精品解析：浙江宁波市海曙区2025-2026学年第一学期九年级期末调研数学试卷

2025学年第一学期海曙区九年级期末调研数学 试题卷 一．选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 盒子里有仅颜色不同的个球，其中红球有个，黄球有个，黑球有个，小甬从中任意摸一个球．下面说法正确的是（ ） A. 一定是红球 B. 摸出红球可能性最大 C. 不可能是黑球 D. 摸出黄球可能性最小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件发生可能性的大小，根据概率的定义分别计算出摸出不同颜色球的概率然后进行比较即可．解题的关键是掌握：事件发生的概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵盒子里有仅颜色不同的个球，其中红球有个，黄球有个，黑球有个，小甬从中任意摸一个球，则： 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， 摸出黑球的概率为， 又∵， ∴摸出红球可能性最大． 故选：B． 2. 已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径大小来判断即可． 【详解】解：∵的半径，， ∴， ∴点P在外． 故选：C． 3. 如图，在中圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可． 【详解】解：圆心角与圆周角所对弧均为， ∴， 故选：B． 4. 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点个数的判断，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断图象与轴的交点个数． 【详解】解：二次函数的图象与轴的交点即方程的根， 计算判别式， ， 无实数根， 二次函数的图象与轴没有交点， 故选：A． 5. 若且，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题关键是熟记相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，根据性质逐步推导即可求解． 【详解】解：，且 与的相似比为（相似三角形面积比等于相似比的平方） 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长比为． 故选：C． 6. 如图，是可以自由转动的转盘，统计转动转盘的次数与落在灰色区域次数如表： 转动转盘的次数 100 200 360 500 800 1000 落在灰色区域次数 33 67 124 165 267 334 则与转盘中灰色区域的圆心角的度数近似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频数估计概率，求扇形统计图的圆心角，掌握求概率的方法是解题的关键． 由题可得落在灰色区域的频率为，故落在灰色区域的概率约为，再根据周角为，计算即可求解． 【详解】解：根据转动转盘次，落在灰色区域次，则落在灰色区域的频率为，故落在灰色区域的概率约为， ． 故选：C． 7. 如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（ ） A. 0 B. 0 C. 0 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题即可．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 【详解】解：如图， 由题意知：，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即短臂外端下降的距离是． 故选：B． 8. 河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，则轮子的直径为（ ） A. 34m B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．先表示，求得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由条件可知， 由题意得：， 在中，， ∴， ∴， 即轮子的直径为． 故选：A． 9. 二次函数图象如图，则①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像的开口方向、对称轴、与轴的交点、与轴的交点判断各式的取值范围． 【详解】解：由图像可知，当时，， 当时，， 故①正确； 由图像可知，当时，， ， 当时，， 故②正确； 由图像可知，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 故③正确； 由图像可知，抛物线开口向下，与轴的交点在轴的正半轴， ，， 抛物线的对称轴是， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 故选：B． 10. 如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据“一线三垂直”易证，再根据垂径定理和圆周角定理，易得，，从而易证和为等腰直角三角形，易求，最后根据勾股定理，可求，计算面积即可． 【详解】解：， ，即， ，， ，即， ， ， ， ， 是的直径，， ，则， ， ， 为等腰直角三角形， 的面积为5， ，解得，则， 在中，， 则， ，即为等腰直角三角形， ． 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，是斜边，，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中正弦的定义，在直角三角形中，正弦值定义为角A的对边与斜边的比值，已知斜边，角A的对边是，因此直接计算． 【详解】解：在中，，为斜边，，， ∴， 故答案为：． 12. 已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，线段是线段和的比例中项，则，代入数值计算即可． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：4． 13. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，其顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，对原函数顶点坐标进行相应平移即可得到新顶点坐标． 【详解】解：原函数的顶点坐标为，向左平移1个单位，顶点横坐标变为；向下平移3个单位，顶点纵坐标变为，故新顶点坐标为， 故答案为：． 14. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝40°，则∠C＝_____°． 【答案】10 【解析】 【分析】连接OD，根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：连接OD， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠A＝40°， ∴∠COD＝∠A+∠ODA＝80°， ∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠CDO＝90°， ∴∠C＝90°﹣80°＝10°， 故答案：10． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 15. 已知二次函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，体现了数形结合思想．求出二次函数解析式，得到对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，根据函数图象写出所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：二次函数的图象过点，，开口向上， 即时，，时，， ∴ 解得 ∴ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴点关于直线对称点为，即时，， ∴当时，或． 故答案为：或． 16. 如图，是的直径，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，点落在上，若，则弦的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．勾股定理，旋转的性质，熟知圆的相关知识是解题的关键． 延长交于点，设，在中，，即可求解. 详解】解：如图；连接延长交于点 ∵点是的中点， ∴ ∵是的直径 ∴， ∴， 在中，， ∵将绕点逆时针旋转后得到，点落在上 ∴，则， ∴在中， ∵ ∴设 在中， 解得：（舍）或 故答案为：. 三．解答题（第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算．根据三角函数的运算法则进行计算，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 箱子内仅有颜色不同的两个红球和一个白球．从中随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球． （1）用列表或画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； （2）比较：事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，准确画出树状图是关键． （1）用画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； （2）求出事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率，比较大小即可 【小问1详解】 解：记三个球为红球1，红球2与白球，如图 【小问2详解】 解： 19. 在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 【详解】解：如图1，如图2所示，即为所求作． 20. 如图，点、点分别表示小岛和海岸码头的位置，离点正东方向的处有海岸瞭望塔C，现测得A点分别在B点的北偏东、在点的东北方向处，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：） 【答案】小岛与的距离大约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，构造和，利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出、，最后利用线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示， 由题意可知，，，， ∵、都是南北方向， ∴，． 在和中， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 答：小岛A到海岸线的距离约为． 21. 如图，中于平分，分别交于点和点． （1）求证：； （2）若，求长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据垂直的定义，角的和差，同角的余角相等得，根据角平分线的定义求出，再根据两个对应角相等的两个三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 22. 如图1，是的直径，，弦 （1）求证：是的切线； （2）如图2，延长交于点，若，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，平行线分线段成比例定理是关键． （1）连结．证明，得到，根据切线的判定即可证明结论； （2）证明，设，进一步由勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连结． 弦 ，即 是的切线； 【小问2详解】 解： 由（1）得： 设 在Rt中， 即： 解得：（舍负） 23. 已知为抛物线为常数）上的两个点， （1）当时，求的值； （2）若，且当时，函数有最大值，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入求得k,得到解析式，然后把代入二次函数表达式求值即可； （2）若，则，由于抛物线开口向下，分两种情况讨论：当时，不合题意，当时，符合题意，代入解析式求得k的值即可． 【小问1详解】 解：把代入得 把代入得 【小问2详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为： 当即时，当时，最大为4，即 解得：（舍去）. 当即时，时最大为4，则 解得：（舍去）或 综上所述，． 24. 如图1，已知四边形内接于交于点，已知 （1）求证：； （2）如图2，作于点．设， ①用含代数式表示； ②如图3，若经过圆心，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，证明是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等和等角对等边即可得到结论； （2）①求出，根据三角形内角和定理即可求出答案；②连结．延长交于点H，证明，得到，则垂直平分，设，则，求出，证明，则，得到，，即可求出答案． 【小问1详解】 证明： ∴ . 【小问2详解】 ① . ②连结．延长交于点H， 垂直平分 ∴设，则 为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由勾股定理： ∵， ∴， ∴， ∵ 为直径 由勾股定理： ∵ ∴， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期海曙区九年级期末调研数学 试题卷 一．选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 盒子里有仅颜色不同的个球，其中红球有个，黄球有个，黑球有个，小甬从中任意摸一个球．下面说法正确的是（ ） A. 一定红球 B. 摸出红球可能性最大 C. 不可能黑球 D. 摸出黄球可能性最小 2. 已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 3. 如图，在中圆心角，则圆周角度数是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 5. 若且，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是可以自由转动的转盘，统计转动转盘的次数与落在灰色区域次数如表： 转动转盘的次数 100 200 360 500 800 1000 落在灰色区域次数 33 67 124 165 267 334 则与转盘中灰色区域的圆心角的度数近似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（ ） A. 0 B. 0 C. 0 D. 0 8. 河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，则轮子的直径为（ ） A. 34m B. C. D. 9. 二次函数图象如图，则①；②；③；④，其中正确是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②③ 10. 如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，是斜边，，，则___________ 12. 已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为_________． 13. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，其顶点坐标是___________． 14. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝40°，则∠C＝_____°． 15. 已知二次函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是___________． 16. 如图，是的直径，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，点落在上，若，则弦的长为___________． 三．解答题（第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 计算： 18. 箱子内仅有颜色不同的两个红球和一个白球．从中随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球． （1）用列表或画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； （2）比较：事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率大小． 19. 在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 20. 如图，点、点分别表示小岛和海岸码头的位置，离点正东方向的处有海岸瞭望塔C，现测得A点分别在B点的北偏东、在点的东北方向处，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：） 21. 如图，中于平分，分别交于点和点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图1，是的直径，，弦 （1）求证：是的切线； （2）如图2，延长交于点，若，求长． 23. 已知为抛物线为常数）上的两个点， （1）当时，求的值； （2）若，且当时，函数有最大值，求值． 24. 如图1，已知四边形内接于交于点，已知 （1）求证：； （2）如图2，作于点．设， ①用含代数式表示； ②如图3，若经过圆心，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $