精品解析：江苏南通市如东县2025-2026学年第一学期高二学业质量监测数学试题

2025~2026学年度第一学期高二学业质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 6种 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列{}中，，，则的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 4. 若实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 5. 已知数列的通项公式是，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线方程为，且经过原点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知分别为轴和轴上的点，点在线段的延长线上，且．当运动时，记点的轨迹为曲线，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（ ） A. 如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B. 如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C. 如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D. 如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 10. 在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前项和为，且．数列满足，当时，则（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是__________． 13. 一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是__________m． 14. 在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________．若空间中点满足，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过点的直线与相交于，且的周长是8． （1）求的方程； （2）若的面积是，求的面积． 17. 如图，在三棱锥中，，为的中点． （1）证明：； （2）若点满足， ①求直线与平面所成角的大小； ②求二面角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，渐近线方程为． （1）求的离心率； （2）若点在上，且异于，求证：直线与的斜率之积为定值； （3）若直线与只有一个公共点，直线与轴交于点，且，求的方程． 19. 已知数列满足，且． （1）求的值； （2）若数列满足且，求数列的通项公式； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二学业质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】4名学生每人有3种报名方法，结合分步计数原理计数即可得出结果. 【详解】每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有种. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A 3. 在等差数列{}中，，，则的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项. 【详解】设公差为，由题意得：，解得：，所以. 故选：B 4. 若实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式转化为单位圆上的点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，结合圆心到直线的距离公式列方程求解斜率最大值. 【详解】已知实数满足，即点在以原点为圆心，半径的单位圆上. 设，其几何意义为单位圆上任意一点与定点连线的斜率. 设直线的方程为，即 当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 可得，解得或； 结合图象可知的最大值为. 故选：D 5. 已知数列的通项公式是，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对通项公式进行裂项求和，整理化简即可得出结果. 【详解】因为 所以 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线方程为，且经过原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，利用原点到焦点的距离等于原点到准线的距离，再利用点到直线的距离公式求解． 【详解】已知原点在抛物线上，则到焦点的距离等于到准线的距离， 即，故B正确． 故选：B． 7. 已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数和组合数 的定义及递推公式，逐一验证各选项. 【详解】选项A： ，，两边相等，A正确. 选项B：，两边相等，B正确. 选项C：这是组合数的杨辉恒等式，直接成立， C正确. 选项D：，取， 左边，右边左右两边显然不相等，等式不成立，D错误. 故选： 8. 在平面直角坐标系中，已知分别为轴和轴上的点，点在线段的延长线上，且．当运动时，记点的轨迹为曲线，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程，进而求出离心率. 【详解】设，，，由题意可得， 又，，所以，即. 因为，所以，代入化简可得：. 即点的轨迹方程：. 由方程可知的轨迹为椭圆，其中，，. 所以离心率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（ ） A. 如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B. 如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C. 如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D. 如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先把学生的节目选1个放在最后，剩余的10个节目进行全排列，A正确；B选项，先从学生的节目选2个放在两端，剩余的9个节目进行全排列，B错误；C选项，将2个教师的节目进行捆绑，再和9个学生的节目进行全排列，C正确；D选项，先安排9个学生的节目，再将2个教师的节目插空，D正确. 【详解】A选项，如果教师的节目不排在最后，从学生的节目选1个放在最后， 剩余的10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，A正确； B选项，如果教师的节目不排在两端，从学生的节目选2个放在两端， 剩余的9个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，B错误； C选项，如果教师的节目必须相邻，将2个教师的节目进行捆绑，2个教师节目可以进行全排列， 再和9个学生的节目一共10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，C正确； D选项，如果教师的节目不能相邻，先安排9个学生的节目， 再将2个教师的节目插空，那么不同排法的种数为，D正确. 故选：ACD 10. 在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用重心的性质得出，再利用向量的加减法计算求出，判断选项A；利用中点的性质计算，判断选项B；计算判断选项C；计算判断选项D． 【详解】 选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则， ， ， ，故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点， ，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知数列的前项和为，且．数列满足，当时，则（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由与的递推式求出的通项和前项和，再根据分段规则求解的项值，最后验证等差等比、项的关系、求和公式，逐一判断选项正误. 【详解】已知，. 当时，，解得. 当时，， 化简可得：，即. 因此是首项为1，公比为2的等比数列， 通项公式，，A错误，B正确. 已知，， 先列出关键项： 而，故；而，无整数； 而，故；看来第四年了， ，即，， ；，故. 验证可得：，C正确. 由上述计算可知，则，记. 根据分段规则，将求和区间按分段， 每一段为，共项，该段内为首项、公差的等差数列， 段和：. 因此总求和：，用错位相减法： ， 两式相减： 整理得，即，D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，挂在不同位置有顺序区别，需要用排列来计算． 【详解】小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅进行排列，不同挂法总数为：种． 故答案为：． 13. 一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是__________m． 【答案】92 【解析】 【分析】依题意，写出每次落地的路程，借助等比数列求和计算即可. 【详解】依题意，5次落地的路程分别为：，，，，， 第2项至第5项是首项为32，公比为的等比数列， 所以总路程. 故答案为：92 14. 在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________．若空间中点满足，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算；设的中点为，将转化为，最后结合球面上点到定点的距离最值规律，求出数量积的取值范围. 【详解】因为， 所以，，. 设平面的法向量， 则即，令，得，则. 所以点到平面的距离公式：. 因为，设，则， 所以 配方整理： 即点的轨迹是以为球心，半径 的球面. 设的中点为，，， 则， 又，，， 所以，， 所以 所以 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出的首项和公差，即可求出数列的通项公式； （2）将（1）中求得的代入求得，利用错位相减法消项化简，求出. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，由已知可得： ，解得： 因此数列的通项公式：，即. 【小问2详解】 由（1）， 所以① ② ，相减可得： 即 所以. 16. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过点的直线与相交于，且的周长是8． （1）求的方程； （2）若的面积是，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义求得，根据离心率求得，进而求得，即可得解； （2）由的面积求得，即点A为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点A为下顶点，求出直线方程，与椭圆方程联立求得，即可求得的面积. 【小问1详解】 因为的周长为，所以， 又，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）有，，设， 因为的面积是，所以， 由于，所以点A为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点A为下顶点， 所以直线方程为：， 所以，所以，所以或， 所以，代入得或（舍去）， 所以的面积为. 17. 如图，在三棱锥中，，为的中点． （1）证明：； （2）若点满足， ①求直线与平面所成角的大小； ②求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及其性质定理证明可得结论； （2）①建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，②分别求得两平面的法向量，即可得出结果. 【小问1详解】 已知，， 因此、均为等边三角形，故. 又为中点，由等腰三角形三线合一得：. 由，，可知为等腰直角三角形，为中点，故. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以. 【小问2详解】 ①由，以为原点，为轴，为轴，过作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，由为等边三角形，得，为中点，故. 由，，，得. ，，. 设平面的法向量，则： 令，则，，即. 设直线与平面所成角为，则： 又，故，即直线与平面所成角为. ② ，，设平面的法向量，则： ，令，则，，即. 平面法向量，设二面角为，则： ，得：. 所以二面角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，渐近线方程为． （1）求的离心率； （2）若点在上，且异于，求证：直线与的斜率之积为定值； （3）若直线与只有一个公共点，直线与轴交于点，且，求的方程． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程结合已知条件求出的关系，进而求出的关系，再利用离心率公式求解； （2）设点，求出，的斜率，联立双曲线方程求出斜率之积为常数，进而证明结论； （3）联立直线与双曲线方程，利用切点条件得出判别式为零得出的关系，求出切点坐标，结合已知数量积构造方程求出，进而求出，得出双曲线方程． 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为， 渐近线方程为，，即， ， ． 【小问2详解】 设点，在双曲线上，代入双曲线方程得，即， 直线的斜率，直线的斜率， ，故斜率之积是定值． 【小问3详解】 联立直线与双曲线的方程，代入得： ， 当时，直线与双曲线相切，判别式， 即，则切点， 设，直线与轴交点，则， 即，故， ，解得，故，， 故双曲线方程为． 19. 已知数列满足，且． （1）求的值； （2）若数列满足且，求数列的通项公式； （3）求证：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推公式代入依次求出、； （2）依题意可得，从而推导出，即可得到，两边取对数，结合等比数列的定义得到以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式； （3）首先推导出，设，结合（2）可得且，则只需证明，再利用数学归纳法证明对任意的成立，即可得证. 【小问1详解】 因为，且， 所以，即，解得， 又，即，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 又，，所以且， 所以， 又， 两边取对数可得， 所以以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 所以. 【小问3详解】 因为，所以，又， 所以， 所以， 所以， 设，因为，则， 因为，所以，所以， 所以， 要证，只需证明， 以下证明对任意的成立， 当时，，成立 假设当时（且）成立， 则，即， 所以对任意的成立， 所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $