精品解析：江西景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年上学期期末考试高三数学试卷

乐平一中2025-2026学年上学期期末考试 高三数学试卷 命题人：朱明明 审题人：王爱兰 时长：120分钟 总分：150分 一､单选题（每小题6分，共40分） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 若复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先根据复数的乘法运算确定复数，在求复数的模. 方法二，根据复数模的性质，可求复数的模. 【详解】方法一：因为，所以. 方法二：因为，所以. 故选：C 3. 已知向量与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积公式代入计算即可. 【详解】因为向量与的夹角为， 所以. 故选：B. 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是数列的前项和，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本量法求得，再根据等差数列求和公式求解即可. 【详解】∵成等比数列，∴， ∴=，，解得. 故 . 故选：D 5. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线,满足，所以，则. 所以准线方程是. 故选A. 6. 某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（ ） A. 144种 B. 156种 C. 188种 D. 240种 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑法结合排列数的性质求解即可. 【详解】先将节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》捆绑在一起， 有种排法，再把这个整体和另外三个节目全排列，有种排法， 则共有种排法，故A正确. 故选：A 7. 已知奇函数的定义域为，且为的一个周期，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由为的一个周期，可得，，结合条件可求，再由奇函数性质求结论. 【详解】因为为的一个周期， 所以，， 又，所以，故，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 故选：B. 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可. 【详解】，， ， 令，则， ，即， ， ， ， 解得， 故选：D 二､多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“”的否定是：“” B. 一组数据的第75百分位数为25 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D. 若，则有最小值2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：先将 “存在” 改为 “任意”，再否定结论判断即可；选项B：先排序，再用 定位，依据百分位数的定义整数取平均、非整数向上取整即可；选项C：根据线性相关性与相关系数的关系判断即可；选项D：利用基本不等式性质求出最值判断即可. 【详解】选项A：因为对于命题“”，所以否定为“”， A正确； 选项B：对于数据，因为，， 所以 ，不是整数，向上取整为4，所以第75百分位数是第4项数据25，B正确； 选项C：因为根据线性相关性与相关系数的关系： 线性相关系数 r 的绝对值越接近 1，线性相关性越强；越接近 0，线性相关性越弱，因此 C 正确； 选项D：因为 ，所以 ， 所以 当且仅当 ，即 时等号成立， 但已知 ，等号取不到，所以 ，没有最小值2，选项D错误. 故选：ABC. 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将图象上的所有点向右平移个长度单位后，得到的函数图象关于轴对称 C. 函数在区间上有2个极值点 D. 函数在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据 中 ，， 的几何意义，结合图象，求得 的解析式，再结合正弦函数的性质及导数的几何意义、直线的点斜式方程，逐项分析即可 【详解】解： 由图可知 ，， 又因为 ，所以 ， 设函数的最小正周期为，由已知，又， 所以， 因为，函数在附近单调递减， ，， 所以 ， 所以 . 对于A： 的最小正周期为 ，A正确； 对于B：由题知平移后的函数为： 因为函数图像关于 轴对称，所以 应为偶函数，即 ， 但 ， 所以 不是偶函数，图像不关于 轴对称，B 错误； 对于C：令 ，，解得 ，， 当 时，， 当 时，，当 时，（舍）， 当 时，（舍）， 所以函数 在区间 上有2个极值点，一个是 ，一个是 ，C正确； 对于D，因为，所以， 所以 ， 所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 ，D正确. 故选：ACD. 三､填空题（每小题5分，共16分） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态分布的性质结合题意求解概率即可. 【详解】由正态分布性质得正态曲线关于对称， 因为，所以， 因为正态分布的总概率为1，所以， 则. 故答案为： 13. 已知圆锥的高为1，母线与底面所成角的大小为，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆锥的高和母线与底面所成角的大小，再求出圆锥的底面半径，最后利用圆锥体积公式计算体积. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为在 中，，，， 所以，即， 所以. 故答案为：. 14. 设点P是曲线上一动点，点Q是圆上一动点，点，则的最小值是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】解：设双曲线的右焦点为，圆的圆心为，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P，Q分别为线段FM与双曲线的右支，圆的交点时取等号． 故的最小值为 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的定义，双曲线的性质和几何意义，点与圆的位置关系，属于中档题．在解决线段的和或差的最值，常运用圆锥曲线的定义，化曲为直得以解决. 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理求解即可； （2）由（1）结合三角形面积公式求得，再利用已知条件求得，得解. 【小问1详解】 因为，又，所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，得， 又，解得， 所以，故， 所以的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，则， 又，即， 因为，平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 由题意得平面，， 以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以、、、、， ，，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线的倾斜角为，且与椭圆相交于两点.求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出的值，再利用椭圆中 的关系，计算得到，代入即可求出椭圆的标准方程； （2）先由直线倾斜角得到斜率，并结合点写出直线方程；然后将直线方程与椭圆方程联立整理得到一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积；再通过弦长公式求出弦长，并利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离 ；最后代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为，即，所以 ， 则离心率 ，代入得， 所以， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 因为直线过点，倾斜角为， 所以斜率，直线方程为： 则联立直线与椭圆方程： 所以，整理：， 设，，由韦达定理： 所以弦长 ， 原点到直线 的距离： 所以. 18. 2025景德镇市“瓷博会”1号馆以“品牌生辉”“匠心传承”“创新创意”“器象万千”“开放包容”五大主题，吸引了世界各界人士参与､体验.为了了解人们对活动的喜爱程度，现随机抽取400人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 180 240 女性 50 合计 400 （1）完成列联表，并判断是否有把握认为人们对该活动的喜爱程度与性别有关联； （2）为宣传景德镇陶瓷文化知识，当地文化局组织了知识竞赛活动.活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答.甲乙各自独立答题，假设在8道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；乙只能正确完成其中的6道题. ①已知甲正确完成题个数服从二项分布，求抽取4道题中甲至少正确完成其3道题的概率； ②设随机变量表示乙可以正确完成题的个数，求变量的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为人们对该活动的喜爱程度与性别无关； （2）①；②分布列见解析，3. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论； （2）①应用独立重复试验的概率求法及互斥事件加法求概率；②由题意X的所有可能取值为2，3，4，依次求出对应概率即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 补全的列联表如下 不喜爱 喜爱 合计 男性 60 180 240 女性 50 110 160 合计 110 290 400 零假设为：人们对该活动的喜爱程度与性别无关， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为人们对该活动的喜爱程度与性别无关． 【小问2详解】 ①记“甲至少正确完成其中3道题”为事件A， 则； ②由题意得的所有可能取值为， 可得，，， 则的分布列如下， X 2 3 4 P 故的数学期望为． 19. 已知，函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出可求切线方程； （2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求. （ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立. 【小问1详解】 ，故，而， 曲线在点处的切线方程为即. 【小问2详解】 （i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平一中2025-2026学年上学期期末考试 高三数学试卷 命题人：朱明明 审题人：王爱兰 时长：120分钟 总分：150分 一､单选题（每小题6分，共40分） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 10 3. 已知向量与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是数列的前项和，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 0 5. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 6. 某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（ ） A. 144种 B. 156种 C. 188种 D. 240种 7. 已知奇函数的定义域为，且为的一个周期，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 二､多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“”的否定是：“” B. 一组数据的第75百分位数为25 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D. 若，则有最小值2 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将图象上的所有点向右平移个长度单位后，得到的函数图象关于轴对称 C. 函数在区间上有2个极值点 D. 函数在点处的切线方程为 三､填空题（每小题5分，共16分） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 13. 已知圆锥的高为1，母线与底面所成角的大小为，则该圆锥的体积为__________. 14. 设点P是曲线上一动点，点Q是圆上一动点，点，则的最小值是_____________ 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线的倾斜角为，且与椭圆相交于两点.求的面积. 18. 2025景德镇市“瓷博会”1号馆以“品牌生辉”“匠心传承”“创新创意”“器象万千”“开放包容”五大主题，吸引了世界各界人士参与､体验.为了了解人们对活动的喜爱程度，现随机抽取400人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 180 240 女性 50 合计 400 （1）完成列联表，并判断是否有把握认为人们对该活动的喜爱程度与性别有关联； （2）为宣传景德镇陶瓷文化知识，当地文化局组织了知识竞赛活动.活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答.甲乙各自独立答题，假设在8道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；乙只能正确完成其中的6道题. ①已知甲正确完成题个数服从二项分布，求抽取4道题中甲至少正确完成其3道题的概率； ②设随机变量表示乙可以正确完成题的个数，求变量的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知，函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $