2.2.2 向量的减法(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量的减法运算，通过类比数的减法导入，设置思考问题建立与向量加法的联系，引导学生理解减法是加法的逆运算及相反向量的定义，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与逻辑推理，借助例4作图示意图（图1、图2）直观展示向量差的作法，解题技巧步骤化培养运算能力，课堂小结强调转化思想与应用，助力学生用数学语言表达向量关系，教师可提升教学效率，学生能深化对向量运算的理解。

2．2　向量的减法 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，可以定义向量的减法． 思考1　向量的减法与加法有什么关系？ 提示：向量的减法是向量加法的逆运算． 思考2　怎样定义一个向量的相反向量？ 提示：一个向量和其相反向量长度相等，方向相反． 新知学习 探究 返回导航 相反向量 新知学习 探究 返回导航 × √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． (3)化简向量的差时注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例4)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为减向量的终点指向被减向量的终点的向量． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 用已知向量表示未知向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 3．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为____________，|a－b|的最大值为____________． 解析：由向量的三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|可知，当这两个向量方向相反时，|a＋b|取得最小值7，|a－b|取得最大值17. 7　 17 课堂巩固 自测 返回导航 13 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：向量的减法运算、向量减法的几何意义、向量加减法的运用． 2．须贯通：向量的减法运算通过相反向量可以转化为向量的加法运算，三角形法则仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想． 3．应注意：(1)忽略向量共起点时才可用向量的减法； (2)差向量连接两向量的终点，方向指向被减向量的终点． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.通过实例能用相反向量说出向量减法的意义．　2.掌握向量减法的运算及其几何意义． 3．能熟练地进行向量的加减运算． eq \a\vs4\al(一　向量减法的定义及运算法则) 向量a减向量b等于向量a加上向量b的____________，即a－b＝ a＋(－b)． 【即时练】 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (2)eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)).(　　) (3)a－b的相反向量是b－a. (　　) (4)|a－b|<|a＋b|.(　　) 2.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且eq \o(BP,\s\up16(→))＝eq \o(QC,\s\up16(→))，则化简eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AP,\s\up16(→))－eq \o(AQ,\s\up16(→))的结果为(　　) A．0 B.eq \o(BP,\s\up16(→)) C.eq \o(PQ,\s\up16(→)) D.eq \o(PC,\s\up16(→)) 解析：eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AP,\s\up16(→))－eq \o(AQ,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AP,\s\up16(→)))＋(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AQ,\s\up16(→)))＝eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(QC,\s\up16(→))＝eq \o(QC,\s\up16(→))－eq \o(BP,\s\up16(→))＝0.故选A. 3．化简下列各式： (1)eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))； 解：eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))＝(eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→)))＋(eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→)). (2)(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OA,\s\up16(→)))－(eq \o(DC,\s\up16(→))－eq \o(DO,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))． 解：(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OA,\s\up16(→)))－(eq \o(DC,\s\up16(→))－eq \o(DO,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))) ＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＝0. eq \a\vs4\al(二　向量减法的几何意义) 如图，给定向量a与b，作有向线段eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，故－b＝eq \o(BO,\s\up16(→))，则a－b＝a＋(－b)＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))， 即如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量eq \o(BA,\s\up16(→))就是a－b. 【解】　方法一：如图1，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则eq \o(CB,\s\up16(→))＝a＋b－c. 方法二：如图2，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq \o(CB,\s\up16(→))＝c，连接OC，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝a＋b－c. [跟踪训练1] (1)如图，单位圆上有两个动点A，B，则|eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))|的最大值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 解析：因为|eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(BA,\s\up16(→))|，A，B是单位圆上的动点，所以|eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))|的最大值是单位圆的直径为2，此时eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(OB,\s\up16(→))反向．故选D. (2)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则eq \f(|a＋b|,|a－b|)＝____________． 解析：如图，设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝a－b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，∠OAC＝120°，所以|a＋b|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝eq \r(3)|a|，所以eq \f(|a＋b|,|a－b|)＝eq \f(\r(3)|a|,|a|)＝eq \r(3). eq \r(3) eq \a\vs4\al(三　向量减法的的应用) 　(1)(对接教材例6)已知O为平行四边形ABCD内一点，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，试用a，b，c表示eq \o(OD,\s\up16(→))； 【解】　方法一：如图所示： eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝a＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝a＋(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))＝a＋c－b. 方法二：eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→)))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋0＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋(eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c. (2)(对接教材例5)已知非零向量a，b满足|a|＝eq \r(7)＋1，|b|＝eq \r(7)－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值． 【解】　设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则|eq \o(BA,\s\up16(→))|＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB(图略)，则|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝|a＋b|.因为(eq \r(7)＋1)2＋(eq \r(7)－1)2＝42，所以|eq \o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq \o(OB,\s\up16(→))|2＝|eq \o(BA,\s\up16(→))|2，所以OA⊥OB.所以平行四边形OACB是矩形．因为矩形的对角线相等，所以|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝|eq \o(BA,\s\up16(→))|＝4，即|a＋b|＝4. [跟踪训练2] (1)如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，eq \o(AE,\s\up16(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(BE,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))及eq \o(CE,\s\up16(→))； 解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＝c，eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝b－a，eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝c－a，eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝c－b，eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝b－a＋c. (2)设平面内四边形ABCD及任一点O，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，eq \o(OD,\s\up16(→))＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状． 解：由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))，所以eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))， 于是AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．又|a－b|＝|a－d|，即|eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OD,\s\up16(→))|，所以|eq \o(BA,\s\up16(→))|＝|eq \o(DA,\s\up16(→))|，所以四边形ABCD为菱形． 1．(教材P89T2改编)化简eq \o(OP,\s\up16(→))－eq \o(QP,\s\up16(→))＋eq \o(PS,\s\up16(→))＋eq \o(SP,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \o(QP,\s\up16(→)) B.eq \o(OQ,\s\up16(→)) C.eq \o(SP,\s\up16(→)) D.eq \o(SQ,\s\up16(→)) 解析：原式＝(eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(PQ,\s\up16(→)))＋(eq \o(PS,\s\up16(→))＋eq \o(SP,\s\up16(→)))＝eq \o(OQ,\s\up16(→))＋0＝eq \o(OQ,\s\up16(→)).故选B. 2．(多选)下列四个式子中能化简为eq \o(PQ,\s\up16(→))的是(　　) A.eq \o(QC,\s\up16(→))－eq \o(QP,\s\up16(→))＋eq \o(CQ,\s\up16(→)) B.eq \o(AB,\s\up16(→))＋(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(BQ,\s\up16(→))) C．(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))＋(eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(QC,\s\up16(→))) D.eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BQ,\s\up16(→)) 解析：eq \o(QC,\s\up16(→))－eq \o(QP,\s\up16(→))＋eq \o(CQ,\s\up16(→))＝eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(CQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))(或eq \o(QC,\s\up16(→))－eq \o(QP,\s\up16(→))＋eq \o(CQ,\s\up16(→))＝0－eq \o(QP,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→)))，故A符合； eq \o(AB,\s\up16(→))＋(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(BQ,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BQ,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \o(AQ,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))，故B符合； (eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))＋(eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(QC,\s\up16(→)))＝eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \o(QC,\s\up16(→))＝eq \o(CQ,\s\up16(→))－eq \o(CP,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))，故C符合； eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BQ,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(BQ,\s\up16(→))，故D不符合．故选ABC. 4．已知eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，若|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝12，|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝____________． 解析：因为|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝12，|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝5，∠AOB＝90°，所以|eq \o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq \o(OB,\s\up16(→))|2＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|2，即|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝13.因为eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，所以a－b＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))，所以|a－b|＝ |eq \o(BA,\s\up16(→))|＝13. $