1）求证：． （2）添加一个条件          求证：． 19. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面（即），凉亭顶端离地面（即），小明到凉亭的距离为，凉亭离城楼底部的距离为，小亮身高为，已知，，在同一直线上，，，在同一直线上，，，求城楼的高度． 20. 如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图1，如果，求的值； （3）如图2，如果，求的余弦值． 21. 纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目，纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）．如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点A的高度为，当纸飞机的最大高度达到时，它的水平飞行距离为． （1）求这条抛物线的解析式； （2）小明的前方有一堵高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙壁的厚度） （3）小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1:2.5（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过），纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？ 22. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米． （1）如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 23. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，． （1）求山脚到河岸的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） （参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽东至县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级 2月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是二次函数，则的值是（ ） A. B. 3 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数为2，且二次项系数不为零，计算即可． 【详解】∵是二次函数， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 2. 将抛物线（a、b是常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则a、b的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线关于y轴对称的抛物线为，再根据抛物线平移的性质得出抛物线向下平移2个单位长度后为，即可得出a和b的值． 【详解】解：∵， ∴抛物线关于y轴对称的抛物线为， ∵抛物线向下平移2个单位长度后为， ∵与关于y轴对称， ∴， 整理得：， ∴，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减． 3. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 4. （2016湖南省株洲市）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，x的取值范围是（　　） A. x＜2 B. x＞5 C. 2＜x＜5 D. 0＜x＜2或x＞5 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据题意得：当时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．故选D． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 5. 如图，若点是线段的黄金分割点，，则AD的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，掌握知识点是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点，， ∴． 故选：B． 6. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证，利用相似三角形性质得到，即，在直角三角形ABD中易得，从而解出DC，得到△ABC的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】 易证 即 由题得 解得 的高易得： 故选B 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC的长度 7. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ） A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形 【答案】A 【解析】 【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案． 【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形． 故选：A 【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形． 8. 我国古代在利用“计里画方”的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和记照板来测量距离在如图所示测量高度的示意图中，照准板内芯的高度观测者的眼睛与在同一水平线上，若，，则的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键，由题意易得，则，然后即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴，即 ∴ 故选：A． 9. 在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（ ）． A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 没有变化 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变． 【详解】∵中，如果每个边都缩小为原来的， ∴锐角A的对边与邻边的比值不变， ∴锐角A的正切值不变． 故选D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值是直角三角形边长比，取值由角的大小决定． 10. 在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，根据题意，构造，则，解答即可． 本题考查了网格上计算正切函数值，熟练掌握定义，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 根据题意，构造， 则， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知关于的函数是二次函数，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ，即． 故答案为：． 12. 若二次函数的图象过点，则关于的一元二次方程的两个根为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数的图象具有对称性，可以写出该函数的对称轴和轴的另一个交点坐标，然后即可写出一元二次方程的两个根． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 二次函数的图象过点， 该函数图象与轴的另一个交点为， 一元二次方程的两个根为，， 故答案为：，． 13. 如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为__米（结果保留根号）． 【答案】100+100 【解析】 【分析】由已知可得∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，继而可得∠DCB=60°，从而可得AD=CD=100米，DB= 100米，再根据AB=AD+DB计算即可得. 【详解】∵MN//AB，∠MCA=45°，∠NCB=30°， ∴∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=∠CDB=90°，∠DCB=60°， ∵CD=100米， ∴AD=CD=100米，DB=CD•tan60°=CD=100米， ∴AB=AD+DB=100+100（米）， 故答案为100+100． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用． 14. 如图，小明用个相似的直角三角形设计了一个类似海螺的图案，若，则的长为__________．（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．先求出，再解直角三角形，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ， ， ， ． 故答案为： 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为． （1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； （2）直接写出当函数值时，自变量的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）． 【解析】 【分析】（1）将和两点代入二次函数，求得和；从而得出抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标； （2）令，解得，，得出此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值时，自变量的取值范围． 【小问1详解】 由二次函数的图象经过和两点， 得， 解这个方程组，得 ， 抛物线的解析式为， 由于， 则抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 令，得． 解这个方程，得，． 此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为． 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大． 16. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且，． （1）求证：． （2）若，，的面积为20，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， 即， 又， （2）125 【解析】 【分析】（1）由，，即可得出； （2）证明，得，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）由（1）得：， ， 又， ， 又，， ， ， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1）对称轴是直线 （2）；， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 18. 如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． （1）求证：． （2）添加一个条件          求证：． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 19. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面（即），凉亭顶端离地面（即），小明到凉亭的距离为，凉亭离城楼底部的距离为，小亮身高为，已知，，在同一直线上，，，在同一直线上，，，求城楼的高度． 【答案】城楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造直角三角形，过点A作于点M，交于点N，可得出，继而利用相似三角形的判定与性质解答． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意可得：，，， ， ， ， ， 解得：， ， 故城楼的高度为：（米）， 答：城楼的高度为． 20. 如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图1，如果，求的值； （3）如图2，如果，求的余弦值． 【答案】（1） 证明：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，则，，由等腰梯形，可得，则，进而结论得证； （2）由垂径定理得，证明，则，设，则，证明，则，，由勾股定理得，，，则，根据，求解作答即可； （3）由（2）可知，，则，，由（2）可知，，则，，如图，作，垂足为点I，连接，则，设，，则，，证明，可得，，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， 如图，作，垂足为点I，连接， ∵， ∴， 设，，则，， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，余弦等知识．熟练掌握等腰梯形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，余弦是解题的关键． 21. 纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目，纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）．如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点A的高度为，当纸飞机的最大高度达到时，它的水平飞行距离为． （1）求这条抛物线的解析式； （2）小明的前方有一堵高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙壁的厚度） （3）小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1:2.5（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过），纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？ 【答案】（1） （2）米 （3）在米时，开始滑行 【解析】 【分析】（1）根据题意得抛物线经过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式求解即可； （3）设滑行高度为h米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得抛物线经过， ∴设抛物线的解析式为，将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 ∵高的墙壁， ∴将代入解析式得：， 解得：，， ∴小明至少距离墙壁米； 【小问3详解】 设滑行高度为h米，则水平滑行的距离为米， 由（1）得， 解得：（舍去），， 为纸飞机飞行得距离， ∴， 解得：（舍去），， ∴在米时，开始滑行． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 22. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米． （1）如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】（1）3； （2）点M到地面的距离为2.25米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，再把代入解析式即可求解． 【小问1详解】 由题意得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点， 当时，， 故答案为：3； 【小问2详解】 设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，（米）， ∴点M到地面的距离为2.25米． 23. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，． （1）求山脚到河岸的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】（1）24m；（2）53.3m 【解析】 【分析】（1）先利用等角对等边和坡度值分别求出CE和AC，最后相减即可得到AE的长； （2）利用三角函数值求出CF的长后，利用线段之间的和差关系即可求出EF的长． 【详解】解：（1）∵，坡面的坡度， ∴m， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴山脚到河岸的距离为24m； （2）∵，， ∴， ∴, ∴， ∴河宽的长度约为53.3m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，要求学生能正确理解题意，能建立文字与图形之间的关联，能用数学符号表示实际问题中的数量关系等，解决本题的关键是能正确利用坡比值和利用三角函数值求线段的长等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $