精品解析：浙江杭州市 钱塘区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025学年第一学期学业水平测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形绕点O旋转后，能与原图形重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图形的旋转对称性质，判断图形绕点O旋转后是否能与原图形重合即可． 【详解】解：A项：图形中的三角形绕点O旋转后与原图形的位置和方向都发生了改变，不能与原图形重合，故A错误； B项：图形中的正方形绕点O旋转后与原图形的位置和方向没有发生改变，能与原图形重合，故B正确； C项：图形中的五边形绕点O旋转后与原图形的位置和方向都发生了改变，不能与原图形重合，故C错误； D项：图形中的六边形绕点O旋转后与原图形的位置和方向都发生了改变，不能与原图形重合，故D错误， 故选：B． 2. 如图，一个自由转动的转盘被等分成5个扇形，分别标有“祝新年快乐”，让转盘自由转动一次（若指针落在等分线上，则重新转动），指针恰好落在“新”字所在扇形区域的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的计算，掌握好概率的计算公式是关键． 根据题意，分析可能的结果，结合概率计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，一共有5种等可能性的结果， ∴指针恰好落在“新”字所在扇形区域的概率是． 故选：C． 3. 如图，已知．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质及三角形内角和定理，根据相似三角形对应角相等求出的度数，再利用三角形内角和为计算的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，∵，， ∴； 故选：D． 4. 下列图形中，线段是所在圆的直径的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以及锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. ＞0， B. ＜0， C. ＞0， D. ＜0， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 8. 如图，点C，D是半圆O的三等分点，连接．若半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是求解阴影部分的面积，如图，连接，过作于，证明为等边三角形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵点C，D是半圆O的三等分点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是：． 故选：A 9. 如图，在中，点D，F在边上，点E在边上，连接，，，且满足，．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质．由，推出，再证明，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知抛物线与x轴的两个交点之间的距离是2，将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的平移，一元二次方程根与系数的关系．设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，，，，得出，配方得，求得其顶点坐标为，然后求得所得的抛物线为，令，求得新的抛物线与轴两个交点的横坐标，据此求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线向右平移4个单位，再向上平移3个单位， ∴所得的抛物线为， 令，则， 解得， ∴新的抛物线与轴两个交点的横坐标分别为和， ∴， ∴所得的抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：B． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则的值是______． 【答案】 6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系得出b与a的比值，进而将所求表达式分解求解． 【详解】解：由，可得，则， 故答案为：6． 12. 圆圆在篮球训练中，对一个月投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 200 400 600 800 1000 1200 1400 投中次数 150 332 491 630 812 958 1122 投中的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.80 0.80 估计圆圆投一次篮，投中的概率是______． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由圆圆每次投篮的投中的频率继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 【详解】解：根据频数表可以看出圆圆投中的频率大都稳定在0.8左右， ∴估计圆圆投一次篮，投中的概率是0.8， 故答案为：0.8． 13. 若二次函数的图象与y轴的交点坐标为，则t的值是______． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点坐标， 求二次函数与y轴交点时，令时，即可求参数t． 【详解】解： 当时，， 解得． 故答案为：2． 14. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的面积为1，则的面积是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，先根据已知条件求出位似比，再根据面积比与位似比的关系求出的面积． 【详解】解：∵与是位似图形，，点O为位似中心， ∴， ∴和的面积比为， ∵的面积为1，设的面积为S， ∴，解得， ∴的面积是4， 故答案为：4． 15. 如图，是的直径，点C，D，E在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，如图，连接，可得，进一步利用等腰三角形的性质与圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 16. 如图，点C是半圆O上的一个动点，将沿着折叠交直径于点D，点E是的中点，连结．若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质．作点D关于的对称点交原上，连接，作点O关于的对称点交上，连接，，，，，过点C作，利用倒角及圆周角定理得出相关角度的表达式，再利用，列出α的方程求解α的值，通过垂径定理证得是等腰直角三角形，从而求得的值，由三角形任意两边之差小于第三边得出，当C，O，E三点共线时，有最小值，即可解答． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点交原上，连接，作点O关于的对称点交上，连接，，，，，过点C作， ∵为半圆直径，， ∴， ∵E是中点， ∴， 设的度数为α，则的度数为， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，，，， ∴的度数为α，的度数为α， ∴， ∴，即， ∴的度数为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可知，E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴当C，O，E三点共线时，有最小值， ∴， 即最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字2，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，4的卡片在乙手中． （1）若从乙手中随机抽取一张卡片，求该卡片数字比2大的概率． （2）若从甲乙手中各随机抽取一张卡片，求两张卡片上的数字和等于6的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵乙手中有标有数字1，3，4的卡片，共张，且比大的数字有3，4，共张， ∴从乙手中随机抽取一张卡片，该卡片数字比2大的概率； 【小问2详解】 解：画树状图可得： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中两张卡片上的数字和等于6的情况有种， 故两张卡片上的数字和等于6的概率为． 18. 受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． （1）求证：． （2）求河宽的长． 【答案】（1） 证明： ，， ． （2）河宽为60米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用． （1）由，可得结论． （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 由题意知，，，， 即， ， 答：河宽为60米． 19. 数学建模小组利用人工智能软件对掷实心球训练进行研究，他们发现掷出后的实心球沿抛物线运行，其中实心球离地面的高度y（单位：）与实心球离掷出位置的水平距离x（单位：）之间的函数关系如图所示．已知实心球掷出位置离地面的高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）求实心球落地时的水平距离． 【答案】（1） （2）实心球落地时的水平距离为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意得，将代入求解即可； （2）把代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵当水平距离为时，实心球行进至最高点处． ∴设抛物线为， 将代入得， 解得； ∴抛物线为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或（舍去）， ∴实心球落地时的水平距离为． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B，C三个格点恰好在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中的弧上找一个格点M，使． （2）在图2中标出圆心O，并在上找一个点N，使． 【答案】（1） 点M即为所求： （2） 圆心O和点N即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的对称性，角平分线的性质及网格作图的几何直观． （1）在弧上任取一格点，连接，，即为所求； （2）分别作，，的垂直平分线，，，三条垂直平分线的交点即为圆心O，在直线上取格点K，L，连接交圆于点N，连接，点N即为所求． 【小问1详解】 解：根据圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等， 要使，需让和对应同一段弧， ∵对应弧， ∴也需对应弧， ∴在弧上任取一格点，连接，，即为所求． 【小问2详解】 解：∵为圆内接三角形， ∴圆心O为的外心， 结合网格图特征，分别作，，的垂直平分线，，，三条垂直平分线的交点即为圆心O， ∵， ∴为的角平分线， 在直线上取格点K，L，连接交圆于点N，连接， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， ∴N是的中点，即， ∴． 21. 如图，在中，，以底边为直径作，连接，分别与，相交于点，． （1）连接，直接写出与的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，则．容易判断是等腰直角三角形，则，根据圆内接四边形的性质求出； （2）连接，根据直角三角形的性质可得，，进而推断出是等边三角形，则，，使用扇形弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质可得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查圆的基本概念，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形的弧长公式，熟练掌握圆的基本性质是关键． 22. 【阅读理解】数学探究课上针对如何求角的正切值问题，圆圆给出了下列解法： 如图1，作，使，，延长至点D，使得． 连接，得．设，则，． ∴． 【类比迁移】参照上述解法，若，求的值． 【拓展应用】如图2，在中，若，，，求的长． 【答案】【类比迁移】，【拓展应用】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及解直角三角形． 【类比迁移】构造，使，，延长至点D，使得．连接，则，设，根据已知条件结合正切的定义及勾股定理求得，最后通过解直角三角形得出； 【拓展应用】过点C作于点D，设，则，由[类比迁移]可知，，设未知数表示出线段长度，求出的长度，进而求出t的值，最终得到的长度． 【详解】解：[类比迁移]作，使，，延长至点D，使得．连结，则， 设， ∵， 在中，， ∴， 根据勾股定理，可得， ∴， ∴， 在中，； [拓展应用]如图，过点C作于点D，设，则， 由[类比迁移]可知，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知抛物线（）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标； （2）若，点在该抛物线上，且，求m的取值范围； （3）若点均在该抛物线上，且对于任意，始终成立，求证：． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为； （2）； （3） 证明：∵对于任意，始终成立， ∴是函数的最大值， ∵， ∴顶点坐标为， ∴且， ∵点在该抛物线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为12， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标与对称性是解题的关键． （1）求得，配方得，即可求得抛物线的顶点坐标为； （2）分别求得，，根据，即可求得m的取值范围； （3）先判断是函数的最大值，配方得到顶点坐标为，推出且，再求得，用表示出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可证明． 【小问1详解】 解：若该抛物线经过点， 则，解得， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点在该抛物线上， ∴， ， ∵， ∴，整理得， ∵， ∴，整理得， 解得； 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，弦于点，为上一点，延长，交于点，连接和． （1）若，．求的半径． （2）求证：． （3）若，，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵直径， ∴， ∴， 由圆内接四边形的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设的半径为，根据垂径定理和勾股定理构造方程并求解即可； （2）连接，由垂径定理可得，，则，由圆内接四边形的性质可得，，命题得证； （3）连接，设，则，容易证明和都是等腰三角形，进而可证明和．根据相似三角形的性质，表示出和，求比值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，设的半径为， ∵直径， ∴，， ∵。 ∴， 在直角中，， ∴， 解得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，设，则， 由圆内接四边形的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期学业水平测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形绕点O旋转后，能与原图形重合的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个自由转动的转盘被等分成5个扇形，分别标有“祝新年快乐”，让转盘自由转动一次（若指针落在等分线上，则重新转动），指针恰好落在“新”字所在扇形区域的概率是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，已知．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，线段是所在圆的直径的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则的值是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. ＞0， B. ＜0， C. ＞0， D. ＜0， 8. 如图，点C，D是半圆O的三等分点，连接．若半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D，F在边上，点E在边上，连接，，，且满足，．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线与x轴的两个交点之间的距离是2，将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则的值是______． 12. 圆圆在篮球训练中，对一个月投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 200 400 600 800 1000 1200 1400 投中次数 150 332 491 630 812 958 1122 投中的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.80 0.80 估计圆圆投一次篮，投中的概率是______． 13. 若二次函数的图象与y轴的交点坐标为，则t的值是______． 14. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的面积为1，则的面积是______． 15. 如图，是的直径，点C，D，E在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 16. 如图，点C是半圆O上的一个动点，将沿着折叠交直径于点D，点E是的中点，连结．若，则的最小值是______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字2，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，4的卡片在乙手中． （1）若从乙手中随机抽取一张卡片，求该卡片数字比2大的概率． （2）若从甲乙手中各随机抽取一张卡片，求两张卡片上的数字和等于6的概率． 18. 受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． （1）求证：． （2）求河宽的长． 19. 数学建模小组利用人工智能软件对掷实心球训练进行研究，他们发现掷出后的实心球沿抛物线运行，其中实心球离地面的高度y（单位：）与实心球离掷出位置的水平距离x（单位：）之间的函数关系如图所示．已知实心球掷出位置离地面的高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）求实心球落地时的水平距离． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B，C三个格点恰好在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中的弧上找一个格点M，使． （2）在图2中标出圆心O，并在上找一个点N，使． 21. 如图，在中，，以底边为直径作，连接，分别与，相交于点，． （1）连接，直接写出与的度数； （2）若，求的长． 22. 【阅读理解】数学探究课上针对如何求角的正切值问题，圆圆给出了下列解法： 如图1，作，使，，延长至点D，使得． 连接，得．设，则，． ∴． 【类比迁移】参照上述解法，若，求的值． 【拓展应用】如图2，在中，若，，，求的长． 23. 已知抛物线（）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标； （2）若，点在该抛物线上，且，求m的取值范围； （3）若点均在该抛物线上，且对于任意，始终成立，求证：． 24. 如图，是的直径，弦于点，为上一点，延长，交于点，连接和． （1）若，．求的半径． （2）求证：． （3）若，，求的值．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $