11.1二次根式的概念寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

11.1二次根式的概念寒假预习讲义（苏科版） 💧 课前预习★目标 ◆理解二次根式的概念，能识别二次根式； ◆掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中字母的取值范围； ◆能利用二次根式性质进行简单化简与计算； ◆会利用二次根式的非负性解决相关问题。 💦重点知识★梳理归纳 【知识点1二次根式】 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.a叫做被开方数. 要点提醒： (1) 二次根式的三个要素：a.含有 b.根指数为2； c.被开方数为非负数. (2) 任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果.如：，都是二次根式; (3) 二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a≥0 (4) 实际问题中，若已知是二次根式，相当于给出a≥0. 【知识点2二次根式有意义的条件】 （1） 单个的一个二次根式，如有意义的条件是a≥0； （2） 二次根式作为分母时，如有意义的条件是a>0； （3） 二次根式与分式相加，如+有意义的条件是a≥0且b>0 【知识点3二次根式的性质】 (1) (a≥0)既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（≥0），所以具有双重非负性； (2) （2 )=a(a≥0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； (3) （）=|a|=,即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【知识点4二次根式的化简】 （1） 利用二次根式的基本性质进行化简； （2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简. =·(a≥0,b≥0).=(a≥0,b>0) 易错提醒： 1. 在使用=·(a≥0,b≥0)时，一定要注意a≥0,b≥0的条件限制； 2. 在使用=(a≥0,b>0)时，一定要注意a≥0,b>0的条件限制. ☘ 核心考点★精讲讲练 题型1二次根式的识别 例1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 变式1．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 题型2求二次根式的值 例2．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 变式1．如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，， 则． 故答案为： ． 变式2．当时，求二次根式的值． 【答案】1 【分析】根据二次分式的性质即可求解． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解． 题型3求二次根式中的参数 例3．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 变式1．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 变式2．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 题型4二次根式有意义的条件 例4．函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数的定义域、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵， ∴分母，根号内， ∴且，， 综上，定义域为且． 故选：A． 变式1． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件求出，进而代入计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质被开方数大于等于，求出x和y的值，进而即可求解 【详解】解：由题意得：， ， ∴ ， . 题型5利用二次根式的性质化简 例5．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 变式1．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理和勾股定理，求解OB的长度； 本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ，， ． ， ， ， ． ， ，， ， ， ． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列代数式中，二次根式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，形如的式子是二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．是整式，不符合二次根式形式； B．是分式，不符合二次根式形式； C．， ，且式子为，符合二次根式定义； D．是分式，不符合二次根式形式． 故选：C． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；     B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；     C．不是二次根式，故不符合题意；     D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 3．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 4．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，据此列出不等式求解x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故实数x的值可以是3； 故选D． 5．下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（   ） A．，2， B．6，8，10 C．12，13，15 D．7，15，23 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理判断两小边的平方和是否等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A、，， ∵，∴不能构成直角三角形； B、，， ∵，∴能构成直角三角形； C、，， ∵，∴不能构成直角三角形； D、，， ∵，∴不能构成直角三角形； 故选：B． 二、填空题 6．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 7．若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 8．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，函数是分式，分母是二次根式，因此需要分母不为零，且被开方数大于或等于零，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，自变量x的取值需满足 即， 解得 ． 故答案为：． 9．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据被开方数为非负数，得，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质运用，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）原式根据进行计算即可； （2）原式先计算括号内的平方，再进行后续计算即可； （3）原式根据进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ． 11．先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，28 【分析】先将原式化简，再对进行变形，根据非负数的性质求出a和b的值，代入化简后的式子求解即可． 【详解】解：原式 由变形可得， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值、平方差公式、完全平方公式，二次根式的非负性，对原式进行正确化简是解题的关键． 12．若成立，求． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及代数式求值，关键是根据二次根式被开方数非负的性质确定的取值．先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入的表达式计算出，最后将、代入计算结果． 【详解】解：∵， ∴，解不等式得，解不等式得， ∴， ∴． 则． 故答案为：． 13．已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值； （2）将x，y的值代入计算即可 【详解】（1）是实数，且满足， 解得 ∴； （2）当，时， ； 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1二次根式的概念寒假预习讲义（苏科版） 💧 课前预习★目标 ◆理解二次根式的概念，能识别二次根式； ◆掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中字母的取值范围； ◆能利用二次根式性质进行简单化简与计算； ◆会利用二次根式的非负性解决相关问题。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1二次根式】 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.a叫做被开方数. 要点提醒： (1) 二次根式的三个要素：a.含有 b.根指数为2； c.被开方数为非负数. (2) 任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果.如：，都是二次根式; (3) 二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a≥0 (4) 实际问题中，若已知是二次根式，相当于给出a≥0. 【知识点2二次根式有意义的条件】 （1） 单个的一个二次根式，如有意义的条件是a≥0； （2） 二次根式作为分母时，如有意义的条件是a>0； （3） 二次根式与分式相加，如+有意义的条件是a≥0且b>0 【知识点3二次根式的性质】 (1) (a≥0)既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（≥0），所以具有双重非负性； (2) （2 )=a(a≥0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； (3) （）=|a|=,即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【知识点4二次根式的化简】 （1） 利用二次根式的基本性质进行化简； （2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简. =·(a≥0,b≥0).=(a≥0,b>0) 易错提醒： 1. 在使用=·(a≥0,b≥0)时，一定要注意a≥0,b≥0的条件限制； 2. 在使用=(a≥0,b>0)时，一定要注意a≥0,b>0的条件限制. ☘ 核心考点★精讲讲练 题型1二次根式的识别 例1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 题型2求二次根式的值 例2．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 变式1．如图，在中，，则 ． 变式2．当时，求二次根式的值． 题型3求二次根式中的参数 例3．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1．若实数x，y满足，则的值为 ． 变式2．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 题型4二次根式有意义的条件 例4．函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 变式1． ． 变式2．若，求的值． 题型5利用二次根式的性质化简 例5．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．化简 ． 变式2．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列代数式中，二次根式为（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（） A． B．0 C．1 D．3 5．下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（   ） A．，2， B．6，8，10 C．12，13，15 D．7，15，23 二、填空题 6．当时，二次根式的值为 ． 7．若是整数，则正整数n的最小值为 ． 8．在函数中，自变量的取值范围是 ． 9．化简： ． 三、解答题 10．计算： (1) (2) (3) 11．先化简，再求值：，其中、满足． 12．若成立，求． 13．已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $