2.3确定二次函数的表达式同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.3确定二次函数的表达式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 2．二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（   ） x … 0 1 2 … y … 2 … A． B． C． D． 4．抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，当时，y的值为，那么当时，y的值为（   ） A． B． C． D．12 6．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的实数根为（   ） A． B． C． D． 7．已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 9．若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 10．已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 11．已知二次函数，当时，；当时，，则该二次函数的表达式为（  ） A． B． C． D． 12．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C． （1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）； （2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 ． 14．过抛物线的解析式为 ； 15．若函数的图象经过点，则 ，抛物线的开口方向是 ，顶点坐标 ，它的对称轴是 ． 16．已知二次函数的图象过三点，那么此二次函数图象的对称轴是直线 ． 17．如果抛物线经过点，那么的值是 ． 三、解答题 18．已知二次函数的图象与经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 19．已知二次函数的图象与直线交于点，解答下列问题： (1)求a、b的值； (2)求的函数解析式及顶点坐标； (3)当x取何值时，函数中的y随x的增大而增大． 20．如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点 ． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，的取值范围是 21．如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点在抛物线上，点在轴上，交轴于点，且矩形的面积为32． (1)此抛物线的解析式． (2)点是轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 22．已知，抛物线，过、、，M为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，并求出P的坐标； 23．如图所示，直线过和两点，它与二次函数的图像在第一象限内交于点，若的面积为． (1)求点的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？ 24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 《2.3确定二次函数的表达式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C C A C A C C 题号 11 12 答案 B B 1．C 【分析】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 2．B 【分析】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．根据旋转的性质，折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，设折叠后得到的函数解析式为，将代入得，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴设折叠后得到的函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴折叠后得到的函数解析式为， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性得到顶点坐标为，设出顶点式，把代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， ∴； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 5．C 【分析】将时，代入中即可求出m的值，再将代入求出的函数中进行计算即可． 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是首先利用待定系数法求出函数解析式． 【详解】解：当时，y的值为，代入函数解析式，得： ， 解得， 所以， 将代入中得 故选：C 6．A 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，能求出二次函数解析式中是解此题的关键．先把代入求出，然后解方程即可． 【详解】解：把代入二次函数得：， 解得：， 关于的方程为：， 解得：或， 即关于x的方程的实数根为或． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据题意设顶点式，代入抛物线的顶点坐标为，由于抛物线与开口大小相同、方向相反可知，继而得到本题答案． 【详解】解：设顶点式， ∵顶点坐标为， ∴二次函数解析式为：， ∵抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点式，结合已知条件直接求解． 【详解】解：设抛物线的顶点式为，其中为顶点，为二次项系数， ∵二次项系数为1，顶点坐标为， ∴， 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，顶点坐标的运用，掌握二次函数图象顶点坐标的计算是解题的关键．根据题意，结合二次函数图象的顶点坐标可设顶点式为，再将点代入解析式求解即可． 【详解】解：已知二次函数顶点为， 可设顶点式为，将点代入顶点式： ， 解得：． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次根式解析式，熟练掌握二次根式的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、B、C，画出草图即可判断选项D． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，选项C正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小， 故选项B错误； 根据题意画出草图如图： 故图象过第一、二、四象限， 故选项D错误； 故选：C． 11．B 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式解题的关键． 将当时，；当时，，代入求解即可； 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴抛物线解析式为． 故选：B． 12．B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把解析式设为顶点式，即，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，据此可得答案． 【详解】解：设此抛物线解析式为， ∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∴此抛物线解析式为， 故选：B． 13． 或 【分析】（1）根据直线与轴、轴交于A、．可得，，根据抛物线过，可得，根据一般式配方成顶点式即得抛物线的顶点坐标； （2）根据点向右平移3个单位长度，得到点，分①当抛物线与相交时，抛物线对称轴左侧部分在点B上方时, 得到；抛物线对称轴右侧部分在点C下方时，得到a不存在；②当抛物线顶点在上时，得到；即可． 【详解】解：（1）∵直线与轴、轴交于A、． ∴时，，， 时，， ∴，， ∵抛物线过， ∴，， ∴， ∴顶点为； 故答案为：； （2）∵向右平移3个单位长度，得到点C， ∴， ∵，抛物线开口向下，抛物线与线段恰有一个公共点， ①当抛物线与线段相交时， 若抛物线过点， ， 实际此时抛物线在点上方， ∴，； 若抛物线过点C， ， 实际此时抛物线在点C下方， ∴a不存在； ∴；    ②当抛物线顶点在上时． 此时顶点为， ∴，解得．    ∴综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数综合，熟练掌握一次函数与一元一次方程的关系，点的平移规律，待定系数法，结合图象解不等式或方程，分类讨论，解题的关键． 14． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，理解点坐标的特点，设二次函数解析式为，把点代入计算即可求解，掌握待定系数法求解析式，二次函数交点式是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象过， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 故答案为： ． 15． 1 向上 直线 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式，掌握二次函数的性质以及运用待定系数求函数解析式成为解题的关键．将点代入可求得a的值，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：将点代入可得：，解得：， ∴函数解析式为， ∴抛物线的开口方向是向上，顶点坐标为，它的对称轴是直线． 故答案为：1，向上，，直线． 16． 【分析】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式以及对称轴公式的运用. 设二次函数的解析式为， 然后把，，分别代入解析式得到关于的三元一次方程组， 解方程确定的值，最后根据抛物线的对称轴为直线得到答案． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把，，分别代入解析式得， 解得，，， 则二次函数的解析式为：， ∴对称轴是直线：． 故答案为：． 17． 【分析】把点代入，解方程即可得出． 【详解】解：把点代入得， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，本题比较基础，较简单． 18．(1) (2)对称轴为直线，最小值为 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案； （2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点，， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上， ∴函数有最小值为． 19．(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析、二次函数的图象与性质． （1）把点代入求得点，再代入求解即可； （2）由（1）可得，即可求得二次函数解析式和顶点坐标； （3）根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线的图象经过点， 把点代入得，， ∵二次函数的图象经过点， 把点代入得，； （2）解：由（1）得，， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴 ∴当时，函数中的y随x的增大而增大． 20．(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据函数图象的交点求表达式的解集； （1）设抛物线解析式为，将点代入，即可求解； （2）先解方程，得出，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线解析式为，将点代入， 得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）当时， 解得： 又∵抛物线开口向上， ∴当时，的取值范围是或 21．(1) (2)符合条件的点的坐标是：或或或或 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点． （1）由抛物线的顶点为得到抛物线的对称轴为轴，则可判断点为抛物线上的对称点，再根据矩形的面积得到，则可得到点的坐标为，然后设顶点式，再把代入求出的值即可； （2）设，则，，再分别根据①当时，②当时，③当时，三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为轴，设抛物线解析式为， 四边形为矩形， 点为抛物线上的对称点，， ∵， ∴， 矩形其面积为32， ， ， ∴，， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）解：设， ∵，， ，，， ①当时，点在线段的垂直平分线上，此时点与点重合，其坐标是； ②当时，可得， 解得， 此时点的坐标是或； ③当时，， 解得， 此时点的坐标是或， 综上所述，符合条件的点的坐标是：或或或或 22．(1) (2) 【分析】（1）设抛物线解析式为，把点C的坐标代入解析式，即可求解； （2）首先根据抛物线的对称性，可得点P的位置，可求得直线的解析式，再把代入解析式，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称， 连接交直线于P点，则， ， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 则满足条件的P点坐标为． 【点睛】本题考查了求一次函数及二次函数的解析，二次函数的性质，准确求得一次函数及二次函数的解析是解决本题的关键． 23．(1) (2) (3)故能将抛物线向下平移个单位长度，使平移后的抛物线经过点 【分析】此题考查二次函数图像与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积是解题的关键； （1）有题意直线过点和两点，根据待定系数法求出直线的解析式，再根据的面积为求出点的纵坐标，然后将其代入直线的解析式，即可求出点坐标； （2）把点的坐标代入，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）设将抛物线上下平移后抛物线为，把点坐标代入，求出的值即可； 【详解】（1）设直线的解析式为： 直线过和两点， ，， ，， ， 的面积为， ， ， ， 解得：， 点的坐标为： （2）把点代入， 得， 解得：， 故二次函数解析式为： （3）设将抛物线上下平移后解析式为：， 把点代入，得， 解得：， 故能将抛物线向下平移个单位长度，使平移后的抛物线经过点 24．(1) (2)点的坐标为，的面积为16 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解，平行四边形的性质等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点为即可求解； （2）根据抛物线的解析式求出，，再根据四边形是平行四边形即可求出点D的坐标及的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴将代入得：，即， 故该抛物线的解析式为． （2）解：该抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， 点的坐标为． 的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $