解锁“高考数学学科素养”专题系列——7研究大小首选函数单调性 讲义-2026届高三数学一轮复习

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——7研究大小首选函数单调性 函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的，它的探究过程体现了“数形结合”和“从特殊到一般”的思想，反映函数的局部特征． 解锁一：函数单调性的本质属性 1.单调函数的定义 设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数. 叫做的单调增区间.; 如果对于区间内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数. 叫做的单调减区间.; 2.解锁定义: (1)如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫的单调区间； (2)单调区间的两个防范： ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或花括号、特殊记号等表示； ②多个单调区间不能用号连接，而用“，”； 如：函数的单调区间为，而不是，也不是. (3)单调区间的要求： ①单调区间是最大的，它与“在------区间上单调不是同一概念”. 探点.函数，在上单调递增，则的取值范围为 ； 探究: 设，则，解得，故的取值范围为; 变式: 是函数的单调增区间，则的取值范围为 . 探究：设，则由单调区间的定义知，解得，故的取值范围为. 单调性的逆向问题一般用导数！ ②初等手段端点有意义要写成闭区间；导数问题要写成开区间；若已知开区间上的单调函数时，端点可能有意义也可能无意义. (4)单调函数是对定义域内的某一区间而言的，因此一个函数是单调函数的必要条件是，此时函数就叫做增函数或减函数，即单调函数； (5)，，因此肯定单调性要推理证明，否定单调性举特例.但对时,要分三种情况均有()时，才能得到在上单调递增（或递减）； (6)单调函数可以是增函数也可以是减函数，解题时可用特征检验一下而确定； (7)求单调区间必须论述函数的单调性之后才能回答单调区间； (8)单调性是对区间而言的,常见的易错点： ①“在上单调递增”是错的，要改成“在上单调递增”； ②满足，或不能说明是增函数.因为没有说明的定义域是一个区间.如不是单调函数. (9)单调性是全称命题，肯定要严密证明、否定要举反例； 如:不是单调函数. 探究:因为，而 ，由单调函数定义知，函数不是单调函数. (10)单调函数的类型：①已知解析式；②未知解析式. 探点1.证明函数在上单调递增. 探究1（定义法），设，则 探究2(分类讨论定义)：若，由不等式的性质知，所以；若，则，所以，又是奇函数，所以，所以 若，由上可知，即.综上，对任意的且，总有，由增函数定义知函数在上单调递增. 探点2.已知且，试比较的大小. 探究1(商值比较法): 因为，所以 ，因为，所以. 探究2(图象法): 由对数函数的性质知，函数在上陡峭，在平缓，而当时与关于点对称，所以. 探点3.已知，求函数的零点个数. 分析：判定图象的大致走向,研究函数的极值的符号以及端点函数值的符号. 探点1（合成、定义法）:设，，则 ，所以，所以 所以，所以单调递增.又，所以函数只有一个零点. 悟惑:说明一个函数仅有一个零点的常用方法为: ①单调性法; ②定义法：寻找一个，使，并论述其它函数值均不为零； ③零点存在定理(二分法)：寻找，说明，且图象在上连续. 探点2（导数法）:函数定义域为， ，所以单调递增.一下同上. (11)函数是增函数的等价条件： ①是一个区间,且,； ②是一个区间，当时，且,； ③是一个区间，函数图象上任意两点的斜率为正； ④是一个区间，对恒成立，且的零点是离散的. 说明:将上述“”改为“”，“”改为“”后得出减函数对应的等价条件. (12)单调函数的图象，在升、降过程中可以间断，也有凸、凹（左慢右快）之分. 探点1.已知奇函数在内单调递增，且则零点的个数有为 . 探究:个或个或个或个. 探点2.若是定义在上的减函数，则实数的取值范围是 探究：因为在上的减函数，所以，解得，故选. 探点3.已知函数，则当实数为 时，不等式成立？ 探究:由图象可知在定义域上单调递减，要使成立，只需成立，即，亦即，故当时不等式成立. 变式：已知，若不等式成立，则实数的取值范围为 . 探究: 由二次函数的性质知，在单调递减，又，所以解得或，故实数的取值范围为或. 悟惑:研究大小问题，不管已知解析式、还是未知解析式，不管一个解析式、还是分段函数都要首选函数的单调性；研究大小的常用方法：单调性法；中间媒介；比较法；运算法. 3.函数单调性的本质属性 (1)区间性:单调性是针对函数定义域内的某个区间而言的，不是函数在整个定义域上的全局性； (2)任意性:判定单调性必须考察区间内任意两个自变量的函数值关系，不能仅凭特殊点的值来推定； (3)整体性:它反映的是函数在区间上的“整体趋势”，而非局部波动； (4)几何直观:在图象上，单调递增函数的图象呈持续上升趋势，单调递减函数的图象呈持续下降趋势； (5)一致性:函数单调性的本质，是通过自变量与函数值变化方向的一致性，来刻画函数在局部区间上的稳定变化趋势. 若表示不超过的整数部分，则的取值范围为 解锁二：已知解析式判定函数单调性的常用方法有： 第一步：设且； 第二步：比较与的大小； (1)已知解析式运算法: ①差值法. 其步骤是：作差——变形——判定符号 差值法的关键是变形！变形到何时为止呢？答案是“易判定符号”，策略是：分解因式，造出：或基本函数在“”处的函数值之差“”的几个同号因式之积；平方，即配出几个完全平方之和或其它的几个同号之和或构造函数求最值.如设，则； ②商值法. 其步骤是:作商——变形——与比较大小 商值法的对象是正数，主要指，幂数与可换底的对数.关键是变形！答案是变为某个易于比较大小的函数值. 如指数函数值（指数与比较，底数与比较）、对数函数值（真数与底比较，底数与比较）. 说明：已知解析式：先化简后代入运算(代数式，差值运算；幂数式，商值运算),最后出现“或基本函数在处的函数值之差或之商式”才可论证各部式的符号或与1的大小; (2)未知解析式：先由已知函数性质推出的大小后利用函数的奇偶性或已知等式得出的大小.对象一般为定义域关于原点对称的函数； 第三步：回答问题. “由函数单调性的定义知 ---函数在---上是---函数.” 如1：函数的取值范围为 .； 探究: 在单调递增，所以，故函数的取值范围为 如2：函数的取值范围为 . 探究：,因为，所以，所以，即，故函数的取值范围为. 解锁三：证明与判断函数的单调性不同 (1)证明单调性只能用定义或导数，用导数时需论述（或）.但求单调区间只需令（或） (2)单调性是局部概念，是对区间而言的，因此不是区间就不能谈论单调性. 如:“在上单调递增”是错的，要改成“在上单调递增”. 再如:满足，也不能说明是增函数.因为没有说明的定义域是一个区间. (3)判定单调性可灵活选择以上方法之一. 探点1.已知函数，则函数的减区间为 探究1（复合法）：设，则，所以或，故减区间为，. 探究2（导数法）：由得，设，则，令，解得或，故减区间为，. 探点2.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 A． B． C． D． 探究:研究导数就是研究导数的符号，为此构造函数 ，故选择B. 解锁四：单调性的逆向问题 探点.已知函数，若对任意的且，都有，则实数的取值范围是 探究: 等价于，所以函数单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，所以，故选. 悟惑: (1)逆向题的解法有三：其一，解的意义；其二，数形结合；其三，正向求解; (2)单调性的逆向题利用导数法可回避讨论； (3)单调性定义的作用：①证明函数的单调性；②判定函数的单调性；③求函数的单调区间；④已知函数单调性求参数的取值范围. 解锁五：单调函数的性质: (1)定义域一定是一个区间； (2)消法则：； 探点.已知函数,则使得成立的的取值范围是 或 或 探究:消法则.利用函数式或利用单调性.选择单调性，无！可考虑函数的奇偶性.本题函数是偶函数，所以已知不等式可变为，且在单调递增，所以已知不等式可变为，平方解得 或，故选. 悟惑:解不等式首选单调性，用单调性常结合函数的奇偶性. (3)取法则：，常用于:求函数值,即函数值的运算.如：“取倒数”、“取导数”“利用单调比较大小或解不等式”等. 探点1.若，则与的大小关系为 探究：利用函数是单调递减函数，因为，所以，即. 探点2.不等式的解集为 探究：利用函数的单调性. 同解于，即，，解得，故所求不等式的解集为. 探点3. 比较与的大小关系为 探究1:(取对数消去幂指数中的根号):,而, ,所以. 探究2(乘方放缩):两边同时次方得. 探究3(利用指数函数图象的相对位置关系):利用指数爆炸，水平变化值小于铅直变化值，所以. (4)一个相似代数式的不等式（两个量的不等式）恒成立； 如:对总有成立，则应满足的条件为 探究:函数在，所以. (5)单调递增函数的图象上升，单调递减函数的图象下降，但图象可间断(若在上单调性相同，则可得最大单调区间)、上凸函数满足或（解答题不能直接用）； (6)单调函数的最值如果存在，一定在端点处取到； (7)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反； (8)互为反函数同增同减（如：指、对数函数）； 悟惑:不等问题可分为两类：其一，不等式；其二，函数，又分为单调性问题或最值问题. 解锁六：函数单调性对函数作定性分析 求函数的值域、最值、求函数解析式的参数范围、图象特征. 1.函数单调性的应用: (1)比较大小（同类函数值大小）； (2)求函数的极值与最值或值域（注意函数的连续性）； (3)解不等式（消法则）：常见类型：其一，已知型；其二，未知型； (4)解方程； (5)证明方程至多有一个实根; (6)证明单调函数不等式 (7)研究函数运算:了解单调性有助于判断复合函数的单调性(“同增异减”原则)，以及分析函数经过加、减、倒数等运算后的单调性变化. 说明:以上应用都是对应问题解法的首选方法. 探点1.已知，且，则的符号为 探究:同类函数值问题，先利用函数的单调性，后利用不等式的性质.因为，所以单调递减，所以，所以，即，同理，，相加得.所以为负号. 悟惑:用单调性时要回变形和综合运用. 探点2:已知定义在上的函数满足①；②；③，则满足的的取值范围为 探究:不等式问题，利用函数单调性,目标:.由知 ，所以.又知,所以是奇函数.所以.因为,所以 .从而已知不等式变为.在中，取，并设，则，因为，所以 所以在上单调递增，所以，解得，故的取值范围为. 变式1: 定义在上的函数满足①，②当时，，③，则满足的的取值范围为 探究:利用函数的单调性.由得.设，则，因为当时，，所以，所以，所以在上单调递增，再由知，解得，故的取值范围为. 变式2:将变式1中的条件②变为当时，，③变为，其它不变. 探究：因为当时,，，所以 ，所以 所以在上单调递减，，，因为，所以，所以，所以，所以，解得或，故的取值范围为或. 探点3.已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 探究:由区间的条件知,解得.由知单调递增,且 ,所以已知不等式变为,由单调递增得,即对恒成立，所以，又，解得 2.单调性研究对象 只要涉及自变量与函数值的转化问题就归属于函数的单调性问题. 悟惑2.若方程的两个实根为，则 探究:不妨设 ，则，即 ，所以，所以，故选. 说明: (1)两个函数的方程根的属性问题，一般规律是：一个函数起定性，另一个函数起运算作用； (2)一个单调函数变形运用；两个单调函数一个函数起定性，另一个函数起运算作用；多个函数整体运用单调性. 3.不减函数与不增函数： 当时，都有（或），则称函数在区间内单调不减（不增）. 就是单调不减（不增）函数.不增或不减函数的图象在某一段上可能会出现水平线段.代数相等存在两边夹思想. 探点.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有. (I)求的值； (II)求的最小值； (III)设数列的前项和为，且满足.求证 . 探点:利用两边夹，列方程求量. (I)令，由(3),则，所以.由对任意，总有,所以 (II)任意且，则,所以，所以 ，所以 (III)因为，所以，因为所以，所以，所以，所以，即.所以 ，故， 即原式成立. 悟惑:本题是集团比较大小问题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $