2026年山东省荣成市拔尖创新人才选拔考试数学模拟试题（二）

数学试题 注意事项： 1.本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并 交回。 2.答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和 试卷规定的位置上。所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答.写在试卷上或答题 卡指定区域以外的答案一律无效。 3.不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.用四种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起， 刚好能铺满地面.已知正多边形的边数为m1,2,,4,则1十1十1十1 1l2L34 的值为() A.1 B号 c号 D 2.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10°℃即为入冬，将连续5天的日 平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、 ③、④，依次计算得到结果如下：（标准差是方差的算术平方根） ①平均数x<4; ②平均数x<4且极差小于或等于3； ③平均数x<4且标准差s≤4； ④众数等于5且极差小于或等于4 则4组样本中一定符合入冬指标的共有() A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 3.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前 抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比 赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比 赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙 轮空，设每场比春双方获胜的概率都是}，则甲最终获胜的概率是() A.16 B.ic c. D 数学试题第1页（共7页） 4.2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式，此次阅兵以庄严姿态，向世 界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求」 在排练演习过程中，某队伍长L,以速度%匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶 赴排头，到达排头后立即返回往返速度均为”则当传令兵回到排尾时，全队正好前 进了L,则传令兵回到排尾时所走的路程为（) A.(1+3)L B.(2+√3)L C.(1+√2)L D.(2+√2)L 5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 V5,1(Y52≈0.618，称为黄金分割比例)，菩名的“断臂维纳斯“便是如此，此 2 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5，-1，且腿长 2 为l05cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 6.我们把M={1,3,x}叫集合M,其中1,3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具 有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序后， 新集合与原集合相等)。己知集合A={0,x,y},集合B={x,y,√x-y},若A= B,则x+y的值是() A.4 B.2 C.0 D.-2 7.己知正整数m,n,p,q满足<n<p<q,且2m+2n+p+q=n2-m2+-p2, 关于这个四元方程下列说法正确的个数是() ①=1，n=3,p=5,q=6是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若<n<p<q<10,则该四元方程有15组解： ④若+n+p+q=2023,则该四元方程有504组解 A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,将射线 CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取 一点D,连接AD,使得△ACD面积为24，连接BD, 则BD的最大值是() A.2√13+2 B.2√/13+4 C.4W13+2 D.413+4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分 9设a=V2+5+V2-5,则a+a的整数部分为 数学试题第2页（共7页） 10.方程1-x+1‖+k=有三个实数根，则k= 11.某次数学考试中有一道4分的选择题，只有得满分与不得分两种情况，若某班同学 作答该题的平均分为2.5，则方差为 12.正五边形的边和对角线共有10条，将每条以50%-50%的概率随机染成红、蓝两 色之一，则所有以正五边形的顶点为顶点的三角形均不三边同色的概率是 第13题图 第14题图 13.如图，已知三个等圆，A,B,C为圆心，每个圆的圆心都在另外两个圆的圆周上，若 △ABC的面积为300，则阴影部分的面积为 14.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，F是BE的中点，P点是以B为圆 心，BE为半径的圆上任意一点，则号A+2PF的最小值为 15照板上写有1,7，}，子2020这2020个数字每次操作，先从照板上选取两 个数a,b,并写上数a+b+b,则最终黑板上剩下的数是 16直线4的解析式为y=了x+1,直线么与4，x轴分别交于不重合的两点A,B,且 点A与点B的横坐标之积为4，则原点到12距离的最大值为 三、解答题：本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 17.(6分) 某社区新建透水砖便民步道总长00米，市政小型工程队为尽快完成便民项目， 实际每天比原计划多铺设20米，结果实际铺设天数恰好是原计划的子 (1)求原计划每天铺设多少米： (2)完成后新增支路工程，甲、乙工程队分别从两端同时施工，计划甲每天铺16 米，每米成本为2千元：乙每天铺12米，每米成本为3千元.实际施工时，甲每米成本 增加m千元，每天可多铺一m米；乙每米成本不变，每天比计划少铺m米，若实际每天 的总成本比计划多(18- )千元，且乙每天铺设量不低于原计划的75%，求m的值. 数学试题第3页（共7页） 18.(8分) 尺规作图. ●0N ●02 (1)已知⊙O,⊙O2,求作两圆的内公切线 (2)已知⊙O1,⊙O2,求作两圆的外公切线. 19.(11分) 数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究. 如图1，已知在中Rt△ABC,∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2,点P为AB边上的一个动 点，连接PC,设BP=x(0≤x≤4)，CP=y (1)当CP⊥AB时，x= (2)填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：√3≈1.732；√13≈3.606）： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 y 2 1.8 1.7 2.3 2.6 3 (3)试求y与x之间的函数关系式： (4)在图二中描出该函数的图像并写出该函数的两条性质. 5 30° ● 2● ●● 1 1 o十之46 图1 图2 数学试题第4页（共7页） 20.(11分) 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为 (-弓，-10)小.运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点0的抛物线。 在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为(1，子)，正常情况下，运动 员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则 就会失误.运动员入水后，运动路线为另一条抛物线 (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点B的坐标 (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动 员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由 (3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点，且BM=,BN= 2,该运动员 入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,且顶点C距水面4米，若该 运动员出水点D在N之间（包括M,N两点），请直接写出α的取值范围. 10 4P.N.水面 ---- ----一一一 第20题图 21.(12分) 【发现问题】 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的 籽 【提出问题】 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 【分析问题】 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽 在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交 错规律排列，每行有个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d (n,k均为正整数，n>k≥3，d>0),如图1所示 数学试题第5页（共7页） 图1 rlnlnlrln1 t川l- 图2 图3 图4 小明设计了如下三种铲籽方案 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ,共铲 行，则铲 除全部籽的路径总长为 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长. 【解决问题】 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操 作方法进行评价. 22.(12分) A A(E') D 图1 图2 图3 【知识技能】 (1)如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点D按逆 时针方向旋转，得到△A'DC'.当点E的对应点E与点A重合时，求证：AB=BC. 【数学理解】 (2)如图2，在△ABC中(AB<BC),DE是△ABC的中位线.连接CD,将△ADC 绕点D按逆时针方向旋转，得到△A'DC',连接A'B,CC,作△A'BD的中线DF.求 证：2DF.CD=BD·CC'. 【拓展探索】 (3)如图3，在△ABC中，tanB=号，点D在AB上，AD=2.过点D作DE上 5 BC,垂足为B,BB=3,CB=号.在四边形ADBC内是否存在点G,使得∠AGD+ ∠CGE=180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由， 数学试题第6页（共7页） 23.(12分) 如图，己知二次函数y=ax(x-4)(a≠0)的图象过点A(2,2),连接OA,点 P(x1,),Q(x2,y2),R(x3,y3)是此二次函数图象上的三个动点，且0<x3<x1<x2< 2,过点P作PBy轴交线段OA于点B. 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个 命题中选择一个进行解答： ①当PB>QC时，求证：x1+x2>2: ②当PB>RD时，求证：x1十x2<2; (3)如图，若x=多x名，=号，延长PB交x轴于点工，射线Qr、R分别与y轴 交于点Q1,R,连接AP,分别在射线AT、x轴上取点M、N(点N在点T的右侧)，且 ∠AN=∠PAO,MN=2W2.记t=RQ1-ON,试探究：当x1为何值时，t有最大值？ 并求出t的最大值. 数学试题第7页（共7页）