2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习：二次函数含参数的最值问题（分类讨论）

2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习：二次函数含参数的最值问题（分类讨论） 一、选择题 1．已知二次函数，当时函数值有最小值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．已知，，当时，的最大值与最小值的差为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 3．已知函数，若时，，则的最大值是（  ） A． B．4 C． D．2 4．在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 5．已知均为非负数，且满足．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　) A． B． C．或 D．或 8．已知二次函数（为常数），当时，的最小值为5，那么的值为（    ） A． B．5 C．或5 D．1或 9．二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限，当时，y的最大值为，则a的值是（   ） A．8 B．或 C．2或8 D．2 二、解答题 15．已知函数 (1)若时，求函数的最小值． (2)若函数在有最小值，求实数的值 16．若抛物线（，为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大2． (1)求的值． (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求的最大值． （ii）当，且时，始终有，直接写出的值． 17．已知二次函数． (1)若时，的最大值为，求的取值范围． (2)若时，的最大值为1，且最小值为0，求的值． (3)若函数的图象与轴的交点为，且，求的取值范围． 18．已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 19．已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 20．已知抛物线的顶点坐标为． (1)求c的值，并写出函数表达式； (2)，在该抛物线上： ①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标； ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 参考答案 一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 二、解答题 10．【详解】（1）解：当时，， ∴当时，函数最小值为：， ∴函数最小值为：． （2）解：二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： ①当时，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为 解得：，符合题意； ②当时，则当时，取得最小值， ， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴； ③当时，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值，最小值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上，或． 11．【详解】（1）解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为2， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大2， ∴， ∴； （2）解：（i）点在二次函数的图象上，， 点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； （ii）由（i）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 整理可得：， 解得：， ∵， ∴， 即， ∴， 则当时，始终有，则． 12．【详解】（1）解：， 函数的图象是开口向上的抛物线， 当时，；当时，， ， ； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 若时，的最大值为1，且最小值为0， ①当，即时，函数在处有最小值，处有最大值， 则，解得：； ②当，即时，函数在处有最小值，处有最大值， 则，解得：； ③当，即时，函数在处有最小值，处有最大值， 则，解得：（舍）或（舍）； ④当，即时，函数在处有最小值，处有最大值， 则，解得（舍） 综上可知，的值为或； （3）解：函数的图象与轴的交点为，且， ，即， 当，即时， 此时，解得：，即； ， ； 当，即时， 此时，解得：，即； ， ； 综上可知，． 13．【详解】（1）已知函数图象过点，， 将代入函数得：，即，解得， 将，代入函数得：， 即，，解得， 二次函数的解析式为； 根据知，二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图象开口向上， 当时，y取得最小值，， 比较和到对称轴直线的距离，，， 离对称轴更远． 当时，， （2）函数图象向右平移3个单位过坐标原点，根据函数平移规律“左加右减”，则原函数过点 将代入得： ，即，，化简得， 二次函数的解析式为，其对称轴为， 时函数值y有最小值，分情况讨论： 当时，函数图象开口向上，对称轴直线在范围内， 当时，y取得最小值 将，代入函数得：，即，，解得， 当时，函数图象开口向下，在范围内，函数在端点处取得最小值． 比较和时的函数值： 当时， ； 当时，， ， ， 则当时，y取得最小值，解得， 当时，时，，符合时在端点处取得最小值的情况． 14．【详解】（1）解：把代入， 得， 解得或， 故m的值为0或3． （2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为， ∵平移后的图象也经过点， ∴， 消去a，得； （3）解：对称轴为直线． ①当时， 当时，y取最大值， 当时，代入得y取最小值， 所以， 解得（舍去）． ②当时， ．当时， 当 时，代入得y取到最大值， 当时，代入得y取到最小值， 所以，符合题意． ．当时， 当时，y取到最大值， 当时，y取到最小值 所以 解得（均舍去）． 综上所述，． 由，得． 15．【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴二次函数为或； （2）解：①由题意得，解得． ∴， ∴； ②∵，对称轴为直线， ∴， ∴．    （ⅰ）当时，当时函数取到最大值，最小值是9， ∴， 得（舍去， （ⅱ）当时，当时函数取到最大值，时函数取到最小值， ∴，， ∴， ∴（舍去， 综上所述，m的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $