精品解析：云南昆明市盘龙区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

2025－2026学年上学期 九年级数学期末试题 （全卷三个大题、共27个小题．共8页．调分100分、考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．将试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件，属于必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次 C. 是一元二次方程 D. 任意画一个三角形，其内角和是360度 3. 已知的半径为6，点在外，则的长可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 5. 如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子中，装有60个小球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不见球的情况下，随机多次摸球试验后，摸到白球的频率稳定在．则可估计袋子中白球的个数是（ ） A. 18 B. 24 C. 28 D. 36 7. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是关于x的二次函数，那么m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 9. 如图，是切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 若是一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 11. 如图，正六边形内接于，若的半径为4、则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12. 如果均在抛物线的图象上．那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点．连接．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 近年来，我国人工智能技术不断突破，某半导体公司的芯片产量呈现爆发式增长．2025年6月该公司的芯片产量为2.5万片，由于市场需求旺盛，8月产量大幅提升至万片，设该公司芯片产量的月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图、在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是______． 17. 某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 18. 圆锥的母线长为10，底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面积为_____．（结果保留） 19. 若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1） （2）． 21. 如图，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转得到的，并请求出点旋转到所经过的路径长（结果保留）． 22. “滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 23. 某校计划组织学生到云南起义纪念馆或云南陆军讲武堂旧址探寻昆明红色地图、现决定通过游戏的方式确定去哪个地点． 游戏规则如下：在一个不透明箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），学生代表先从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字3、4、5的三张卡片（除数字外，都相同），该生再从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若为奇数，则到云南起义纪念馆，若为偶数，则到云南陆军讲武堂旧址． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求学生到云南起义纪念馆概率． 24. 如图，在中，，，于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某超市销售一种商品，成本价为30元/千克 素材一 经市场调查．当销售单价为40元/千克时，每天售出140千克； 当销售单价为42元/千克时，每天售出138千克； 素材二 每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系； 素材三 销售单价不低于30元/千克、且不高于50元/千克 请完成下列任务： 任务一 求y与x之间函数关系式； 任务二 当销售单价定为多少元/千克时，该超市每天获利最大？最大利润为多少元？ 26. 平面直角坐标系中．已知抛物线． （1）当时，求该抛物线的对称轴； （2）当时，抛物线上的点到直线的距离最小值为7，求的值． 27. 如图，四边形内接于，是的直径，延长至点，连接，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若点是的中点，于点，于点．，．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期 九年级数学期末试题 （全卷三个大题、共27个小题．共8页．调分100分、考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．将试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 下列事件，属于必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次 C. 是一元二次方程 D. 任意画一个三角形，其内角和360度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，明确必然事件的定义（在一定条件下一定会发生的事件）是解题的关键，据此逐一分析各选项事件的类型，从而得出答案． 【详解】对于A选项，射击运动员射击一次命中靶心，可能发生也可能不发生，是随机事件； 对于B选项，投掷均匀硬币10次，正面朝上次数不一定为5次，是随机事件； 对于C选项，一元二次方程的定义是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程， 方程符合该定义，是必然事件； 对于D选项，三角形内角和为，不是，则该事件是不可能事件． 故答案为：C． 3. 已知的半径为6，点在外，则的长可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意可知的半径为6，点在外，则，进而可得出答案． 【详解】解：∵的半径为6，点在外， ∴， 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 5. 如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 利用圆周角与圆心角的关系求解即可． 【详解】解：是弧所对圆心角，是弧所对圆周角， ∴， ， ； 故选：C． 6. 在一个不透明的袋子中，装有60个小球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不见球的情况下，随机多次摸球试验后，摸到白球的频率稳定在．则可估计袋子中白球的个数是（ ） A. 18 B. 24 C. 28 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，关键是理解频率稳定时，频率近似等于概率，利用概率公式计算白球数量． 根据题意，摸到白球的频率稳定在，可估计摸到白球的概率约为，再用总球数乘以概率即可估计白球个数． 【详解】解：∵随机多次摸球后，摸到白球的频率稳定在， ∴可估计摸到白球的概率约为， ∵袋子中共有60个小球， ∴估计袋子中白球的个数为． 故选：B． 7. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及直角三角形两锐角互余，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 根据旋转的性质得，然后结合求解即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针方向旋转得到 ∴， ∵ ∴． 故选：C． 8. 已知是关于x的二次函数，那么m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x二次函数， ∴且， ∴且， 解得：． 故选：A． 9. 如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的切线，则，再求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵为的切线， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 10. 若是一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和等于即可快速求出另一个根，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴. 解得， ∴方程的另一个根是1， 故选：A． 11. 如图，正六边形内接于，若的半径为4、则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键． 根据正六边形的性质求出，利用余弦的定义计算即可． 【详解】解：连接， ∵六边形是内接正六边形， ， ， 故选：D． 12. 如果均在抛物线的图象上．那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性及点到对称轴的距离判断函数值大小，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上，且对称轴为， 则点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵均在抛物线的图象上，且 ∴， 故选：A． 13. 如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点．连接．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积，解题的关键是把不规则的阴影部分的面积转化为规则的扇形部分面积． 设、的交点为F，先证，由此得，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】 如图，设、的交点为F， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 14. 近年来，我国人工智能技术不断突破，某半导体公司的芯片产量呈现爆发式增长．2025年6月该公司的芯片产量为2.5万片，由于市场需求旺盛，8月产量大幅提升至万片，设该公司芯片产量的月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据2025年6月该公司的芯片产量为2.5万片，由于市场需求旺盛，8月产量大幅提升至万片，设该公司芯片产量的月平均增长率为，列出方程即可． 【详解】解：∵6月芯片产量为万片，月平均增长率为x， ∴7月芯片产量为万片， ∴8月芯片产量为万片， 又∵8月产量为3.6万片， ∴， 故选：B． 15. 如图、在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题、正方形的性质，找出规律是解题的关键． 根据正方形的性质得，再找出规律为旋转8次为一个周期，进而可求解． 【详解】解：正方形的边长为1， ， 由题意得： ，，，，，， ，，， 旋转8次为一个周期， ， 点的坐标为：， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】（2，﹣1） 【解析】 【详解】点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1）， 故答案为（2，﹣1）． 【点睛】本题考查了对称点坐标的特点，关于原点对称，是横纵坐标都变成原来的相反数． 17. 某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了列举法求事件的概率． 根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况， 其中车票座位靠过道座位有种， “该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 故答案为：． 18. 圆锥的母线长为10，底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面积为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式．根据圆锥侧面积公式，其中r为底面半径，l为母线长，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面积公式为，且圆锥的母线长为10，底面圆的半径为3， ∴， 故答案为：． 19. 若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，把抛物线与x轴交点的横坐标，转化为方程的根是解题的关键． m是方程的根，由根的定义可得，进而求的值． 【详解】解：因为m是抛物线与x轴交点的横坐标， 所以m是方程的根，即， 所以， 则． 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得． 21. 如图，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转得到的，并请求出点旋转到所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）根据中心对称的性质即可画出关于原点O中心对称的图形； （2）根据旋转的性质即可画出绕原点O逆时针旋转的图形，求出，根据弧长公式即可求出点旋转到所经过的路径长． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，即为所求， ，， ∴点旋转到所经过的路径长为． 22. “滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 【答案】16个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用单循环比赛的场次计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设共有x个州市代表队参加比赛 根据题意，单循环赛制中每两队之间赛一场， ∴总比赛场次为， ∵赛事主办方计划安排120场比赛 ∴， ∴， 解得，； ∵代表队的数量不能为负数， ∴舍去， 答：共有16个州市代表队参加比赛． 23. 某校计划组织学生到云南起义纪念馆或云南陆军讲武堂旧址探寻昆明红色地图、现决定通过游戏的方式确定去哪个地点． 游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），学生代表先从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字3、4、5的三张卡片（除数字外，都相同），该生再从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若为奇数，则到云南起义纪念馆，若为偶数，则到云南陆军讲武堂旧址． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求学生到云南起义纪念馆的概率． 【答案】（1）种 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，画树状图，得出一共有6种等可能的结果，即可作答． （2）结合为奇数，则到云南起义纪念馆，若为偶数，则到云南陆军讲武堂旧址，得出有3种等可能的结果符合题意，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，画树状图如下： ∴一共有6种等可能的结果， 则的所有可能出现的结果总数为种， 【小问2详解】 解：由（1）得的所有可能出现的结果总数为种， ∵为奇数，则到云南起义纪念馆，若为偶数， ∴学生到云南起义纪念馆的结果有种， ∴学生到云南起义纪念馆的概率． 24. 如图，中，，，于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转得，，可得，证明，可得； （2）由旋转得，，则，由勾股定理得，即可得． 【小问1详解】 解：， 将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段， ，， ， ， ； 【小问2详解】 ， ，， , 由（1）知，， ， ． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某超市销售一种商品，成本价为30元/千克 素材一 经市场调查．当销售单价为40元/千克时，每天售出140千克； 当销售单价为42元/千克时，每天售出138千克； 素材二 每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系； 素材三 销售单价不低于30元/千克、且不高于50元/千克 请完成下列任务： 任务一 求y与x之间的函数关系式； 任务二 当销售单价定为多少元/千克时，该超市每天获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】任务一： 任务二：当销售单价定为50元/千克时，每天获利最大，最大利润为2600元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． 任务一：根据题意即可求解； 任务二：根据题意求出与的二次函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】解：任务一：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 任务二：设该超市每天获利元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当，有最大值， 最大值为； 答：当销售单价定为50元/千克时，每天获利最大，最大利润为2600元． 26. 在平面直角坐标系中．已知抛物线． （1）当时，求该抛物线的对称轴； （2）当时，抛物线上的点到直线的距离最小值为7，求的值． 【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线； （2）m的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）当时，抛物线的表达式为，配方得到，据此即可求解； （2）分情况讨论①顶点在区间内：，②顶点在区间左侧：，③顶点在区间右侧：，据此求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的表达式为， ∵， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：设抛物线上点的纵坐标为y，则点到直线的距离为， 抛物线顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， 故顶点到直线的距离为， 区间端点距离： 当时，，到直线的距离为， 当时，，到直线的距离为， 分情况讨论： ①顶点在区间内：， 即，化简得， 解得，取 (符合范围)； ②顶点在区间左侧：，即， 化简得，解得(舍去)或(符合范围)， ③顶点在区间右侧：，即， 化简得， ，无实根，舍去， 综上，m的值为或， 答：m的值为或． 27. 如图，四边形内接于，是的直径，延长至点，连接，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若点是的中点，于点，于点．，．求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆的切线的判定，勾股定理，所对的直角边等于斜边一半，掌握相关定理是解题的关键． （1）由直径所对圆周角等于即可求解； （2）连接，可得，结合，得到，进而得到即可证明； （3）设的中点为，的半径为，连接，易得，，则共线，进而得到，再在中，利用勾股定理，求得，接着计算即可求解． 【小问1详解】 解：是的直径， （直径所对圆周角等于）； 【小问2详解】 证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴，即， ∵是的半径，且， ∴是切线； 【小问3详解】 解：设的中点为，的半径为，连接， ， ， 点是的中点， ， ，则共线， ， ，则为等边三角形， 分别为的中点， ， ， ， 在中，， 即，解得， 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $