第12章 定义 命题 证明 单元测试卷 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

第12章 定义 命题 证明 单元测试卷 一、单选题 1．下列句子：①负数没有相反数；②是分式；③过点作直线的平行线；④两个单项式的和一定是多项式．其中，命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题； B．每个定理都有逆定理； C．真命题的逆命题是真命题； D．假命题的逆命题是真命题． 3．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 4．用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（    ） A．可以有一个角是直角 B．可以有两个角是直角 C．三个角都是直角 D．三个角都不是直角 5．对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（    ） A． B． C． D． 6．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（    ） A．，的补角， B．，的补角， C．，的补角， D．，的补角， 7．下列关于命题“若，则”的说法，正确的是（   ） A．是真命题 B．是假命题，反例是“” C．是假命题，反例是“” D．是假命题，反例是“” 8．下列命题是真命题的是（    ） ①不相交的两条直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥邻补角一定是互补角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．将命题“，则a与b互为相反数”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 10．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．这个命题的结论是 ． 11．“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 12．有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③两直线平行，同位角相等；④互补的两个角中一定有一个角为钝角，另一个角为锐角．其中是真命题的是 （填序号）． 13．暑假里，音乐王老师接到排练大合唱的通知，她用打电话的方式通知40名成员，如果每通知一人需1分钟，至少 分钟后可通知到所有的成员． 14．甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为 ． 15．下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 16．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 三、解答题 17．如图，，，．求的度数． 18．（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2） 你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 19．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设　　． ∵， ∴　　． ∵　　， ∴，这和　　矛盾， ∴假设　　不成立，即． 20．如图，如果，那么，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明． 21．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 22．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （3） 说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 23．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 24．已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 25．对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 26．如图，已知 (1)如图①，在中，，的三等分线交于点，连接，则的度数为__________. (2)如图②，在中，的三等分线分别与的平分线交于点．若，，求的度数． 27．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图1所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)【类比迁移】如图2所示，已知，点为之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据命题的定义“判断一件事情的语句”依次判断即可，熟练掌握命题的定义是解题关键． 【详解】解：①负数的相反数是正数，故①是命题； ②是分式，故②是命题； ③过点作直线的平行线，故③不是命题； ④两个单项式的和一定是多项式，故④是命题； 命题有①②④， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了命题与定理的判断，根据互逆命题的定义对A进行判断；根据命题与逆命题的真假没有联系可对B、C、D进行判断． 【详解】解：A、每个命题都有逆命题，正确，符合题意； B、每个定理不一定有逆定理，错误，不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，错误，不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，错误，不符合题意， 故选：A． 3．C 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了用反证法证明命题的方法．熟记反证法的步骤，然后进行判断． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应先假设这个三角形中可以有两个角是直角． 故选：B． 5．B 【分析】先写出原命题的逆命题，再根据a、b的值逐项判断即得答案． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”； A、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意； B、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是假命题，故本选项符合题意； C、a、b的值满足，不符合条件，故本选项不符合题意； D、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了真假命题和逆命题，正确理解题意、写出原命题的逆命题是解题的关键． 6．B 【分析】根据“任何一个角的补角都不小于这个角” 反证法的假设是，至少有一个角的补角小于这个角，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，“任何一个角的补角都不小于这个角” 反证法的假设是，至少有一个角的补角小于这个角， A中，的补角，，错误，故不符合要求； B中，的补角，，正确，故符合要求； C中，的补角，，错误，故不符合要求； D中，的补角，，错误，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了反证法．解题的关键在于掌握反证法的意义及步骤． 7．C 【分析】本题考查了命题的真假判断，掌握如何通过举反例来判断假命题是解题的关键． 本题若能找到一组数、，使得成立，但不成立，就可说明命题“若，则”是假命题． 【详解】解：A、该命题不是真命题，因为存在反例，不符合题意； B、反例当时，，不满足，所以不是有效反例，不符合题意； C、反例当时，，满足，但，说明结论不成立，符合命题； D、反例当时，，不满足，所以不是有效反例，不符合题意． 故选：C． 8．A 【分析】根据平行线公理，平行线的性质，垂直，对顶角，邻补角的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①不是真命题，同一平面内，不相交的两条直线是平行线； ②不是真命题，同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③不是真命题，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④不是真命题，如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等； ⑤不是真命题，相等的角不一定是对顶角； ⑥是真命题，邻补角一定是互补角． 上述命题是真命题的有1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，熟练掌握平行线公理，平行线的性质，垂直，对顶角，邻补角的性质是解题的关键． 9．如果，那么a与b互为相反数 【分析】找出该命题的题设和结论，题设写在如果的后面，结论写在那么的后面． 【详解】解：∵命题“，则a与b互为相反数”的题设是：，结论是：a与b互为相反数， ∴将命题“，则a与b互为相反数”改写成“如果…，那么…”的形式为“如果，那么a与b互为相反数”， 故答案为：如果，那么a与b互为相反数． 【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 10．内错角相等 【分析】命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中，“如果”所引出的部分是题设（条件），“那么”所引出的部分是结论． 【详解】解：两条直线平行被第三条直线所截，内错角相等的题设是两条平行直线被第三条直线所截，结论是内错角相等， 故答案为：内错角相等． 【点睛】本题考查了命题，找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键． 11．假 【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：命题“如果，，那么”的逆命题是：如果，那么，； 当，那么，或，； 故逆命题错误； 故答案为：假． 12． ③ 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的定义，互补角的定义．根据平行线的性质、对顶角的定义、互补角的定义逐一判断各命题的真假 【详解】解：命题①：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，此命题成立的前提是两条直线平行，否则不成立，故为假命题； 命题②：相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故为假命题； 命题③：两直线平行，同位角相等，这是平行线的性质定理，故为真命题； 命题④：互补的两个角之和为，但可能均为直角，不一定一个为钝角一个为锐角，故为假命题； 故答案为：③． 13．6 【分析】题目主要考查推理结论，理解题意，根据题意分别得出某一分钟最多可通知的队员人数是解题关键． 【详解】解：第1分钟通知到1个队员， 第2分钟最多可通知到3个队员， 第3分钟最多可通知到7个队员， 第4分钟最多可通知到15个队员， 第5分钟最多可通知到31个队员， 第6分钟最多可通知到63个队员， 故答案为：6． 14．2人 【分析】本题考查理解题意的能力，准确理解运用每人各自中靶的环数之积都是72和4人中靶的总环数恰为4个连续整数条件成为解题的关键． 根据所给的每人各自中靶的环数之积都是72，找到乘积是72的所有情况，那样能找出每个人的打靶环数的可能情况，根据4人中靶的总环数恰为4个连续整数，据此即可解答． 【详解】解：，共7种情况，在这7种情况中，总环数分别为， 人中靶的总环数恰为4个连续整数， 其中3个人的总环数一定为15，14，13，第4个人总环数为16或， 打中过4环的人数为2人． 故答案为：2人． 15．①② 【分析】逐个判断各个命题的真假即可． 【详解】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意； ③若的两边与的两边分别平行，如图：则或；故③为真命题，不符合题意； ④若，则，故④为真命题，不符合题意； 综上：假命题有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 16． 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了平行线性质以及三角形外角的性质，掌握平行线性质和三角形外角的性质是解题的关键. 根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角的性质即可解答. 【详解】解：如图，延长交于点M． ， ， ． 又， ． 18．（1）见详解（2）见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互逆命题，命题的真假，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合同位角相等，两直线平行，得，再由，得，故，所以，即可作答． （2）分析（1）的解题过程，得两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结合（1）的过程，得同位角相等，两直线平行以及两直线平行，同位角相等， 即两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 19．；；；平角为；． 【分析】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明． 【详解】证明：假设． ∵， ∴． ∵， ∴，这与平角为矛盾， ∴假设不成立，即． 故答案为：；；；平角为；． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 20．假命题，添加，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．命题真假的判断， 注意同位角相等，两直线平行这一定理是解答本题的关键， 本题不是唯一答案， 给考生了一定发挥空间， 考生可按照自己掌握知识的熟练程度来解决问题． 根据平行线的性质添加条件再证明可得答案． 【详解】解：假命题，添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 21．(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 22．（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 23．(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 25．(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数； (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算： （1）根据定义进行判断即可； （2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证． 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数， 若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则， ，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的， ∴假设不成立， ∴原结论正确． 26．（1）；（2） 【分析】（1）根据的三等分线交于点，得到由平分平分,得到平分,进而一步步得到答案. （2）由三角形外角的性质得到度数，由三等分角得到度数，由三角形内角和定理得到度数，由角平分线得到度数，最后根据三角形内角和定理得到度数. 【详解】（1）解：的三等分线交于点 平分，平分 平分, 故答案为： （2）是的外角， ． ， ． 由题意可知，是的三等分线， ． 是的平分线， . ． 27．(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图：过E作，结合，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长交于点G，利用平行线性质、三角形外角性质、角的平分线定义，四边形内角和定理，解答即可． （3）如图：延长交于点M，然后利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图：延长交于点M， ∵， ∴， ∵分与的平分线相交于点， ∴，， 设，的交点为N， ∵，且，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形外角性质、对等角相等、四边形内角和定理、角的平分线等知识点，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 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