精品解析：浙江绍兴市诸暨市2025-2026学年第一学期期末测试九年级数学试题

2025－2026学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 试卷I（选择题，共30分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列选项中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是( ) A. 1 B. C. D. 无法确定 3. 已知，则等于（ ） A B. C. D. 4. 已知在同一平面内，的半径为，点到圆心的距离，则点在（ ） A. 外 B. 上 C. 内 D. 无法确定 5. 关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，有最大值4 B. 当时，有最小值4 C. 当时，有最大值4 D. 当时，有最小值4 6. 如图，圆直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 如图，在直角坐标系中，是坐标原点，点，以为位似中心，作的位似图形，使与的面积比为9，则点的对应点的坐标是( ) A. B. C. D. 8. 如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，同一平面内，，设固定不动，随的增大，以点为圆心向逆时针方向旋转，连接对应点，并延长成直线交于点．已知，，，，则随的增大，度数变化情况是（ ） A 减小 B. 不变 C. 增大 D. 先增大再减小 试卷II（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点都在函数的图象上，则的大小关系是__________．(填“”，“”或“”) 12. 某会议桌宽和长之比为黄金比例，已知它的长为4，则宽的长度是__________．（结果保留根号） 13. 为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练．如图，消防车的云梯可以绕点转动，且可伸缩，离地面的距离米，当云梯顶部在大楼所在直线上时，离大楼的距离米，，此时顶端离地面的距离__________米．（结果保留根号） 14. 如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 15. 如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 16. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，，．设，延长分别与直线交于点面积为面积为，则__________ 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知线段． （1）若线段满足，求线段的长度； （2）若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 18. 马拉松运动已从专业竞技发展成为覆盖全球，拉动经济，深入日常的社会经济活动．某公司的甲、乙两名员工各自选择报名参加西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松其中一个赛事． （1）求甲员工选择报名西施马拉松的概率； （2）若甲，乙两人选择赛事互不影响，用画树状图或列表的方法求甲，乙两人选择同一个赛事的概率． 19. 如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； （2）图2中，在边上找一点，连接，使得． 20. 如图，正方形的边长为9，是边上一点，满足，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的长． 21. 如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径，杯底直径，且，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系（如图2），此时点与轴的距离为，杯底杯壁厚度忽略不计． （1）求抛物线解析式； （2）当倒满水时，求水的深度（与之间的距离）． 22. 如图，是的外接圆，，延长至点，使，连接． （1）求证：是切线； （2）若的半径，求的长． 23. 已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． （1）求点坐标； （2）若面积为8，求值； （3）若中有一个内角为，求的值． 24. 已知半径长度为，两条直径，互相垂直，点为直径上一动点，设．点为点关于点的对称点，作于点，． （1）如图1，当点在半径上时，连接，若，求的值； （2）如图2，在上取一点，，在上取一点，，连接，，，，，． ①当为多少时，的值最小（无需求最小值）； ②当为多少时，的值最小？最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 试卷I（选择题，共30分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列选项中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：A． 2. 某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是( ) A. 1 B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查随机事件的概率，明确质地均匀的硬币每次抛掷结果互不影响是解题关键． 【详解】解：∵质地均匀的硬币每次抛掷时，正面朝上与反面朝上的可能性相等，概率均为，且每次抛掷的结果互不影响，之前的抛掷结果不会改变第6次抛掷的概率． ∴抛掷第6次出现正面朝上的概率是． 故选：C． 3. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，把代入中，化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴把代入中，得； 故选：D． 4. 已知在同一平面内，的半径为，点到圆心的距离，则点在（ ） A. 外 B. 上 C. 内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握点到圆心的距离与圆半径的大小关系对应点与圆的位置关系，通过比较与半径的大小即可判断点的位置． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离 点在内 故选：C． 5. 关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，有最大值4 B. 当时，有最小值4 C. 当时，有最大值4 D. 当时，有最小值4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握顶点式中参数与函数最值的关系是解题关键． 【详解】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式． 又∵． ∴抛物线开口向上，函数有最小值． ∵该函数的顶点坐标为． ∴当时，有最小值4． 故选：B． 6. 如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理；根据题意可得，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径是，， ∴，， 中， ∴， 故选：A． 7. 如图，在直角坐标系中，是坐标原点，点，以为位似中心，作的位似图形，使与的面积比为9，则点的对应点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，根据位似比以及相应的象限求出对应点的坐标即可． 【详解】解：∵与的面积比为9， ∴与的位似比为，且点的对应点在第二象限 ∴的对应点的坐标是，即 故选：D． 8. 如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 9. 已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数解析式配方，确定抛物线的开口方向与顶点坐标，再结合给定的x的取值范围，分析顶点及取值范围的端点对应的函数值，进而确定y的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为． ∵ ∴当时，取得最小值． 当时，；当时，． 又∵取不到， ∴；顶点在的取值范围内， ∴． ∴． 故选：D． 10. 如图，同一平面内，，设固定不动，随的增大，以点为圆心向逆时针方向旋转，连接对应点，并延长成直线交于点．已知，，，，则随的增大，度数变化情况是（ ） A. 减小 B. 不变 C. 增大 D. 先增大再减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，圆周角定理的应用，圆内接四边形对角互补，根据题意得出，当在上时，四点共圆．根据的增大，，变大，根据三角形内角和定理可得度数变化情况是减小，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ 解得： ∴ 当在上时，此时，，如图， 过点作于点， ∴，则点，重合， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四点共圆， ∴是直径， ∴ 当增大，如图， ∵， ∴随的增大，，变小，则，变大 ∵ ∴随的增大，变小 故选：A． 试卷II（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点都在函数的图象上，则的大小关系是__________．(填“”，“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 12. 某会议桌宽和长之比为黄金比例，已知它的长为4，则宽的长度是__________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金比例定义．根据黄金比例的定义，宽与长的比值为，已知长为4，代入比例式计算宽的长度． 【详解】解：黄金比例是指宽与长的比值等于， 设宽为，长为，则，给定，所以， 故答案为：． 13. 为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练．如图，消防车的云梯可以绕点转动，且可伸缩，离地面的距离米，当云梯顶部在大楼所在直线上时，离大楼的距离米，，此时顶端离地面的距离__________米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据，，，即可求解． 【详解】解：依题意，四边形是矩形， ∴， 在中， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据题意求得点从开始到结束所经过的路径为半径为，圆心角为的2个弧长，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 依题意， ∴点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是 故答案为：． 15. 如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心的性质，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据已知得出是等边三角形，，证明，，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点是的内心， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，，．设，延长分别与直线交于点面积为面积为，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形的应用．根据已知得出，证明，进而设，，证明得出①，根据得出②，分别求得的值，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∵面积为面积为， ∴ ∵ ∴ ∴ 设， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴① 在中， ∴②， 联立①②得或（负值舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知线段． （1）若线段满足，求线段的长度； （2）若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段． （1）将已知数据代入比例式，即可求解； （2）根据比例中项的定义列式，计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ 解得： 【小问2详解】 解：依题意， ∴ 18. 马拉松运动已从专业竞技发展成为覆盖全球，拉动经济，深入日常的社会经济活动．某公司的甲、乙两名员工各自选择报名参加西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松其中一个赛事． （1）求甲员工选择报名西施马拉松的概率； （2）若甲，乙两人选择赛事互不影响，用画树状图或列表的方法求甲，乙两人选择同一个赛事的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率； （1）根据概率公式计算可得； （2）记西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松分别为，，，用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有3种马拉松，甲选择西施马拉松的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：记西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松分别为，，，画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个赛事A或B或C的结果有3种情况， ∴甲、乙两人选择同一个赛事的概率为． 19. 如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； （2）图2中，在边上找一点，连接，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质． （1）根据网格的特点以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，即可求解； （2）根据网格的特点作，找到的格点的对角线交于点，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 20. 如图，正方形的边长为9，是边上一点，满足，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理． （1）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质，求得，根据，即可求解． 小问1详解】 解：∵正方形的边长为9，， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 解得：； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 21. 如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径，杯底直径，且，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系（如图2），此时点与轴的距离为，杯底杯壁厚度忽略不计． （1）求抛物线解析式； （2）当倒满水时，求水的深度（与之间的距离）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设抛物线的解析式为，代入，即可求解． （2）依题意，的横坐标为，将代入解析式，得出的纵坐标，进而根据点与轴的距离为，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，，设抛物线的解析式为， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 解：依题意，的横坐标为 当时， 又∵点与轴的距离为， ∴之间的距离为． ∴当倒满水时，水的深度为． 22. 如图，是的外接圆，，延长至点，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）连接，根据已知得出，证明是等边三角形，得出，根据得出，进而可得，即可得证； （2）在中，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的外接圆， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵的半径， ∴， 在中， ∴ ∴ 23. 已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． （1）求点坐标； （2）若面积为8，求的值； （3）若中有一个内角为，求值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，求三角形的面积，等腰三角形的性质与判定． （1）令，进而解方程，即可求解； （2）令得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，，，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式，建立方程解方程即可求解． 【小问1详解】 解：当时， ∵ ∴ 解得： ∴， 【小问2详解】 解：∵图象与轴负半轴交于点 当时， ∴，则 ∵， ∴ ∵面积为8， ∴ 解得： 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，则 ∴ 解得： 当时，如图，过点，作于点 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 又∵ ∴, ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或 24. 已知半径长度为，两条直径，互相垂直，点为直径上一动点，设．点为点关于点的对称点，作于点，． （1）如图1，当点在半径上时，连接，若，求的值； （2）如图2，在上取一点，，在上取一点，，连接，，，，，． ①当为多少时，的值最小（无需求最小值）； ②当为多少时，的值最小？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）①，②，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的对称性，二次函数的性质求最值． （1）根据勾股定理求得，进而求得的长，即可得出的值； （2）①根据勾股定理表示出表达式，进而根据二次函数的性质求得的值； ②作点关于的对称点，则，则，过点作，得出点在上运动，作关于的对称点，得出，且，根据四边形是平行四边形时，为的中点时，取得最小值，得出，进而勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①依题意，，，， ∴，， ∵两条直径，互相垂直， ∴ ∵ ∴时，的值最小； ②解：如图，作点关于的对称点，则，则，过点作， ∵， ∴点在上运动， 作关于的对称点，则到的距离为 ∴，且 ∴ ∴当为的交点时取得最小值， 当四边形是平行四边形时，为的中点 此时如图 ∴ 即时，取得最小值， ∴的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $