4.1.1-4.1.2 基本关系式 由一个三角函数值求其他三角函数值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系，通过单位圆交点坐标问题引导学生推导平方关系与商数关系，衔接三角函数定义，以问题提示、表格总结等支架帮助构建知识脉络。 其亮点在于问题驱动与分层设计，通过逻辑推理推导关系式，结合典型例题与对点练强化数学运算，规律方法与评价体系助力巩固，提升数学抽象与运算素养，教师可高效开展教学，学生能深化知识理解与应用能力。

1.1　基本关系式　 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 　 第四章　§1　同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式，培养逻辑推理的核心素养.　 2.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1， ＝tan α，培养数学抽象的核心素养.　 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　基本关系式 1 任务二　由一个三角函数值求其他三角函数值 2 任务三　基本关系式的简单应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　基本关系式 返回 问题1.如图所示，如果对于任意角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)，那么角α的三个三角函数值sin α，cos α与tan α之间的关系是什么呢？ 提示：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z). 问题导思 同角三角函数的基本关系式 新知构建 基本关系 基本关系式 语言描述 平方 关系 ___________________ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数 关系 _________________________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 sin2α＋cos2α＝1 tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z) (1)“同角”的含义：一是“角相同”，与角的表示形式无关.如sin2＋cos2＝1成立，这里的同角是指.二是对“任意”一个角，关系式都成立.(2)sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ，k∈Z成立. 微提醒 (1)对任意角α，β，下列等式恒成立的为 A.sin23α＋cos23α＝1 B.＝tan C.sin2α＋cos2β＝1 D.sin α＝cos α tan α √ 典例 1 对于A，由平方关系知，sin23α＋cos23α＝1恒成立，故A正确； 对于B，当α＝π＋2kπ(k∈Z)时，＝＋kπ(k∈Z)， 此时无意义，故B错误； 对于C，当α＝，β＝时，sin2 α＋cos2 β＝＋＝≠1， 所以sin2α＋cos2β＝1不恒成立，故C错误； 对于D，由商数关系知，当α≠kπ＋(k∈Z)时， sin α＝cos αtan α成立，故D错误，故选A. (2)设x∈R，则“sin x＝0”是“cos x＝1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若sin x＝0，则sin2x＝1－cos2x＝0⇒cos x＝±1，故充分性不成立，若cos x＝1，则cos2x＝1－sin2x＝1⇒sin x＝0，故必要性成立，故“sin x＝0”是“cos x＝1”的必要不充分条件.故选B. 　　同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，注意平方关系式和商数关系式中的角α的取值范围. 规律方法 对点练1.(多选题)已知α是第四象限角，则下列结论正确的是 A.sin2＋cos2＝1 B.＝cos α C.＝sin α－cos α D.＝sin √ √ 对于A，平方关系中α为任意角，则sin2＋cos2＝1恒成立，故A正确；对于B，由第四象限角余弦值为正，结合平方关系有＝＝cos α，故B正确；对于C，由第四象限角正弦值为负，则＝＝，而cos α－sin α＞0，故＝cos α－sin α，故C错误；对于D，由α是第四象限角，故为第二或第四象限角，sin 的符号不确定，所以＝＝，故D错误.故选AB. 返回 任务二　由一个三角函数值求其他三角函数值 返回 问题2.利用基本关系式，若已知一个角的某一个三角函数值，如何求这个角的其他三角函数值？ 提示：(1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tan α＝求 tan α. (3)若已知tan α＝m，则tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α，结合sin2α＋cos2α＝1，通过方程组求解. 问题导思 基本关系式的变形 1.sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. 2.sin α＝tan α·cos α；cos α＝(α≠，k∈Z). 新知构建 (1)(链教材P146例2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 解：因为cos α＝－＜0，所以角α的终边在第二或第三象限. 当α的终边在第二象限时，sin α＞0，tan α＜0，所以sin α＝＝＝， tan α＝＝－. 当α的终边在第三象限时，sin α＜0，tan α＞0，所以sin α＝－＝－＝－， tan α＝＝. 典例 2 (2)(链教材P147例3)已知tan θ＝a(a≠0)，求sin θ和cos θ. 解：因为tan θ＝a，所以＝a，所以sin θ＝acos θ. 又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以a2cos2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝. 因为tan θ＝a(a≠0)，所以角θ的终边不在x轴上、y轴上. 所以cos θ＝ 所以sin θ＝cos θtan θ＝ 1.如果已知三角函数值，但没有指定角的终边在哪个象限，那么先由已知三角函数值确定角终边可能所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解. 2.如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要进行分类讨论. 规律方法 对点练2.(1)已知α∈，sin α＝，则tan α＝ A. B. C.－ D.－ √ 由α∈，sin α＝，得cos α＝－＝－.所以tan α＝＝－.故选D. (2)已知α是第三象限角，且sin α＝－，则cos α＋tan α＝_______. － 因为sin α＝－，且α是第三象限角，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝＝，所以cos α＋tan α＝－＋＝－. 返回 任务三　基本关系式的简单应用 返回 已知sin θ＝，cos θ＝，求tan θ的值. 解：由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1， 解得m＝0或m＝8. 当m＝0时，sin θ＜0，不符合＜θ＜π，所以m＝0舍去； 当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝－. 典例 3 　　在利用基本关系式求值时，注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号，且注意sin2α＋cos2α＝1的变形应用. 规律方法 对点练3.已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值. 解：因为sin α＋3cos α＝0，所以sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，所以(－3cos α)2＋cos2α＝1， 即10cos2α＝1，所以cos α＝±. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， 所以角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－. 返回 课堂小结 任务再现 1.同角三角函数的基本关系式.2.由一个三角函数值求其他三角函数值.3.基本关系式的简单应用 方法提炼 公式法、解方程(组)法、分类讨论思想方法 易错警示 求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论 随堂评价 返回 1.下列四个命题中正确的是 A.sin α＝且cos α＝ B.sin α＝0且cos α＝－1 C.tan α＝1且cos α＝－1 D.tan α＝－(α为第二象限角) √ 由sin2α＋cos2α＝1可知A不正确，B正确；D不正确，tan α＝；C不正确，若cos α＝－1，则α＝π＋2kπ(k∈Z)，则tan α＝0.故选B. 2.若sin θ＝－，θ是第三象限角， 则tan θ＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为sin θ＝－，θ是第三象限角，则cos θ＝－＝－.所以tan θ＝＝＝.故选C. 3.(多选题)已知cos α＝，则sin α的值可以是 A.－ B. C.－ D. √ √ cos α＝＞0，易知α是第一象限角或第四象限角，则sin2α＝1－＝.当α是第一象限角时，sin α＝；当α是第四象限角时，sin α＝－.故选AB. 4.已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为_______. － 由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，所以cos2α＝.易知cos α＜0，所以cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－. 返回 课时分层评价 返回 1.已知α是第一象限角，sin α＝，则cos α为 A. B. C. D. √ 由α是第一象限角，得cos α＞0.而sin α＝，所以cos α＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知α是第二象限角，cos2α＝，则tan α的值为 A. B.－ C.1 D.－1 √ 依题意，得cos α＝－＝－，sin α＝＝.故tan α＝＝－.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若＝2，则sin θ＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为＝2，则sin θ＝2(1－cos θ)，且cos θ≠1， 联立方程(舍去)，所以sin θ＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若sin 3＝t，则cos 3＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为＜3＜π，sin 3＝t，所以cos 3＝－＝－.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若tan α＝－，cos α＜0，则sin α＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为tan α＝＝－，所以sin α＝－cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝cos2α＝1，cos2α＝，因为cos α＜0，所以cos α＝－，所以sin α＝－cos α＝.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)＋的值可能为 A.3 B.－3 C.2 D.－1 √ √ √ 由题得＋＝＋，当α在第一象限时，原式＝＋＝3；当α在第二象限时，原式＝＋＝1；当α在第三象限时，原式＝＋＝－3；当α在第四象限时，原式＝＋＝－1.故选ABD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知sin α＝－，且cos α＜0，则tan α＝_______. 2 由sin α＝－可得cos2α＝1－＝.由于cos α＜0，故cos α＝－.故tan α＝＝2. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知sin α＝，tan β＝2，则＝________. ± 因为sin α＝，所以cos α＝±＝±＝±，则tan α＝＝±.又tan β＝＝2，sin2β＋cos2β＝1，则cos β＝±，故＝±. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(易错题)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ＝__________. 0或－ 由2sin θ＝1－cos θ，sin2θ＝1－cos2θ，解得cos θ＝1或cos θ＝－.当cos θ＝1时，sin θ＝0，此时tan θ＝0；当cos θ＝－时，sin θ＝，此时tan θ＝－.所以tan θ＝0或tan θ＝－. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知sin α＝，且α是第二象限角. (1)求cos α的值； 解：因为α是第二象限角，所以cos α＜0，而sin α＝， 所以cos α＝－＝－. (2)求tan(α＋π)＋的值. 解：因为tan α＝＝－， 所以tan(α＋π)＋＝tan α＋＝tan α＋1＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新定义)在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，规定：比值叫作α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝(0＜α＜π)，则tan α＝______. 因为0＜α＜π，则sin α＞0，由正余混弦的定义可得sch α＝＝－＝sin α－cos α. 则有因此，tan α＝＝. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若角α的终边落在直线x＋3y＝0上，则的值等于 A.3或－3 B.或－ C.3或－ D.－3或 √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 角α的终边落在直线x＋3y＝0上，所以角α的终边在第二象限或第四象限，所以tan α＝－，所以＝.当角α的终边在第二象限时，sin α＞0，所以＝＝＝tan α＝－；当角α的终边在第四象限时，sin α＜0，所以＝＝－＝－tan α＝.故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则tan α＝________. － 因为α为第二象限角，所以解得m＜－1或m＞； 因为sin2α＋cos2α＝＝1，即(2m－5)2＋m2＝(m＋1)2， 所以2m2－11m＋12＝0，解得m＝(舍)或m＝4， 所以sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝＝－. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知sin α＝－且α为第三象限角. (1)求cos α，tan α的值； 解：因为sin α＝－且α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－，tan α＝＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求的值. 解：由(1)知：sin α＝cos α， 所以＝ ＝ ＝＝－7. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)《九章算术》是我国古代的数学著作， 在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦” 指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距 离之差，记圆心角∠AOB＝2α，若“弦”为2，“矢”为1时，则＋tan α等于 A. B.1 C. D. √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 依题意，可设半径长＝r＞0，可得cos α＝， sin α＝.由同角三角函数值之间的基本关系可得 cos2α＋sin2α＝＋＝1，解得r＝2.即可得cos α＝，sin α＝，tan α＝＝.所以＋tan α＝＋＝.故选D. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(开放题)已知角α满足__________.请从下列三个条件中任选一个作答.(注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分). 条件①：角α的终边与单位圆的交点为M； 条件②：角α满足sin α＝； 条件③：角α满足17sin2α－8cos2α＝1. (1)求tan α的值； 解：条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为M， 所以x2＋＝1，解得x＝±. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 由三角函数的定义可得tan α＝±. 条件②：因为角α满足sin α＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，即可得cos2α＝， 所以cos α＝±，可得tan α＝±. 条件③：因为角α满足17sin2α－8cos2α＝1， 又因为sin2α＋cos2α＝1， 即17sin2α－8cos2α＝sin2α＋cos2α，可得16sin2α＝9cos2α， 又cos2α≠0，所以tan2α＝，即tan α＝±. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求sin αcos α－sin2α＋1的值. 解：由(1)可知tan α＝±. 当α为第一象限角时，tan α＝， 由 可得sin α＝，cos α＝， 所以sin αcos α－sin2α＋1＝. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 同理：当α为第二象限角时，tan α＝－， 此时sin α＝，cos α＝－， 所以sin αcos α－sin2α＋1＝. 当α为第三象限角时，tan α＝，此时sin α＝－，cos α＝－， 所以sin αcos α－sin2α＋1＝. 当α为第四象限角时，tan α＝－，此时sin α＝－，cos α＝， 所以sin αcos α－sin2α＋1＝. 综上，sin αcos α－sin2α＋1的值为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.1　基本关系式　 1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 返回 $