18.2 菱形课件2025-2026学年华东师大版 八年级数学下册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 互动设计 18.2. 菱形的性质和判定综合（1） 1 学 习 目 标 系统梳理菱形的定义、性质与判定方法，构建完整的知识体系 返回主页 通过“知识树”梳理、一题多解、变式训练等活动，提升几何直观与逻辑推理能力； - 经历“观察—猜想—验证—应用”的完整思维过程，渗透转化与建模思想。 1 能根据具体问题灵活选择菱形的性质进行线段、角度的计算； 2 能综合运用菱形的性质和判定方法解决几何证明与简单实际应用问题。 3 情 境 引 入 情境·菱形花园 返回主页 情境二：平行四边形折纸中的学问 情境·菱形花园 某小区计划在一块空地上修建一个菱形形状的花坛，施工员测得花坛的边长为5米，一条对角线长为6米。 问题1：你能求出另一条对角线的长度吗？ 问题2：如果施工员只测出两条对角线分别是6米和8米，你能确定花坛的面积和边长吗？ 问题3：要保证围成的四边形一定是菱形，施工员至少需要测量几个数据？为什么？ 互 动 设 计 环节1:菱形的“身份鉴定”与“属性挖掘” 返回主页 环节2：拼图游戏 环节3：思维导图共建 菱形的“身份鉴定”与“属性挖掘” 环节1：知识抢答（5分钟） 快速判断，并简述理由： 1. 菱形的对角线相等。 （×） 2. 对角线互相垂直的四边形是菱形。 （×） 3. 四条边相等的四边形是菱形。 （√） 4. 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。 （√） 5. 有一个角是60°的菱形，较短对角线等于边长。 （√） 环节2：拼图游戏 每组发放若干全等的直角三角形（如3-4-5型）纸片。 任务：用四个这样的直角三角形拼成一个菱形，并说明你的拼法依据了菱形的哪种判定或性质。 展示：各组展示拼图结果 点评并提炼——对角线垂直平分的四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。 环节3：思维导图共建 学生在学案上独立完成“菱形知识树”，包括：定义、性质（边、角、对角线、对称性、面积）、判定（三种方法）、常用辅助线。 - 小组内交流补充，教师选取优秀作品投影展示并总结。 探 求 新 知 1. 菱形知识体系全览 返回主页 2. 常用辅助线与思想方法 3. 易错点再提醒 1. 菱形知识体系全览 维度 内容 定义 有一组邻边相等的平行四边形 性质 ①四条边都相等；②对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；③既是中心对称又是轴对称图形；④面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 判定 ①定义法（平行四边形+一组邻边相等）；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形 特殊菱形 当有一个内角为60°时，菱形可分解为两个等边三角形；当有一个内角为90°时，菱形即为正方形 2. 常用辅助线与思想方法 连接对角线：将菱形问题转化为等腰三角形、直角三角形问题； 作高：构造直角三角形，利用勾股定理求边长或面积； 对称性：利用轴对称求最短路径问题； 方程思想：通过勾股定理或面积关系建立方程。 3. 易错点再提醒 判定时务必看清前提： 是平行四边形还是任意四边形； -菱形对角线不一定相等（矩形对角线才相等）； -面积公式中“对角线乘积的一半”不要漏掉系数。 典 例 铺 路 例1（性质与判定综合·折叠问题） 例2（一题多解·判定与性质互逆） 例3（动态探究·最值问题） 例1（性质与判定综合·折叠问题） 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF。若菱形边长为2，∠A=120°，求EF的长。 【解析】 - 连接BD 由菱形性质得对角线垂直平分，且∠A=120° → ∠ABC=60° → △ABD是等边三角形 → BD=AB=2，AO=； - 折叠 → AO被EF垂直平分 → EF∥BD，且EF是△ABD的中位线 → EF=BD=1。 【点睛】 折叠问题抓“对称轴垂直平分对应点连线”，结合菱形特殊角构造等边三角形。 例2（一题多解·判定与性质互逆） 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC平分∠BAD。 （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=8，S菱形ABCD=24，求BD的长。 A B D C 先证四边形是平行四边形，再证邻边相等。 由AC平分∠BAD，AD∥BC → ∠BAC=∠ACB → AB=BC，同理可证AD=DC，又AB=CD → AB=BC=CD=DA → 四边形是菱形（四边相等）。 （2）S=×AC×BD → 24=×8×BD → BD=6。 【点睛】 熟练切换“四边相等”与“平行四边形+邻边相等”两种判定路径。 例3（动态探究·最值问题） 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点P是对角线BD上的一个动点，E为CD的中点，则PC+PE的最小值等于( ) ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ CD=AD=CD=CB=AB=4，E为CD中点， ∴ DE=AD=2， ∴ DE’=CD，在直角三角形中对边等于斜边的一半 ∴ CE’⊥AD， ∴ CE’= =， 即PC+PE= 【点睛】 将军饮马模型与菱形轴对称性质结合。 随 堂 演 练 返回主页 随堂练 训练1（选择） 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 每条对角线平分一组对角 答案：B 随堂练 训练2（填空） 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OH⊥AB于点E。若菱形周长为16，∠DAB=60°，则OH=______。 答案：边长=4，等边三角形ADB中，DB=4，OB=2，AB=4，Rt△AOB中OA=2，面积法：OH = (OA×OB)/AB = (2×2)/4 = 。 随堂练 训练3（证明） 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点E作EF∥AB，EG∥AC，分别交BC于点F、G。 求证：四边形EFDG是菱形。 证明：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD=∠DAE， 在△ABD和△ADE中， ∴△ABD≅△ADE(SAS)， ∴BD=DE， 同理△BAF≅△EAF(SAS)， ∴BF=EF， 在△BFD和△EDF中， {∴△BFD≅△EDF(SSS)， ∴∠BFD=∠DFE， 又∵EF∥BC， ∴∠DFE=∠FDC， ∴∠BFD=∠BDF， ∴BF=BD， ∵BF=BD=EF=DE， ∴四边形BDEF是菱形。 随 堂 检 测 返回主页 随堂测 1.在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，则BD=______，菱形面积=______。 答案：BD=8，面积=24。 随堂测 2.（3分）已知菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，且菱形的面积为16，求菱形的边长。 答案：设短对角线为x，长对角线为2x，面积=½·x·2x=x²=16 → x=4，边长= =2。 随堂测 3.（2分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是______。 答案：矩形。 课 堂 小 结 1. 知识网络 返回主页 2. 思想方法 3. 学法建议 1 2 3 4 认真领会 ┌─────────────────┐ │ 四边形 │ └────────┬────────┘ │两组对边分别平行 ┌────────▼────────┐ │ 平行四边形 │ └────────┬────────┘ ┌───────────────┼───────────────┐ │ 一组邻边相等 │ 对角线垂直 │ │ (定义) │ (判定1) │ ┌────▼────┐ ┌────▼────┐ ┌────▼────┐ │ 菱形 │←─────┤ 菱形 │←────┤四边相等│ └────┬────┘ └─────────┘ └────┬────┘ │ │ 性质：边、对角线、对称性 直接判定 33 2. 思想方法 - 转化思想：菱形问题→等腰三角形、直角三角形问题； - 方程思想：通过勾股定理、面积公式建立方程； - 建模思想：将军饮马、折叠问题转化为对称模型。 3. 学法建议 - 对比记忆：矩形、菱形、正方形的性质和判定； - 错题归因：重点防范“对角线垂直”缺平行四边形的前提； - 变式训练：一题多解、多题归一，提升综合素养。 $ 学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 互动设计 18.2. 菱形的性质和判定综合（2） 1 学 习 目 标 熟练掌握菱形的定义、性质（边、对角线）和三种判定方法，理清性质与判定的区别与联系 返回主页 1 熟练掌握菱形的定义、性质（边、对角线）和三种判定方法，理清性质与判定的区别与联系；能灵活运用菱形的性质与判定解决综合几何问题（证明、计算、探究），规范解题步骤，提升综合应用能力。 2 通过回顾梳理、合作探究、综合演练，经历菱形性质与判定的整合应用过程，培养逻辑推理能力、分类讨论能力和数形结合能力，体会“性质逆用得判定、判定验证用性质”的几何解题思路。 情 境 引 入 导语：。。。。。。 返回主页 导语 同学们，我们已经分别学习了菱形的性质和判定方法：知道菱形是特殊的平行四边形，有四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角的独特性质；也掌握了三种判定菱形的方法，能判断一个图形是否为菱形。 但在实际问题中，我们很少单独运用性质或判定，更多是需要将二者结合起来——比如工人师傅制作菱形饰品时，既要利用菱形的性质确定饰品的边长、对角线长度，也要用判定方法确保制作出的图形是标准的菱形；再比如几何证明中，常常需要先判定一个图形是菱形，再利用其性质推导其他结论，或先利用性质得到条件，再判定菱形。 今天我们就一起来学习《菱形的性质与判定综合》，将菱形的性质与判定融会贯通，掌握综合应用的技巧，解决更复杂的几何问题，真正做到“知性质、会判定、能应用”。 互 动 设 计 互动1：回顾梳理，夯实基础 返回主页 互动2：合作探究，突破难点 互动3：错题辨析，深化理解 互动1：回顾梳理，夯实基础 分组回顾，完成表格梳理，结合之前所学，快速回顾菱形的性质与判定，明确二者的区别与联系： 类别 核心内容（文字语言） 关键提醒 菱形的性质 1. 对边平行且相等，四条边都相等；2. 对角相等；3. 对角线互相平分、互相垂直，且每条对角线平分一组对角 已知菱形，推导边、对角线的关系（顺向应用） 菱形的判定 1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3. 四条边相等的四边形是菱形 已知条件，判断图形是菱形（逆向应用），注意“平行四边形”前提 互动2：合作探究，突破难点 探究题：已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，过点A作AE⊥BC于点E，AE=3cm，BC=5cm，求平行四边形ABCD的边长和面积，并判断四边形ABCD的形状。 1.小组讨论：① 如何判断四边形ABCD的形状？；② 要求边长和面积，需要用到菱形的哪些性质？；③ 如何结合AE⊥BC、AE=3cm、BC=5cm这些条件推导结论？ 2. 分组展示解题思路和过程，教师引导补充：先利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定ABCD是菱形，再利用菱形的性质（四条边相等）得边长=BC=5cm，最后用“面积=底×高”得面积=BC×AE=15cm²。 3. 互动小结：综合题的解题核心的是“先判定、再用性质”或“先用性质、再判定”，关键是找准判定与性质的衔接点（如对角线、边长等条件）。 互动3：错题辨析，深化理解 已知菱形ABCD中，对角线AC=6cm，BD=8cm，求菱形的边长。 解：∵ 菱形的对角线相等，∴ 边长=(AC+BD)=7cm。（判断错误，说明理由并改正） 易错点① 混淆菱形与矩形的对角线性质（菱形对角线垂直但不相等，矩形对角线相等但不垂直）；② 判定菱形时，忽略“四条边相等”或“平行四边形”前提，强调综合应用中既要准确用性质，也要规范用判定。 探 求 新 知 核心知识点1：菱形的性质与判定梳理（综合重点） 返回主页 核心知识点2：性质与判定的区别与联系（综合难点） 3. 解题核心策略 核心知识点1：菱形的性质与判定梳理（综合重点） • 边：对边平行且相等，四条边都相等（核心区别于平行四边形）； • 对角线：互相平分、互相垂直，每条对角线平分一组对角（核心性质，常用作计算和证明）； • 面积公式：① 底×高；② ×对角线AC×对角线BD（综合题首选，计算简便）； • 符号语言：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，S=AC·BD。 （2）菱形的三种判定方法（必用） • 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形（前提：平行四边形，核心：一组邻边相等）； • 判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（前提：平行四边形，核心：对角线垂直）； • 判定方法3：四条边相等的四边形是菱形（前提：任意四边形，核心：四条边相等）； • 符号语言：（判定菱形时，选对应方法书写，避免混淆）。 核心知识点2：性质与判定的区别与联系（综合难点） 区别 ① 用途不同：性质是“已知菱形，推结论”（顺向思维，如已知菱形，求边长、对角线、面积）；判定是“已知条件，推菱形”（逆向思维，如已知边、对角线条件，判断图形是菱形）；② 逻辑不同：性质是判定的依据，判定是性质的逆用。 联系 二者相辅相成，综合题中常结合使用——① 先判定（证四边形是菱形），再用性质（推导其他结论）；② 先用性质（由菱形得到边、对角线关系），再判定（证另一个四边形是菱形）。 典 例 铺 路 例题1（基础综合题：判定+性质计算） 例题2（中档综合题：性质+判定证明） 例题3（提升综合题：综合应用+探究） 例题4：沿对角线折叠 例题5：折点落在区域内 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交AB、CD于点E、F，连接CE、AF。已知EF⊥AC。 （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AC = 8，EF = 6，求菱形AECF的面积和边长。 ∵ 平行四边形ABCD∴ OA = OC，AB ∥ CD∴ ∠OAE = ∠OCF，∠OEA = ∠OFC∴ △AOE ≅△COF (AAS)∴ OE = OF∵ OA = OC，OE = OF∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分）又∵ EF ⊥ AC∴ 四边形AECF是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形） ∵ 四边形AECF是菱形，AC = 8，EF = 6∴ OA = AC = 4，OE = EF = 3在Rt△AOE中：AE = 5,面积 S = × AC × EF = × 8 × 6 = 24或用边长：设菱形的高为h，则 5h = 24，h = 4.8 2.已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E、F，连接EF，EF与AD相交于点O。求证：（1）四边形AFDE是菱形；（2）EF⊥AD。 A F B D C E O 分析：（1）先证明四边形AFDE是平行四边形，再结合AB=AC、AD是中线，利用菱形判定方法（一组邻边相等）证菱形；（2）利用菱形的性质（对角线互相垂直）直接推导EF⊥AD。 证明：（1）∵ DE∥AB，DF∥AC，∴ 四边形AFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。 ∵ AB=AC，AD是BC边上的中线，∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），∠BAD=∠CAD。 ∵ DE∥AB，∴ ∠BAD=∠ADE，∴ ∠CAD=∠ADE，∴ AE=DE（等角对等边）。 ∵ 四边形AFDE是平行四边形，且AE=DE，∴ 四边形AFDE是菱形（定义法）。 （2）∵ 四边形AFDE是菱形，∴ EF⊥AD（菱形的对角线互相垂直）。 例题3（提升综合题：综合应用+探究） 已知：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，AE⊥BC，AB=4cm。求：（1）菱形ABCD的内角度数；（2）菱形ABCD的对角线长和面积。 A B E C D O 分析：（1）利用菱形性质（四条边相等）和E是BC中点、AE⊥BC，证明△ABC是等边三角形，推导内角度数；（2）结合等边三角形性质和菱形对角线性质（互相垂直平分），用勾股定理求对角线长，再用面积公式计算面积。 解：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=AD=4cm（菱形四条边相等）。 ∵ E是BC的中点，∴ BE=EC=BC=2cm。 ∵ AE⊥BC，∴ △AEB是直角三角形，在Rt△AEB中，BE=2cm，AB=4cm，∴ BE=AB，∴ ∠BAE=30°，∴ ∠ABC=60°。 ∵ 菱形的邻角互补，∴ ∠BAD=180°-60°=120°，∴ 菱形ABCD的内角分别为60°、120°、60°、120°。 （2）∵ ∠ABC=60°，AB=BC，∴ △ABC是等边三角形，∴ AC=AB=4cm（等边三角形三边相等）。 ∵ 菱形的对角线互相垂直平分，∴ AO=AC=2cm，在Rt△AOB中，AB=4cm，AO=2cm，由勾股定理得：OB==2 cm，∴ BD=2×OB=4 cm。 菱形ABCD的面积=×AC×BD=×4×4=8 cm²。 随 堂 演 练 返回主页 随堂练 1. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等且垂直 B. 四条边相等的四边形是菱形，菱形的四条边也相等 C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 菱形的对角互补 随堂练 2. 已知菱形ABCD的边长为5cm，一条对角线AC=6cm，求另一条对角线BD的长度和菱形的面积。 随堂练 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若OE=4，OB=3，求BE的长． 1. B（解析：A选项，菱形对角线垂直但不相等；C选项，无“平行四边形”前提，错误；D选项，菱形对角相等，不互补；B选项，符合菱形的判定与性质，正确。） 2. 解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，OA=AC=3cm，AB=5cm。在Rt△AOB中，OB= ==4cm，∴ BD=2×OB=8cm；菱形面积=×6×8=24cm²。 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAC=∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠BAC=∠DAC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴AD=CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； (2)解：由(1)可知，四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=AC，BD=2OB=6，AB=BC，AC⊥BD， ∴∠BOC=90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA=90°， ∴AC=2OE=8， ∴OC=AC=4， ∴AB=BC== =5， 随 堂 检 测 返回主页 随堂测 1. 下列条件中，能判定四边形是菱形且能利用其性质求面积的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直的平行四边形 C. 一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形 随堂测 2. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，求菱形的边长、周长和面积。 随堂测 3. 已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，DE⊥AB于点E，EF∥BC，交AC于点F。求证：（1）四边形CDEF是菱形；（2）CD=EF。 1. B（解析：A、C选项只能判定菱形，无法直接利用条件求面积；D选项，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形；B选项，既能判定菱形，又能利用对角线求面积，正确。） 2. 解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，OA=AC=4cm，OB=BD=3cm。在Rt△AOB中，边长AB==5cm；周长=4×5=20cm；面积=×8×6=24cm²。 3. 证明：（1）∵ AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴ CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠C=∠AED=90°。∵ EF∥BC，∴ ∠AFE=∠C=90°，∴ ∠AFE=∠AED=90°，∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）。又∵ EF∥BC，即EF∥CD，CF∥DE（EF∥BC，DE⊥AB，CF在AC上），∴ 四边形CDEF是平行四边形。∵ CD=DE，∴ 平行四边形CDEF是菱形（定义法）。（2）∵ 四边形CDEF是菱形，∴ CD=EF（菱形的四条边相等）。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 课后思考 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 本节课重点是菱形的性质与判定的综合应用，核心是理清二者的区别与联系，熟练掌握： • 性质：四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角，面积=½×两条对角线的乘积（计算核心）； • 判定：三种方法，重点牢记“平行四边形”前提（除四条边相等外）； • 核心衔接：判定是“证菱形”，性质是“用菱形”，综合题中二者必结合使用。 44 2. 方法小结 1. 综合解题思路：① 审题：明确题干是“判定菱形”还是“用菱形性质计算/证明”；② 选方法：判定选合适的判定方法，计算用菱形性质+勾股定理，证明结合性质与判定；③ 规范书写：步骤清晰，区分性质与判定的符号语言，避免混淆。 2. 易错点提醒：① 混淆菱形与矩形的性质、判定；② 判定菱形时忽略“平行四边形”前提；③ 计算面积时，误用矩形面积公式（菱形面积是½×对角线乘积，不是对角线乘积）。 3. 课后思考 菱形、矩形都是特殊的平行四边形，结合本节课所学的菱形性质与判定综合应用，尝试总结“特殊平行四边形（矩形、菱形）的性质与判定对比表”，梳理它们的异同点；下节课我们将进行特殊平行四边形的综合复习，提升综合解题能力。 $ 学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 18.2.2 菱形的判定 互动设计 1 学 习 目 标 掌握菱形的三种判定方法 （定义法、对角线互相垂直的平行四边形、四条边相等的四边形） 返回主页 1 掌握菱形的三种判定方法（定义法、对角线互相垂直的平行四边形、四条边相等的四边形），理解每种判定方法的推导依据；能熟练运用判定方法解决菱形的证明、判断问题，规范解题步骤，区分判定与性质的不同应用场景。 2 过动手操作、猜想验证、合作探究，经历菱形判定方法的推导过程，培养逻辑推理能力、动手实践能力和抽象概括能力，体会“逆向推导”“猜想—验证—归纳”的几何研究思路，渗透转化、数形结合的数学思想。 情 境 引 入 导语： 返回主页 方案A：动手操作·十字木条 方案B：生活情境·窗框检验 导语 同学们，上节课我们学习了菱形的性质，知道菱形是特殊的平行四边形，它有四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角的独特性质。现在请大家思考一个实际问题：工人师傅要制作一个菱形的窗格，他手头有一根细铁丝和一些木条，如何确保制作出的图形是菱形，而不是普通的平行四边形或其他四边形？ 我们已经知道“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”，那么反过来，满足什么条件的平行四边形是菱形？满足什么条件的四边形是菱形？这就是我们今天要重点探究的内容 A B C D A B C D 方案A：动手操作·十字木条 用两根长短不同的木条，在它们的中点处固定，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，形成一个四边形（平行四边形）。 问题1：任意转动木条，这个四边形总是什么图形？为什么？ 问题2：继续转动木条，当两根木条处于什么位置时，围成的平行四边形会变成菱形？ 学生通过观察发现：当两根木条互相垂直时，邻边相等，得到菱形。 方案B：生活情境·窗框检验 数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形窗框是否为菱形。四位同学提出了不同方案： 学生 方案 评估 甲 测量对角线是否互相垂直 乙 测量两组对边是否分别相等 丙 测量四个角是否相等 丁 测量四条边是否相等 问题：你认为谁的方案是正确的？为什么？ 互 动 设 计 探究活动一：从定义出发 返回主页 探究活动二： 有关对角线的猜想与验证 探究活动三：从四边形直接判定 探究活动四：判定方法的选择 探究活动一：从定义出发 问题 学生活动 结论 菱形的定义是什么？ 回忆：一组邻边相等的平行四边形 定义即判定1 定义可以作为判定方法吗？ 讨论：可以，这是最基本的判定 判定定理1 判定定理1（定义）： 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 符号语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB = BC ∴ □ABCD是菱形 A B C D 探究活动二：有关对角线猜想与验证 菱形的性质 性质的逆命题（猜想） 菱形的对角线互相垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形的每条对角线平分一组对角 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 实验验证： 活动1：几何画板演示 - 画一个平行四边形ABCD - 测量对角线AC与BD的夹角 - 拖动点A，观察当AC⊥BD时，边的长度关系 活动2：折叠验证 - 用矩形纸片（平行四边形的特殊情况） - 沿对角线折叠，观察能否得到四边相等 已知：□ABCD中，AC ⊥ BD，垂足为O 求证：□ABCD是菱形 A B C D O 证明： ∵ □ABCD ∴ OA = OC，OB = OD（对角线互相平分） ∵ AC ⊥ BD ∴ ∠AOB = ∠AOD = 90° 在△AOB和△AOD中： OA = OA（公共边） ∠AOB = ∠AOD = 90° OB = OD ∴ △AOB ≅ △AOD (SAS) ∴ AB = AD ∴ □ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 判定定理2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 关键条件： ①平行四边形 + ②对角线垂直 探究活动三：从四边形直接判定 问题： 如果不知道一个四边形是否是平行四边形，能否直接判定它是菱形？ 思路： 利用”四边相等”这一特性 小组讨论： - 四边相等的四边形一定是平行四边形吗？ - 如何证明四边相等的四边形是平行四边形？ 证明过程： 已知：四边形ABCD中，AB = BC = CD = DA 求证：四边形ABCD是菱形 证明： ∵ AB = CD，BC = DA ∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等） 又∵ AB = BC（邻边相等） ∴ 四边形ABCD是菱形（定义） A B C D 判定定理3： 四条边都相等的四边形是菱形。 优势： 无需先证平行四边形，直接判定 探究活动四：判定方法的选择 判定方法 前提条件 关键条件 适用场景 判定1（定义） 平行四边形 一组邻边相等 已知平行四边形，证邻边相等 判定2 平行四边形 对角线互相垂直 涉及对角线垂直关系 判定3 四边形 四边相等 直接知道四边长度关系 决策树： 开始 │ ▼ 已知是平行四边形？──否──→ 用判定3（证四边相等） │是 ▼ 已知什么条件？ │ ├─有邻边相等？──→ 用判定1 │ └─对角线垂直？──→ 用判定2 探 求 新 知 1. 菱形的判定定理 返回主页 2. 判定与性质的关系 3. 常见错误辨析 1. 菱形的判定定理 判定 条件 结论 图示 判定1 平行四边形 + 一组邻边相等 菱形 边→菱形 判定2 平行四边形 + 对角线互相垂直 菱形 对角线→菱形 判定3 四边形 + 四边相等 菱形 直接判定 2. 判定与性质的关系 性质（已知菱形→结论） 判定（已知条件→菱形） 四边相等 ←────────────→ 四边相等→菱形（判定3） ↑ ↑ 对角线垂直 ←────────────→ 对角线垂直+平行四边形→菱形（判定2） ↑ ↑ 邻边相等 ←────────────→ 邻边相等+平行四边形→菱形（判定1） 3. 常见错误辨析 错误说法 错误原因 正确说法 对角线垂直的四边形是菱形 缺少”平行四边形”前提 对角线垂直的平行四边形是菱形 一组邻边相等的四边形是菱形 缺少”平行四边形”前提 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 其实正确，但可简化 对角线垂直的平行四边形是菱形 典 例 铺 路 例题1（基础判定） 例题2（对角线判定） 例题3（综合判定） 例题4（尺规作图与证明） 例题1（基础判定） 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加一个适当的条件使□ABCD是菱形。你添加的条件是____（写出一种即可）。 A B C D o 解析： 可选条件： 1. AB = BC（定义） 2. AC ⊥ BD（判定2） 3. AB = AD（与1等价） 4. AC平分∠BAD（可推出邻边相等） 答案： AB = BC（或AC⊥BD等） 例题2（对角线判定） 题目： 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD。求证：四边形OCED是菱形。 证明： ∵ DE ∥ AC，CE ∥ BD ∴ 四边形OCED是平行四边形 ∵ 矩形ABCD ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD ∴ OC = OD ∴ 四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 例题3（综合应用判定） 题目： 如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形。 证明： ∵ DE ∥ AC，DF ∥ AB ∴ 四边形AEDF是平行四边形 ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠EAD = ∠FAD ∵ DE ∥ AC ∴ ∠EDA = ∠FAD（内错角相等） ∴ ∠EAD = ∠EDA ∴ AE = DE（等角对等边） ∴ 四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 例题4（尺规作图） 题目： 已知线段AC，求作：菱形ABCD，使AC为一条对角线，（不写作法，只留痕迹）。 【分析】 菱形的对角线互相垂直平分。因此，只需作 AC 的垂直平分线，垂足为 O，再在垂直平分线上截取 OB=OD（且 O 为 BD 的中点），顺次连接 A,B,C,D 即可得到菱形 ABCD。 A C A B C D 【作法】 1. 作线段 AC 的垂直平分线 MN，垂足为 O； 2. 以 O 为圆心，任意长为半径（建议使 OB≠OA 以得到一般菱形）画弧，交 MN 于 B、D 两点（使 OB=OD）； 3. 顺次连接 A、B、C、D； 4. 四边形 ABCD 即为所求作的菱形。 参考内容 【证明】 ∵ O 是 AC 的中点，且 OB=OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 又 ∵ MN 是 AC 的垂直平分线，即 BD⟂AC， ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 【点睛】 本题考查菱形的判定及尺规作图，解题关键是利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”这一判定定理。作图时注意保证 O 同时是 AC 和 BD 的中点。 随 堂 演 练 返回主页 随堂练 1. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 平行四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 1. B（解析：A选项，无“平行四边形”前提，错误；C选项，平行四边形不一定是菱形，错误；D选项，对角线相等的平行四边形是矩形，错误；B选项，符合判定方法3，正确。） 随堂练 2. 如图，在□ABCD中，添加下列条件仍不能判定为菱形的是（　） A. AB = BC B. AC ⊥ BD C. AC = BD D. AC平分∠BAD A B C D 解析： - A：定义，可以判定 - B：判定2，可以判定 - C：对角线相等→矩形，不一定是菱形 - D：角平分线+平行→等腰→邻边相等，可以判定 答案：C 随堂练 3. 如图，△ABC中，AB = AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE交AD于点F，连接BF、CE。求证：四边形BECF是菱形。 证明： ∵ AB = AC，AD平分∠BAC ∴ AD ⊥ BC，BD = CD（三线合一） ∵ CF ∥ BE ∴ ∠FCD = ∠EBD 又∵ ∠FDC = ∠EDB，BD = CD ∴ △FDC ≅△EDB (ASA) ∴ FD = ED ∵ BD = CD，FD = ED ∴ 四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分） 又∵ AD ⊥ BC，即EF ⊥ BC ∴ 四边形BECF是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形） 随 堂 检 测 返回主页 随堂测 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，CD是斜边AB上的高，AE是角平分线，交CD于点F，FG∥AB交BC于点G，连接EG。求证：四边形CEGF是菱形。 【解析】（1）证明：∵ FG⟂AB，FC⟂AC，AF 平分 ∠CAB， ∴ ∠ACF=∠AGF=90°，CF=FG， 在 Rt△ACF 与 Rt△AGF 中， ∴ Rt△ACF≅Rt△AGF(HL)，∴ ∠AFC=∠AFG， ∵ CD⟂AB，FG⟂AB，∴ CD∥FG，∴ ∠CEF=∠EFG，∴ ∠CEF=∠CFE， ∴ CE=CF，∴ CE=FG，∴ CE∥FG， ∴ 四边形 CEGF 是平行四边形，∴ CE=CF， ∴ 平行四边形 CEGF 是菱形； 随堂测 2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF。 (1) 求证：AF = DC； (2) 若AB ⊥ AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明。 解答： (1) 证明： ∵ AF ∥ BC ∴ ∠AFE = ∠DBE ∵ E是AD中点 ∴ AE = DE 又∵ ∠AEF = ∠DEB ∴ △AEF ≅ △DEB (AAS) ∴ AF = BD ∵ AD是中线 ∴ BD = DC ∴ AF = DC (2) 四边形ADCF是菱形。 证明： ∵ AF ∥ DC，AF = DC ∴ 四边形ADCF是平行四边形 ∵ AB ⊥ AC，D是BC中点 ∴ AD = BC = DC（直角三角形斜边中线） ∴ 平行四边形ADCF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 课后思考 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 本节课重点掌握菱形的三种判定方法，核心是理清每种方法的前提条件和应用场景： • 定义法：前提是“平行四边形”，条件是“一组邻边相等”（最基础，适配已知平行四边形的场景）； • 判定方法2：前提是“平行四边形”，条件是“对角线互相垂直”（适配已知平行四边形，且有对角线条件的场景）； • 判定方法3：前提是“任意四边形”，条件是“四条边相等”（适配已知四条边关系，或可推导四条边相等的场景）。 补充：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（可由“平行四边形判定+对角线垂直”推导）。 50 2. 方法小结 1. 解题思路：判定菱形时，先判断图形是否为平行四边形——若是，补充“一组邻边相等”或“对角线垂直”；若不是，直接证明“四条边相等”。 2. 易错点提醒：① 牢记判定方法1、2的“平行四边形”前提，避免误判；② 区分菱形与矩形的判定（菱形看“邻边相等、对角线垂直”，矩形看“直角、对角线相等”）。 3. 数学思想：体会“逆向推导”（由性质逆推判定）、“转化”（将菱形判定转化为平行四边形判定）的思想，灵活结合全等三角形、等腰三角形性质辅助解题。 3. 课后思考 正方形既是矩形也是菱形，那么正方形的判定需要同时满足哪些条件？结合本节课所学的菱形判定和之前的矩形判定，尝试总结正方形的判定方法；下节课我们将综合探究特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定与性质，实现知识整合。 $