精品解析：江苏省南通市海门区2025-2026学年高一上学期期末数学试题

高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如露改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设角的终边经过点，则（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 函数是偶函数，在上单调递减 B. 函数是偶函数，在上单调递增 C. 函数是奇函数，在上单调递减 D. 函数奇函数，在上单调递增 6. 从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满混合均匀；再倒出，又用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的，则至少要重复操作几次？（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 7. 若函数，则关于的方程的不同的解共有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 8. 已知是定义在上的奇函数，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11 已知，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是偶函数，则实数__________. 13. 若，则__________. 14. 已知函数，则__________，若对于任意，存在，使得，则所有这样的集合的并集为__________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数，其图象的相邻对称轴的距离为. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. （i）求函数在区间上的最值； （ii）若函数在上的零点从小到大依次为，求的值. 18. 已知函数且. （1）若，判断函数奇偶性并证明； （2）当时，求证：对于任意，都有； （3）设，若在上的值域为，求的取值范围. 19. 如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. （1）若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求围成的三角形面积的最小值； （2）若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为1，长为､转动灵活的矩形平板车（车高忽略），要使其始终能通过该直角走廊，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如露改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，改变量词否定结论即可. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合，进而求得集合，利用交集的意义可求得. 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断A；构造函数，利用函数的单调性比较数的大小判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即，故A错误； 对于B，因为在上单调递减，又，所以，故B错误； 对于C，因为在上单调递增，又，所以，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，又，所以，故D正确. 故选：D. 4. 设角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义与二倍角公式求解即可. 【详解】角的终边经过点,, 所以，， 所以. 故选：C 5. 已知函数，则（ ） A. 函数是偶函数，在上单调递减 B. 函数是偶函数，在上单调递增 C. 函数是奇函数，在上单调递减 D. 函数是奇函数，在上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用函数的解析式判断单调性即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以函数在上单调递增. 故选：D. 6. 从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满混合均匀；再倒出，又用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的，则至少要重复操作几次？（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为升，再列不等式，结合指数，对数函数的性质求解. 详解】第一次倒出，纯酒精剩余， 第二次倒出，纯酒精剩余， 第次后，纯酒精剩余， 则，两边同取以为底的对数得， 则，所以，则至少操作次. 故选： 7. 若函数，则关于的方程的不同的解共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】分别作出与的图象，即可得答案. 【详解】作出与的图象，如下图所示， 由图象可得与的图象只有1个交点， 所以关于的方程的不同的解共有1个. 故选：A 8. 已知是定义在上的奇函数，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，B，C，利用举反例并结合正弦函数的性质判断D即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 对于A，由题意得，令， 得到，解得，故A正确， 对于B，令，可得，故B正确， 对于C，令，可得，，故C正确， 对于D，令，由正弦函数性质得是定义在上的奇函数， 而，符合题意， 可得，，不满足，故D错误. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据诱导公式，可判断A、B的正误；根据余弦函数的单调性，可判断C的正误；令，代入检验，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则，故A错误； 选项B：若，则，故B正确； 选项C：因为在上单调递减，且， 所以，故C正确； 选项D：若，则， 此时满足，但，故D错误. 故选：BC 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算可得，可判断A；由，可判断B；由题意可得，令，在上单调递增，进而可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，由，得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，又，所以， 所以，所以， 令，可得在上单调递增，又， 所以，故C正确； 对于D，由C选项可知，所以，所以， 由，得，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是偶函数，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数是偶函数，可得对恒成立，计算求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以对恒成立， 即对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以，解得. 故答案为：. 13. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据，结合二倍角公式，诱导公式化简求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，则__________，若对于任意，存在，使得，则所有这样的集合的并集为__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接计算即可；利用分段函数的解析，可得函数在各区间上的单调性与值域，分析可得结论. 【详解】； 当时，在上单调递减，且， 若，当时，，故不符合题意； 当时，在上单调递增，且， 当时，存在，使得，符合题意； 当时，在上单调递减，且， 若，当时，，故不符合题意； 综上所述：所有这样的集合的并集为. 故答案为：①；②. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出两集合后，借助并集定义即可得； （2）由题意可得，再表示出集合后计算即可得. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 因为， 所以或， 所以或. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，，再代入计算可得； （2）首先求出，即可求出，从而求出，即可得解 【小问1详解】 因为， 所以， ， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以； 因为，所以， 又，所以， 所以，所以 17. 已知函数，其图象的相邻对称轴的距离为. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. （i）求函数在区间上的最值； （ii）若函数在上的零点从小到大依次为，求的值. 【答案】（1）. （2）（i）；；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据相邻对称轴的距离求出最小正周期，进而求出，再根据正弦函数的单调性求解； （2）（i）根据平移规律得到，再根据正弦函数的性质求出其在给定区间的最值； （ii）根据零点的定义得到方程，利用正弦函数图像的对称性进行求解. 【小问1详解】 因为的最小正周期为， 所以，所以； 所以， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为， （i）因为， 所以， 所以当，即时，； 当，即时，. （ii）令，即， 因为，所以； 令， 因为，所以； 所以在上有等解； 依据函数图象与性质得， 存在四个实数满足， 因为在R上的对称轴为， 所以， 所以 18. 已知函数且. （1）若，判断函数的奇偶性并证明； （2）当时，求证：对于任意，都有； （3）设，若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用函数奇偶性定义判断并证明. （2）根据给定条件确定函数在的单调性，并求出最小值与最大值即可推理得证. （3）确定函数在上单调性并求出值域，利用集合相等建立方程组，进而转化为一元二次方程实根分布求解. 【小问1详解】 当时，函数是偶函数. 函数的定义域为，满足， 所以是偶函数. 【小问2详解】 由，得，由，得或， 函数在上单调递增，又当时，函数是增函数， 则函数在区间上单调递增， 当时，， 任意，， 所以原不等式成立. 小问3详解】 由，得， 当时，函数在上单调递减，而函数减函数， 则函数在上单调递增，函数在上单调递增， 于是，即，则， 化简得，即有， 因此是关于的方程在上两个不等根， 设，则， 解得，所以的取值范围是. 19. 如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. （1）若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求围成的三角形面积的最小值； （2）若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为1，长为､转动灵活的矩形平板车（车高忽略），要使其始终能通过该直角走廊，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）12. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）过点分别作垂直于为垂足，即可得到，根据相似三角形的性质计算可得；（ii）由结合利用基本不等式求出的最小值，即可得解； （2）延长分别交于点，设，根据锐角三角函数推导出，设，，求出，再由，即可求出的范围. 【小问1详解】 如图，过点分别作垂直于为垂足， （i）因为，所以，所以， 因为， 所以，即. （ii）因为， 所以， 由（i），因为， 由基本不等式知，， 即，当且仅当，即时取等， 所以， 所以三角形面积最小值为12. 【小问2详解】 如图，延长分别交于点， 设，则， 因为在直角三角形中，， 所以； 同理，在中，； 所以.（*）. 因为（**）； 由（*）（**）得， . 设，， 令， 因为，所以，所以， 所以，且， 所以， 因为，所以函数在上单调递增， 所以当时，即时，， 因为平板车长度均能通过，所以， 所以，即，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $