8 第二单元 第7讲 一元二次方程及其应用-【中考总动员】2026年四川凉山中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“一元二次方程及其应用”核心考点，严格对接课标要求，涵盖概念解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用四大模块。通过分析近5年凉山州中考真题，明确解法应用占40%、根的判别式占25%、实际应用占35%的考查权重，归纳出直接开平方法等四种解法及面积利润等典型题型。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”的备考设计，如结合2024凉山州真题示范根的判别式参数取值问题，培养学生数学思维中的推理能力。针对“每每型”利润问题，通过“审设列解验答”六步法强化模型观念，帮助学生掌握方程建模技巧。教师可依托分层训练和易错点解析，高效指导学生冲刺中考，提升得分率。

第7讲　一元二次方程及其应用 第二单元　方程与不等式 《中考总动员》 2026凉山数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 课标 要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识 导图 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养储备·依标扣本 考点综述 01 5 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_____的整式方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 知识点一 一元二次方程及其解法 一元二次方程及其解法 2 解法 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6 解法 解法 适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 可化为(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝②____________   因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac 知识点二 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 与根的关系 (1)Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；　　　 (2)Δ③__________0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； (3)Δ④__________0⇔一元二次方程无实数根 →[切记：不能说方程有一个实数根]   ＝ ＜ 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝⑤_________，x1x2＝ ⑥_____ 知识点三 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的 根与系数的关系 －   →[注意：Δ≥0是前提条件]  运用 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 平方型：＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型： 绝对值型：|x1－x2|＝ 因式分解型：x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识点四 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用 步骤： 实际问题 列一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 常见类型 平均变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 设原来的量为a，变化后的量为b. 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有⑦_____________ 平均变化率问题 在求解时一般使用直接开平方法. a(1－x)2＝b 传播问题：与平均变化率问题类似，若开始数量为a，每轮传染中每个个体传染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a(1＋x)2＝b 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝⑧________________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) (2)如图2、图3、图4，设空白部分的宽为x， 则S阴影＝⑨_______________ (a－x)(b－x) 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为×b件 利润问题 (“每每型”) 握手(单循环赛) 与送礼物问题 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑩ ________＝m (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m  知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养积累·考点过关 考点综述 02 15 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的有(　　) ①x2＋；②|x|＝x＋3；③(x＋2)(x－2)＝x2－2x；④ax2＋bx＋c＝0. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 考点一 一元二次方程的有关概念 例 1 A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 16 (2024·凉山州) 若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的 一个根是x＝0，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. 例 2 A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 1.若方程(a－2)x|4－a|＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为__________.  针对训练 6 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ①x2＋2x－1＝0； ②x2－3x＝0； ③x2－4x＝4； ④x2－4＝0. 考点二 解一元二次方程 例 3 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 19 解：①利用公式法：这里a＝1，b＝2，c＝－1， Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8＞0， ∴x＝＝－1±. ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. ②利用因式分解法：x(x－3)＝0. ∴x1＝0，x2＝3. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ③利用配方法：两边都加上4， 得x2－4x＋4＝8. ∴(x－2)2＝8.∴x－2＝±2. ∴x1＝2＋2，x2＝2－2. ④利用因式分解法：(x＋2)(x－2)＝0. ∴x1＝－2，x2＝2. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 2.(2020·凉山州) 一元二次方程x2＝2x的根为(　　) A.x＝0 B.x＝2 C.x＝0或x＝2 D.x＝0或x＝－2 3.(1)(2022·凉山州) 解方程：x2－2x－3＝0. 解：原方程可以变形为(x－3)(x＋1)＝0. ∴x－3＝0或x＋1＝0. ∴x1＝3，x2＝－1. 针对训练 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)(2025·徐州) 解方程：x2＋2x－4＝0. 解：(1)(x＋1)2＝5. ∴x＋1＝或x＋1＝－， 解得x＝－1或x＝－－1. (3)(2025·广元) 解方程：x2－(＋1)x＋＝0. 解：(x－)(x－1)＝0. ∴x－＝0或x－1＝0， ∴x1＝，x2＝1. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2015·凉山州) 关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实 数根，则m的取值范围是(　　) A.m≤3 B.m＜3 C.m＜3且m≠2 D.m≤3且m≠2 【解析】∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，∴m－2≠0且Δ≥0，即22－4×(m－2)×1≥0，解得m≤3且m≠2.故选D. 考点三 一元二次方程根的判别式 例 4 D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 24 4.(2025·凉山州二诊) 关于x的一元二次方程mx2＋(m－2)x＋m－2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______________.  5.(2025·广元) 若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(a－1)x－＝0有两个相等的实数根，则a＝__________.  针对训练 m＞－1且m≠0 －1 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6.已知关于x的方程kx2－(k＋8)x＋8＝0. (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； 证明：当k＝0时，该方程变为－8x＋8＝0.解得x＝1，符合题意； 当k≠0时，Δ＝(k＋8)2－32k＝k2＋16k＋64－32k＝k2－16k＋64＝(k－8)2≥0，此时该方程有实数据. ∴无论k取任何实数，该方程总有实数根. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是该方程的两个根，求k的值. 解：当等腰三角形的腰长为4时，设底边为a.∴x＝4是kx2－(k＋8)x＋8＝0的一根. ∴16k－4(k＋8)＋8＝0. ∴16k－4k－32＋8＝0.∴k＝2. ∴a＝1，此时1＋4＞4，能组成三角形，满足题意； 当等腰三角形的底边长为4时，设腰长为b. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴kx2－(k＋8)x＋8＝0有两个相等的实数根. ∴Δ＝(k－8)2＝0.∴k＝8.∴该方程为x2－2x＋1＝0.解得x1＝x2＝1，此时1＋1＜4，不能组成三角形，舍去. 综上所述，k的值为2. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2025·凉山州适应) 已知关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2＝x有两个实数根m，n. (1)求k的取值范围； 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 例 5 解：方程化为一般式为x2＋(2k－1)x＋k2＝0.根据题意，得Δ＝(2k－1)2－4k2≥0.解得k≤. ∴k的取值范围为k≤. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 29 (2)若(2m－n)(m－2n)＝－7，求k的值. 解：根据根与系数的关系，得m＋n＝1－2k，mn＝k2. ∵(2m－n)(m－2n)＝－7，∴2(m2＋n2)－5mn＝－7.∴2(m＋n)2－9mn＝－7.∴2(1－2k)2－9k2＝－7. 整理，得k2＋8k－9＝0.解得k1＝1，k2＝－9. 由(1)可知k≤. ∴k的值为－9. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 7.(2018·凉山州) 若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根， 则m＋n的值是(　　) A.1　　　 B.2　　　 C.－1　　　 D.－2 针对训练 D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8.(2025·凉山州适应) 若实数a，b满足等式a2＝7－3a，b2＝7－3b，则 代数式之值为(　　) A.－ B. C.2或－ D.2或 9.(2024·成都) 若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为__________.  C 7 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2025·广元) 如图，在长为12 m，宽为10 m的 矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求 花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那 么花卉带的宽度应为多少米?设花卉带的宽度为x m， 则可列方程为(　　) 考点五 一元二次方程的实际应用 例 6 A.(12－x)(10－x)＝12×10× B.(12－2x)(10－x)＝12×10× C.(12－x)(10－2x)＝12×10× D.(12－2x)(10－2x)＝12×10× D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 33 (2024·会东县一诊) 随着旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求量明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加. (1)该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年(从2021年底到2023年底)拥有的床位数的年平均增长率； 例 7 解：设该宾馆这两年(从2021年底到2023年底)拥有的床位数的年平均增长率为x.根据题意，得200(1＋x)2＝288. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：该宾馆这两年(从2021年底到2023年底)拥有的床位数的年平均增长率为20%. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)该宾馆打算向游客出售一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件.若该宾馆想要每天的销售利润达到4 000元，且销售量尽可能大，应该如何定价? 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：设销售单价定为y元，则每件的销售利润为(y－50)元，每天的销售量为50＋5(100－y)＝550－5y(件). 根据题意，得(y－50)(550－5y)＝4 000. 整理，得y2－160y＋6 300＝0. 解得y1＝70，y2＝90. 又∵销售量要尽可能大，∴y＝70. 答：销售单价应定为70元. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 10.(2025·凉山州) 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相 同，第一季度共生产钢铁1 860吨，若设月平均增长率为x，那么可列 出的方程是(　　) A.560(1＋x)2＝1 860 B.560＋560(1＋x)＋560(1＋2x)＝1 860 C.560＋560(1＋x)＋560(1＋x)2＝1 860 D.560＋560(1＋2x)2＝1 860 针对训练 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 11.(2024·凉山州适应) 如图，在宽度为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽.如果设道路宽为x m，根据题意，所列方程 正确的是(　　) A.(20＋x)(32－x)＝540 B.(20－x)(32＋x)＝100 C.(20－x)(32－x)＝540 D.(20＋x)(32＋x)＝540 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P15~16素养练测7 本讲内容结束 $