2.3 确定二次函数的表达式(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级下册（北师大版） 确定二次函数的表达式（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=-x+ 4与x轴交于点A,过点A的抛物线y=a2+bx与直线y=-x+4交于另一点 B,且点B的横坐标为1.求点A,B的坐标和抛物线的函数表达式. 【分析】利用点A是直线y=-x+4与x轴的交点求出点A的坐标，利 用点B在直线y=-x+4上和点B的横坐标为1求出点B的坐标，进而利 用待定系数法得出a,b的值，即可得出抛物线的函数表达式。 例题图 【解答】，直线y=-x+4与x轴交于点A,.A(4,0).点B的横坐标为1，且直线y= -x+4经过点B,.B(1,3). 116a+46=0, a=-1, 抛物线y=ax+bx经过A(4,0),B(1,3), 解得 y=-x2+4x. a+b=3. b=4. 【点拨】确定含有两个字母系数的二次函数表达式，一般需要两个条件，即要知道抛物 线上两个点的坐标或者知道抛物线的对称轴和顶点坐标，利用这两个条件列出二元一次方程 组，求出两个待定的系数.解题时要注意挖掘图象中隐含的相关信息，并将这些信息转化为 解题的已知条件. 基础巩固L)达标闯关 1.二次函数y=x+bx+c的图象如图所示，则2b+c的值为 2.抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则该抛物线所对应的函数表达式为 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过 点B(0,2),则y与x的函数关系式为() A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2 22 二次函数 第二章 4.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点 A(3,0),二次函数图象的对称轴为直线x=1,给出四个结论：①2a+ b=0;②bc<0;③a-b+c=0:④a+b+c=0.其中正确结论是() 1(3,0)x A.②④ B.①③ x=1 C.②③ D.①④ 第4题图 5.如图，抛物线y=x2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0). (1)求抛物线的函数表达式. (2)设抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长 B O C 第5题图 6.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)、点B(2,-3),与y轴交于点C,抛物线 的顶点为D, (1)求抛物线的表达式. (2)若抛物线上存在点P,使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，请求出点P的坐标. 第6题图 能力提升坤综合拓展 7.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标. (2)当y≤-2时，请根据图象求出x的取值范围. 第7题图 因 口数学 九年级下册（北师大版） *8.已知抛物线y=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A与y1 的顶点B的距离是4. (1)求抛物线y1的表达式 (2)若y2随x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求直线y2的表达式. 中考链接©真题演练 9.(2025·广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km,主塔高0.27km,主缆可 视为抛物线，主缆垂度为0.1785km,主缆最低处距离桥面0.0015km,桥面距离海平面约 0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式， 1.7km 主塔 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km -0.0015km 0.09km.- 海平面 第9题图 10.(2025·青海)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A，B两 点，点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上. (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)①求点A的坐标；②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围： (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角 三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由， 第10题图 函参考答案与提示 物线号-2x过原点，且点A与原点不重合，出产 x的取值范围是-3≤x≤1. 8.解：(1)：抛物线y=-x2+mx+n,直线y2=kx+ 07>0 b,y的对称轴与2交于点A(-1,5),点A与y的顶 点B的距离是4，B(-1,1)或(-山，9).2x- m ②由题意，知y=ax-4ax1,y2=x号-2x22-点 YI xI -2x,=也.两条抛物线均过原点，且点A,B与 =-1, 4x1)x-m=1或9，解得m=-2,n=0或8， 4×(-1) a(x7-4x1）x1 1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8.(2)抛物线与x轴交 原点都不重合，≠0，≠0.。-2 a(-4)=1.= 点的纵坐标等于0，即=0.①当y=-x2-2x时，令- a(x1-4)+2.-axr4)+2=+24.依题意，知a+ x2-2x-0.∴.抛物线与x轴的交点是(0,0)和(-2,0). 1 y1的对称轴与2交于点A(-1,5),且y2随着x的增 24恤是与无关的定值，又≠0,2-4=0.解得 大而增大，少与y2都经过x轴上的同一点(-2,0) =分此时，兰=号是一个与无关的定值.a子 1 把(-1,5，（-2,0)代入2kx+b,得2+b0解 x12 b=-4a=-2. 得0y5x+10.②当=-2-2x+8时，由题意知 3确定二次函数的表达式（第1课时） -x2-2x+8=0,解得x=-4或2，.抛物线与x轴的交点 1.-72.=-x2+x+23.D4.B 是(-4,0)和(2,0).随x的增大而增大，且过 5.解：(1)抛物线y=a+2x+c经过点A(0,3), 点A(-1,5),y1与2都经过x轴上的同一点(-4,0) B(-L,0),将点A与B的坐标代入得3=C, 解 l0=a-2+c. 把(-1,5)，4,0)代人x+b,得0解 得，1，则抛物线表达式为y=-+2x+3.(2)将 c=3, 3 得 5x+20. y=-x2+2+3配方，得y=-(x-1)2+4,则顶点D(1,4)· :y 3 :对称轴=1与x轴交于点E,DE=4,OE=1.B(-1, -号 9.解：以桥面横截面为x轴，以主缆垂度所在的 O),:BO=1..BE=2.在Rt△BED中，根据勾股定理得 直线为γ轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点坐标 BD2=BE+DE2=22+42=20,∴.BD=2V5. 为(0,0.0015).可设该抛物线的表达式为y=ax2+ 6.解：(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)、 0.0015.由题意，知抛物线经过(0.85,0.18)，则 点2,3，第得修子范药的 lc=-3. 01S-035+0015解得一酷：该抛物线的表达式 表达式为y=x2-2x-3. 为=2+0.0015. (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,.点D的坐标为(1， 851 -4).令x=0,则y=x2-2x-3=-3,.点C的坐标为(0， 10.解：(1)将A(1,0),C(2,5)代入y=ax2+ -3).又点B的坐标为(2，-3)，BC∥x轴，BC= 6x3（a≠0)，得2s解得2，抛物线对 2Se×2x1=1.设抛物线上点P的坐标为(m, l4a+2b-3=5. 应的函数表达式为y=x2+2x-3. m-2m-3),sam=号2xni-2nm-3-(←3lelm-2m=4 (2)①令y=0,则x2+2x-3=0.解得x=-3或x=1. 点A的坐标为(-3,0)·②-3<x<1 当m2-2m=-4时，方程无解；当m2-2m=4时，解得m= (3)存在.设点P的坐标为(0，a),A(-3,0), 1±V5.当m=1+V5时，m2-2m-3=1；当m=1-V5 C(2,5),.AC-(2+3)24(5-0)P=50,A-(0+3)24(a-0)2 时，m2-2m-3=1.综上所述，点P的坐标为(1+V5, =9+2,CP2=(0-2)2+(a-5)2=d2-10a+29..·△ACP是以 1)或(1-V5,1). AC为直角边的直角三角形，∴分以下两种情况讨论： 7.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代人y= 当AP为斜边时，A严=AC+CP2,即9+2=50+2- ,82邻阳；三武商数的衣 10a+29.解得=7..P1(0,7). 当CP为斜边时，CP2=AC+AP严，即a2-10a+29= 达式为y=x2+2x-5.y=x2+2x-5=(x+1)2-6,.顶点坐标 50+9+2.解得a=-3.∴.P2(0,-3).综上所述，存在符 为(-1，-6). 合条件的点P,P(0,7),P(0,-3). (2)y≤-2，即满足该条件的抛物线上的点在过 3确定二次函数的表达式（第2课时）】 点(0，-2)且平行于x轴的直线y=-2的下方（包括 1.y=-x2-2+32.-23.y=x2-4x+5 直线y=-2与抛物线的交点).：点A(1,-2)关于对称 4.B5.D6.C 轴直线x=-1的对称点为C(-3,-2),∴.当y≤-2时， 7.解：由题意，得c=-1.二次函数y=a2+bx-1