4.1.3 综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系的综合应用，从基本公式出发，通过典例解析、变式探究、规律方法总结搭建学习支架，衔接前后知识，帮助学生逐步掌握求值、化简与证明。 其亮点在于任务驱动分层递进，典例一题多解（如齐次式求值的代入法和弦化切）培养数学思维，规律方法提炼提升数学语言表达，评价分层兼顾差异。助力学生发展逻辑推理和数学运算素养，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

1.3　综合应用 　 第四章　§1　同角三角函数的基本关系 学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式及其变形.　 2.会运用弦切互化求值，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、证明，提升逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 1 任务二　关于sin θ，cos θ齐次式的求值问题 2 任务三　简单的三角恒等式的化简与证明 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 返回 (链教材P148例4)已知sin θ＋cos θ＝，求sin θcos θ的值. 解：因为sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝， 即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝， 所以sin θcos θ＝－. 典例 1 变式探究 1.(变结论)已知本例条件不变，若0＜θ＜π，求sin θ－cos θ的值. 解：因为sin θ＋cos θ＝＞0，sin θcos θ＝－＜0，0＜θ＜π， 所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ＝＝＝. 2.(变结论)已知本例条件不变，若0＜θ＜π，求tan θ的值. 解：因为sin θ＋cos θ＝，sin θ－cos θ＝， 解得sin θ＝，cos θ＝， 所以tan θ＝＝－. 　　关于sin θ±cos θ与sin θcos θ的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.常涉及的三角恒等式有： 1.(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ. 2.(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ. 3.(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2. 4.(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 规律方法 对点练1.(1)已知sin αcos α＝－，α∈，则sin α－cos α＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为α∈，所以sin α＞0.又sin αcos α＝－，所以cos α＜0，所以sin α－cos α＞0.又(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2×＝，所以sin α－cos α＝.故选A. (2)(多选题)设α∈，sin α＋cos α＝，则下列等式正确的是 A.sin αcos α＝－ B.sin α－cos α＝ C.tan α＝ D.cos2α－sin2α＝－ √ √ 因为sin α＋cos α＝，所以＝，即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，故A错误；又α∈，sin α＞0，所以cos α＜0，则α∈，则tan α＜0 ，所以sin α－cos α＝＝＝，故B正确、C错误；cos2α－sin2α＝＝×＝－，故D正确.故选BD. 返回 任务二　关于sin θ，cos θ齐次式的求值问题 返回 (一题多解)(链教材P149例5)已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)； 解：法一(代入法)：因为tan α＝2，所以＝2，所以sin α＝2cos α. 所以＝＝－. 法二(弦化切)：因为tan α＝2，所以＝＝＝＝－. 典例 2 (2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α. 解：2sin2α－sin αcos α＋cos2α ＝＝ ＝＝＝. 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 1.方法：切化弦后代入；弦化切后代入. 2.模型：(1)对于形如的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值. (2)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，先将分母1变形为sin2α＋cos2α，再转化为形如的式子求值. 规律方法 对点练2.(1)若＝，则tan α＝ A.－5 B.5 C.－ D. √ 由＝，得＝，所以tan α＝5.故选B. (2)已知tan α＝－，则＝ A.－ B. C.－ D. √ ＝＝＝＝－.故选C. 返回 任务三　简单的三角恒等式的化简与证明 返回 (1)化简：＋(1＋tan2α)cos2α. 解：原式＝＋(1＋) cos2α＝＋·cos2α ＝1＋1＝2. 典例 3 (2)(链教材P149例7)(一题多解)求证：＝. 证明：法一：左边＝＝＝＝＝右边. 所以等式成立. 法二：右边＝＝ ＝＝ ＝＝左边. 所以等式成立. 三角函数式的化简与证明的技巧 1.化切为弦：即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. 2.含根号的三角函数式：常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. 3.高次的三角函数式：往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低幂次数，达到化简的目的. 规律方法 对点练3.(1)已知α是第一象限角，则＝ A.sin α B.－sin α C.cos α D.1 √ 因为sin2α＋cos2α＝1，所以－＝－＝1.又α是第一象限角，故原式＝＝sin α.故选A. (2)已知＝－，则的值为 A. B.－ C. D.－ √ 因为·＝＝＝－1，且＝－，所以＝.故选A. 返回 课堂小结 任务再现 1.利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值.2.关于sin θ，cos θ齐次式的求值问题.3.简单的三角恒等式的化简与证明 方法提炼 “1”的代换、配方法、整体代换法、弦切互化、左右归一、方程思想方法、分类讨论思想方法 易错警示 化简求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论 随堂评价 返回 1.化简的结果是 A.cos 160° B.±｜cos 160°｜ C.±cos 160° D.－cos 160° √ ＝＝｜cos 160°｜＝－cos 160°.故选D. 2.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是 A. B. C.1 D. √ 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.故选C. 3.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α＝ A. B. C. D. √ 因为＝1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝.故选B. 4.若tan θ＝－3，则＝_______. － 因为tan θ＝－3，所以＝＝＝－. 返回 课时分层评价 返回 1.(1＋tan215°)·cos215°＝ A. B. C.1 D. √ 原式＝·cos215°＝cos215°＋sin215°＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知tan α＝3，则＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为tan α＝3，所以＝＝＝－.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 √ 由sin α＋cos α＝，得＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－＜0.因为α是三角形的一个内角，有α∈，有sin α＞0，所以cos α＜0，得α∈，即三角形为钝角三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知＜α＜π，则cos α－＝ A.sin α＋1 B.－1－cos α C.－1＋sin α D.cos α－1 √ 因为＜α＜π，则sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝cos α－＝cos α·－＝sin α－1－sin α＋cos α＝cos α－1.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若sin θ，cos θ是方程x2－mx＋m＝0的两根，则m的值为 A.1－ B.1＋ C.1± D.－1－ √ 由题设Δ＝(－m)2－4m≥0，得m≥4或m≤0.由韦达定理得sin θ＋cos θ＝m且sin θcos θ＝m，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m2＝1＋2m，即m2－2m－1＝0，可得m＝1±.又m≥4或m≤0，所以m＝1－.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)下列计算或化简，结果正确的是 A.＝2 B.＝－1 C.若tan x＝，则＝1 D.若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2 √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于A，＝＝2，故A正确；对于B，＝＝＝－1，故B正确；对于C，若tan x＝，则＝＝＝2，故C错误；对于D，若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝＋＝＝＝2，故D正确.故选ABD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.化简：sin2x＝_______. tan x sin2x＝sin2x＝＝tan x. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.若tan θ＝2，则＝______. 1 因为tan θ＝2，所以＝＝1. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知＝，则sin4α＋cos4α＝______. 由＝＝，平方可得＝3，故cos αsin α＝. 所以sin4α＋cos4α＝－2sin2αcos2α＝1－2×＝. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)证明：＝. 证明：因为左边＝＝＝， 右边＝＝＝＝ ＝＝， 所以＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知tan α＝，且α为第三象限角，则tan α＝ A.2 B.3 C.－2或3 D.2或－3 √ 易知tan α＝＝＝，整理得tan2α＋tan α－6＝0，解得tan α＝2或tan α＝－3.又α为第三象限角，可得tan α＞0，即tan α＝2.故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则下列等式正确的是 A.sin θcos θ＝－ B.sin θ－cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin3θ＋cos3θ＝ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为θ∈，则sin θ＞0.对于A，＝1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－，故A正确；对于B，由A选项可知，cos θ＜0，则sin θ－cos θ＞0，所以＝1－2sin θcos θ＝，则sin θ－cos θ＝，故B错误；对于C，则tan θ＝＝－，故C错误；对于D，sin3θ＋cos3θ＝＋＝，故D正确.故选AD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α＝_______. 1 因为sin α＋sin2α＝1，且cos2α＋sin2α＝1，所以sin α＝1－sin2α＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝cos2α(1＋cos2α)＝sin α(1＋sin α)＝sin α＋sin2α＝1. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)解答下列各题： (1)已知＝－5，求的值； 解：由＝＝－5，得tan α＝2. 所以＝＝＝＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)已知sin αcos α＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值. 解：因为＜α＜，所以cos α－sin α＜0， (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝， 所以cos α－sin α＝－. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若＝5，则sin α＋cos α的值为 A. B. C. D. √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设大正方形的边长为a，则直角三角形的两直角边分 别为asin α，acos α，故S1＝a2，S2＝a2－4×asin α·acos α＝a2(1－2sin αcos α)，则＝ ＝5，所以sin αcos α＝.又α为锐角，则sin α＞0， cos α＞0，所以sin α＋cos α＝＝.故选B. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)设函数f(x)＝＋tan x，x为第四象限角. (1)化简f(x)； 解：由f＝＋tan x＝＋tan x＝＋＝＋. 因为x为第四象限角，所以cos x＞0，所以f＝＋＝. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若f(x)＋f＝，求sin x＋cos x的值. 解：由(1)知：f＝， 所以f＋f＝＋＝＋＝＝. 令sin x＋cos x＝t， 因为x为第四象限角，所以－1＜sin x＜0，0＜cos x＜1，所以t∈， 所以sin xcos x＝，所以＝＝， 所以5t2－24t－5＝0，所以t＝－或t＝5(舍). 所以sin x＋cos x＝－. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.3　综合应用 返回 $