2.2.2 向量的减法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量的减法，涵盖定义、几何意义及运算，通过类比实数减法引入，以“共起点，连终点”口诀和作图法为支架，衔接向量加法，帮助学生构建从位移合成到向量运算的知识脉络。 其亮点在于任务驱动式设计，结合典型例题（如作差向量、化简表达式）和教材拓展（向量模的三角不等式），培养数学抽象与直观想象。采用几何意义直观教学（作图步骤、口诀）和分层评价，学生提升运算能力，教师可高效开展教学。

2.2　向量的减法 　 第二章　§2　从位移的合成到向量的加减法 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的定义.　 2.掌握向量减法的几何意义，培养数学抽象、直观想象的核心 素养.　 3.能熟练地进行向量的加、减的综合运算，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　向量的减法 1 任务二　向量减法的运算 2 任务三　向量加、减法的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　向量的减法 返回 问题1.在实数的运算中，实数α减去实数β等于α加上实数β的相反数，即α－β＝α＋(－β).类比实数的减法，在向量的运算中，两向量a，b相减，会有什么结论成立呢？ 提示：a－b＝a＋(－b)，－b是b的相反向量. 问题导思 向量的减法 新知构建 定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的______向量，即a－b＝a＋(－b) 向量减 法的作图 如图所示，给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝， 则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝   几何意义 如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是_______ 相反 a－b (1)口诀：“共起点，连终点，箭头指向被减向量”.(2)两个向量的差仍是一个向量. 微提醒 (链教材P88例4)如图，已知向量a，b，c不共线， 求作向量a＋b－c. 解：法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作 ＝a，＝b，则＝a＋b， 再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②所示，在平面内任取一 点O，作＝a，＝b，则＝a＋b， 再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 典例 1 作差向量的方法 1.转化为向量的加法：如a－b＝a＋(－b). 2.利用向量减法的几何意义，即“共起点，连终点，指向被减向量”. 规律方法 对点练1.如图，已知向量a，b，c，作出下列向量： (1)a＋c－b和a＋； 解：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝c，＝b，则＝a＋c－b. 如图②所示，在平面内任取一点P，作＝b，＝c，则＝c－b，作＝a，则＝＋＝a＋. (2)a－和a－c－b. 解：如图③所示，在平面内任取一点O，作＝b，＝c，则＝b＋c；作＝－，＝a，则＝a－. 如图④所示，在平面内任取一点P，作＝a，＝c，则＝a－c；作＝b，则＝a－c－b. 返回 任务二　向量减法的运算 返回 化简下列各向量的表达式： (1)＋－； 解：＋－＝－＝. 典例 2 (2)(－)－(－)； 解：(－)－(－)＝－＋－＝＋＋＝＋＝－＝0. (3)(＋＋)－(－－). 解：(＋＋)－(－－)＝＋－(－)＝－＝0. 向量的化简 1.首尾相连相加的向量，用向量加法的三角形法则化简. 2.共起点相减的向量，用向量减法的三角形法则化简. 3.必要时可以利用相等向量或相反向量等价转化. 规律方法 对点练2.(1)(多选题)下列各式可以化简为的是 A.＋ B.－ C.－ D.－ √ √ 对于A，＋＝，故A正确；对于B，－＝－－＝－(＋)≠，故B错误；对于C，－＝，故C错误；对于D，－＝，故D正确.故选AD. (2)化简： ①－＋＋＝________； －＋＋＝＋＋－＝－＝. ②－－＝________； －－＝－＝. ③＋＋－＝________. 0 ＋＋－＝＋－＝－＝0. 返回 任务三　向量加、减法的应用 返回 (链教材P89例6)如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解：因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c， ＝－＝b－a， ＝－＝c－a， ＝－＝c－b， 所以＝＋＝b－a＋c. 典例 3 向量的表示 第1步，观察各个向量在图形中的位置； 第2步，把要表示的向量放入三角形或平行四边形中； 第3步，运用法则进行表示. 规律方法 对点练3.(1)如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为 A.a＋b－c B.a－b＋c C.b－a＋c D.b－a－c √ 根据向量运算法则可得＝＋＝－＋，又＝a，＝b，＝c，所以＝b－a＋c.故选C. (2)如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝__________. a＋c－b 由已知＝，则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. 教材拓展3　和(差)向量模的性质(源于教材P85思考交流) 结论：｜｜a｜－｜b｜｜ ≤ ｜a±b｜ ≤ ｜a｜＋｜b｜，当且仅当向量a，b同向或反向或至少一个为零向量时等号成立. (1)(双空题)若a，b满足＝2，＝3，则的最大值为_______，最小值为_______. 典例 4 5 1 由向量加减法的几何意义可知≤≤＋，由＝2，＝3，得1≤≤5，当a，b方向相同时，＝＋＝5，当a，b方向相反时，＝－＝1，即的最大值为5，最小值为1. (2)若＝7，＝4，则的取值范围是___________. 依题意，知＝7，＝4，且＝，当，同向时，取得最小值，＝＝＝＝3；当，反向时，取得最大值，＝＝＝＝11；当，不共线时，3＝＜＜＝11，故. (3)(双空题)已知单位向量e1，e2，…，e2 026，则的最大值是_________，最小值是________. 2 026 0 当单位向量e1，e2，…，e2 026方向相同时，取得最大值， ＝＋＋…＋＝2 026；当单位向量e1，e2，…，e2 026首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 026＝0，所以的最小值为0. 返回 课堂小结 任务再现 1.向量的减法与减法运算.2.向量减法的几何意义.3.向量加、减法的应用.4.向量的三角不等式 方法提炼 三角形法则、不等式法、数形结合思想方法 易错警示 忽略向量共起点时才可用向量的减法 随堂评价 返回 1.如图，四边形ABCD是正方形，则－＝ A. B. C. D. √ 易知－＝＋＝.故选B. 2.＋－等于 A. B. C. D. √ ＋－＝＋＝.故选D. 3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于 A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c √ ＝＋＋＝a－b＋c.故选A. 4.在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜－｜，则四边形ABCD的形状为__________. 矩形 依题意，得＋＝，－＝，因为｜＋｜＝｜－｜，即｜｜＝｜｜，所以平行四边形ABCD的对角线相等，所以该平行四边形为矩形. 返回 课时分层评价 返回 1.在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝ A. B. C. D. √ ＋－＝－＝＋＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.化简－＋－所得的向量是 A. B. C.0 D. √ －＋－＝＋－＝－＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选题)下列向量的运算结果正确的是 A.＋＝ B.－＝ C.－＋＝0 D.－－＝0 √ √ 对于A，＋＝，故A正确；对于B，－＝＋＝，故B错误；对于C，－＋＝＋－＝－＝0，故C正确；对于D，－－＝－(＋)＝－＝＋≠0，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在边长为1的正三角形ABC中，｜－｜的值为 A. B.1 C. D.2 √ 如图所示，作菱形ABCD，则｜－｜＝｜－｜＝｜｜＝2｜｜·sin 60°＝.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.在△ABC中，｜＋｜＝｜－｜＝｜＋｜，则△ABC是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 √ 因为＋＝，－＝，＋＝，｜＋｜＝｜－｜＝｜＋｜，所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以△ABC是等边三角形.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.设a，b为夹角是锐角的单位向量，则a＋b与a－b的夹角为 A. B. C. D. √ 如图所示，设＝a，＝b，四边形OACB为平行四 边形，则＝a＋b，＝a－b.因为a，b为夹角是锐 角的单位向量，所以▱OACB为菱形，故OC⊥BA，所 以⊥，即a＋b与a－b的夹角为.故选D. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.在正六边形ABCDEF中，＝m，＝n，则＝__________.(结果用m，n表示) m－n 如图所示，根据正六边形的性质可知，ED∥AB，且ED＝AB，所以＝＝－＝m－n. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知＝a，＝b，＝5，＝12，∠AOB＝90°，则＝_______. 13 依题意，△AOB是直角三角形，＝＝＝13. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知非零向量a，b满足＝＝，则a与b的夹角为______. 如图所示，设a＝，b＝，a－b＝，因为＝＝，即＝＝，可知△OAB为等边三角形，所以a与b的夹角为∠AOB＝. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中点，G为AC与BD的交点. (1)若＝，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？说明理由. 解：由条件知＝｜＋＋｜＝，即AB＝AD， 又四边形ABCD是平行四边形， 故四边形ABCD是菱形. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)化简－－，并在图中作出表示该化简结果的向量. 解：由平行四边形及三角形中位线的性质可知＝. 所以－－＝－－＝－＝－＝. 作出向量如图所示. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新情境)如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量a，b，c代表.若用向量d代表整条手臂，则下列结论正确的是 A.｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝｜d｜ B.｜a｜＋｜b｜＝｜c｜＋｜d｜ C.a＋c＝d－b D.a＋b＝c－d √ 依题意，得a＋b＋c＝d，所以a＋c＝d－b，a＋b＝d－c，由于各向量间的夹角未知，故＋＋＝，＋＝＋均不一定成立，故C正确，A、B、D错误.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知a，b为非零向量，则下列说法正确的是 A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同 B.若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则a与b相互垂直 C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b的模相等 D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同 √ √ √ 若a，b为非零向量，则当且仅当a，b方向相同时有｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，因此A，D正确；若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线相等，故平行四边形为矩形，则a与b相互垂直，因此B正确；若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反，不能说明a与b的模相等，因此C错误.故选ABD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是△ABC所在平面内任意一点，则－＋＝_______. 0 －＋＝＋－＝－.因为D是边BC的中点，所以＝.所以－＋＝0. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－b｜. 解：设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边 形ABCD，如图所示. 则＝a＋b，＝a－b，所以｜｜＝｜｜. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB. 在Rt△DAB中，｜｜＝8，｜｜＝6， 由勾股定理得，｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝64＋36＝100，即｜｜＝10，所以｜a－b｜＝10. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若E为AC的中点，则＝ A. B. C. D. √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为＋＝＋，所以－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形.因为E为AC的中点，所以E为对角线AC与BD的交点，如图所示，则S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，则＝.故 选C. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(开放题)如图，在▱ABCD中，＝a，＝b. (1)用a，b表示，； 解：＝＋＝a＋b，＝－＝a－b. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？ 解：由(1)知a＋b＝，a－b＝. a＋b，a－b所在的直线互相垂直，即AC⊥BD. 又因为四边形ABCD为平行四边形， 所以四边形ABCD为菱形，即a，b应满足｜a｜＝｜b｜. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)当a，b满足什么条件时，｜a＋b｜＝｜a－b｜？ 解：｜a＋b｜＝｜a－b｜，即｜｜＝｜｜， 所以四边形ABCD为矩形， 所以当a，b满足a⊥b时，｜a＋b｜＝｜a－b｜. (4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ 解：不可能，▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量， 所以a＋b与a－b不可能为相等向量. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.2　向量的减法 返回 $