第4章 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦“两角和与差的余弦公式”，通过特殊角三角函数值计算引导猜想，结合向量知识推导公式，搭建从具体实例到抽象公式的学习支架，衔接公式推导与应用的知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动逻辑推理，通过给值求值、给值求角等题型训练数学运算，课堂小结提炼“变角”技巧。学生能深化公式理解与应用，教师可依托系统题型与反思提升教学效率。

第四章　三角恒等变换 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 §2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二十六） Part 03 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 课 前 预 习 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 cosαcosβ＋sinαsinβ 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 cosαcosβ－sinαsinβ 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 课时作业（二十六） 点击进入word 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 谢谢观看 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．会用向量知识推导两角差的余弦公式． 2．掌握两角和与差的余弦公式，并能简单应用． 1．通过推导两角差与和的余弦公式，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过两角和与差余弦公式的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　推导两角差的余弦公式 [问题]　计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝__________； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝__________； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________． 猜想： cos αcos β＋sin αsin β＝________． 答案：①1　② eq \f(\r(3),2) 　③0　④ eq \f(1,2) 　cos (α－β) ►知识填空 两角差的余弦公式 公式 Cα－β：cos (α－β)＝___________________________ 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 知识点二　两角和的余弦公式 [问题]　 把公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？ 答：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ►知识填空 两角和的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的余弦 cos (α＋β)＝______________________ Cα＋β α，β∈R [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) cos (60°＋30°)＝cos 60°＋cos 30°.(　　) (2)对于任意实数α，β，cos (α－β)＝cos α－cos β都不成立.(　　) (3)对任意α，β∈R, cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立.(　　) (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．cos 40°等于(　　) A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30° 解析：选A　cos 40°＝cos(30°＋10°) ＝cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°. 3．cos 95°cos 35°＋sin 95°sin 35°等于(　　) A．cos 130°　　　　　　　 B．sin 130° C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(1,2) 答案：D 4．设α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，若sin α＝ eq \f(3,5) ，则 eq \r(2) cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( α＋\f(π,4))) 等于(　　) A． eq \f(7,5) B． eq \f(1,5) C．－ eq \f(7,5) D．－ eq \f(1,5) 答案：B 题型一　公式Cα±β的简单应用 [例1]　求下列各式的值： (1)cos 15°－cos 75°； (2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°； (3) eq \f(1,2) cos 15°－ eq \f(\r(3),2) sin 15°. 解：(1)cos 15°－cos 75° ＝cos (60°－45°)－cos (45°＋30°) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(2),2) － eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(2),2) . (2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25° ＝cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25° ＝cos (20°＋25°)＝ eq \f(\r(2),2) . (3) eq \f(1,2) cos 15°－ eq \f(\r(3),2) sin 15° ＝cos 60°cos 15°－sin 60°sin 15° ＝cos 75°＝cos (45°＋30°) ＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) － eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4) . [反思感悟] 两角差(和)的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差(和)的余弦值，利用两角差(和)的余弦公式直接展开求解． (2)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差(和)，然后利用两角差(和)的余弦公式求解. 求下列各式的值： (1)cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 解：(1)原式＝cos [θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝ eq \f(\r(2),2) . (2)原式＝－sin (180°－13°)sin (180°＋43°) ＋sin (180°＋77°)·sin (360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos (13°－43°)＝cos (－30°)＝ eq \f(\r(3),2) . 题型二　给值(式)求值问题 [例2]　(1)已知cos α＝ eq \f(1,3) ，α是第四象限角，sin β＝ eq \f(3,5) ，β是第二象限角，求cos (α－β)的值． (2)已知α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，且sin α＝ eq \f(4,5) ，cos (α＋β)＝－ eq \f(16,65) ，求cos β的值． 解：(1)因为cos α＝ eq \f(1,3) ，α是第四象限角， 所以sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up20(2)) ＝－ eq \f(2\r(2),3) . 因为sin β＝ eq \f(3,5) ，β是第二象限角， 所以cos β＝－ eq \r(1－sin2β) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))\s\up20(2)) ＝－ eq \f(4,5) ， 则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝ eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3))) × eq \f(3,5) ＝ eq \f(－4－6\r(2),15) . (2)因为α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，所以0<α＋β<π， 由cos (α＋β)＝－ eq \f(16,65) ，得sin (α＋β)＝ eq \f(63,65) ，又sin α＝ eq \f(4,5) ， 所以cos α＝ eq \f(3,5) ， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,65))) × eq \f(3,5) ＋ eq \f(63,65) × eq \f(4,5) ＝ eq \f(204,325) . [反思感悟] 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝ eq \f(α＋β,2) ＋ eq \f(α－β,2) ；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β). 已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))) ＝－ eq \f(1,3) ，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(7π,4))) ，则cos α＝________． 解析：∵α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(7π,4))) ，∴α＋ eq \f(π,4) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)) ， ∴cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))) ＝ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up20(2)) ＝ eq \f(2\r(2),3) ， ∴cos α＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))) cos eq \f(π,4) ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))) sin eq \f(π,4) ＝ eq \f(2\r(2),3) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) × eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(4－\r(2),6) . 答案： eq \f(4－\r(2),6) 题型三　给值求角问题 [例3]　已知sin (π－α)＝ eq \f(4\r(3),7) ，cos (α－β)＝ eq \f(13,14) ，0<β<α< eq \f(π,2) ，求角β的大小． 解：因为sin (π－α)＝ eq \f(4\r(3),7) ，所以sin α＝ eq \f(4\r(3),7) . 因为0<α< eq \f(π,2) ， 所以cos α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \f(1,7) . 因为cos (α－β)＝ eq \f(13,14) ， 且0<β<α< eq \f(π,2) ，所以0<α－β< eq \f(π,2) ， 所以sin (α－β)＝ eq \r(1－cos2(α－β)) ＝ eq \f(3\r(3),14) . 所以cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝ eq \f(1,7) × eq \f(13,14) ＋ eq \f(4\r(3),7) × eq \f(3\r(3),14) ＝ eq \f(1,2) . 因为0<β< eq \f(π,2) ，所以β＝ eq \f(π,3) . [反思感悟] 解给值求角问题的一般步骤 (1)确定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． [提醒]　在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． 已知α，β均为锐角，且cos α＝ eq \f(2\r(5),5) ，cos β＝ eq \f(\r(10),10) ，求α－β的值． 解：∵α，β均为锐角，∴sin α＝ eq \f(\r(5),5) ，sin β＝ eq \f(3\r(10),10) . ∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝ eq \f(2\r(5),5) × eq \f(\r(10),10) ＋ eq \f(\r(5),5) × eq \f(3\r(10),10) ＝ eq \f(\r(2),2) . 又sin α<sin β，∴0<α<β< eq \f(π,2) ， ∴－ eq \f(π,2) <α－β<0.故α－β＝－ eq \f(π,4) . [课堂小结] 1．给角求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角所在的范围(找区间)； (3)确定角的值． $