2.1.1 位移、速度、力与向量的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量概念，从位移、速度、力等物理情境导入，通过问题导思建立向量与数量的联系，以“概念—表示—特殊向量—综合应用”为支架，衔接前后知识。 其亮点在于以情境化问题（如小明家到学校的位移、飞机飞行路径）培养数学抽象与直观想象，通过典例解析和分层评价（随堂评价、课时分层评价）落实数学思维，助力学生理解向量本质，也为教师提供结构化教学方案。

1.1　位移、速度、力与向量的概念 　 第二章　§1　从位移、速度、力到向量 学习目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义，培养数学抽象的核心素养.　 2.理解平面向量的几何表示和基本要素，会用字母表示向量，提升直观想象的核心素养.　 3.理解零向量、单位向量、向量的模等概念，培养数学抽象的核心素养. 内容索引 任务一　向量的概念 1 任务二　向量的表示方法 2 任务三　两类特殊向量 3 课时分层评价 6 任务四　向量概念的综合应用 4 随堂评价 5 任务一　向量的概念 返回 问题1.观察下列三个情境中反映的物理量有什么共同的特点. 情境1　学校位于小明家北偏东60°方向，距离小明家2 000 m.从小明家到学校，可能有长短不同的几条路，无论走哪条路，位移都是向北偏东60°方向移动了2 000 m(如图①). 情境2　某著名运动员投掷标枪时，其中一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速度大小为v＝28.35 m/s(如图②). 情境3　汽车沿倾斜角为θ的坡路向上行驶，汽车的牵引力为F(如图③). 问题导思 提示：三个情境中反映的物理量有位移、速度和力，这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同，在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小又有方向的量还有很多，如加速度、动量等. 向量与数量 1.向量：既有______又有______的量统称为向量. 2.数量：只有______没有______的量称为数量. 新知构建 大小 方向 大小 方向 (1)向量有两个基本要素——“大小”和“方向”，向量由“大小”和“方向”唯一确定.(2)向量有大小，说明向量具有“数”的特点，向量有方向，说明向量具有“形”的特点. 微提醒 给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功； ⑥位移.下列说法正确的是 A.①②③是数量，④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量，①③⑤是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 √ 典例 1 由物理知识可知，密度、路程、质量、功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量.故选D. 向量与数量的联系和区别 　　向量与数量都是有大小的量；向量有方向但不能比较大小，数量无方向但能比较大小. 规律方法 对点练1.下列各量中是向量的为 A.海拔 B.压强 C.重力 D.温度 √ 因为海拔、压强、温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，所以重力是向量.故选C. 返回 任务二　向量的表示方法 返回 问题2.在物理学中，位移、速度和力通常用一条带箭头的有向线段表示，这种表示方法是否可以表示向量呢？ 提示：可以.箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小. 问题导思 新知构建 有向 线段 具有______和长度的线段称为有向线段，如图，以A为起点，B为终点的有向线段，记作____.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作______   向量 的表示 几何 表示 向量可以用_________表示，其中有向线段的长度表示___________，箭头所指的方向表示____________ 字母 表示 向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…(书写)来表示 向量的模 向量a的大小，记作｜a｜，又称作向量的模 方向 ｜｜ 有向线段 向量的大小 向量的方向 向量就是有向线段吗？向量能比较大小吗？向量的模能比较大小吗？ 提示：有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 微思考 (链教材P79例1)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量，，； 解：向量，，如图所示. 典例 2 (2)求｜｜. 解：依题意可知，四边形ABCD为平行四边形，所以｜｜＝｜｜＝200 km. 用有向线段表示向量的步骤 规律方法 对点练2.(1)如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出_______个非零向量. 6 依题意，可得所有非零向量有，，，，，，共有6个. (2)中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中.若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有_______个. 11 如图所示，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个，所以共有11个. 返回 任务三　两类特殊向量 返回 问题3.我们如何定义模为0、模为1个单位长度的向量呢？ 提示：模为0的向量称为零向量；模为1个单位长度的向量称为单位向量. 问题导思 零向量与单位向量 新知构建 零向量 长度为___的向量称为零向量，记作_____，__________都可以作为零向量的方向 单位向量 模等于_____________的向量称为单位向量 0 0或 任何方向 1个单位长度 下列说法中正确的是 A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量的方向都是相同的 C.单位向量都是同方向的 D.单位向量的长度都相等 √ 典例 3 对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误；对于B，零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故C错误；对于D，长度等于1个单位长度的向量称为单位向量，故D正确.故选D. 　　对于单位向量与零向量的概念的判断，要特别注意方向 问题. 规律方法 对点练3.(1)(多选题)关于平面向量，下列说法正确的是 A.向量可以比较大小 B.向量的模可以比较大小 C.若单位向量的起点相同，那么终点在同一个圆上 D.零向量是没有方向的 √ √ 向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，故A错误，B正确，C正确；零向量方向任意，D错误.故选BC. (2)下列说法中正确的是 A.向量的模都是正实数 B.单位向量的方向与大小都相同 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 √ 零向量的模为0，故A不正确；单位向量的大小相同但方向不一定相同，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.故选C. 返回 任务四　向量概念的综合应用 返回 已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地. (1)作出向量，，，； 解：依题意，作出向量，，，，如图所示. 典例 4 (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：依题意，知△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 km， 所以△ACD为等腰直角三角形，则AD＝1 000 km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km. 　　在利用有向线段表示向量时要注意方向和长度单位的选取；在计算模时注意在三角形中解决. 规律方法 对点练4.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)中，画出下列向量. (1)，使＝3，点A在点O的正西方向； 解：因为＝3，点A在点O的正西方向，故向量的图示如下. (2)，使＝3，点B在点O的北偏西45°方向； 解：因为＝3，点B在点O的北偏西45°方向，故向量的图示如下. (3)求出的值. 解： ＝＝3. 返回 课堂小结 任务 再现 1.向量的概念.2.向量的表示方法.3.两类特殊向量(零向量、单位向量). 4.向量概念的综合应用 方法 提炼 数形结合思想方法 易错 警示 零向量和单位向量的方向易混淆 随堂评价 返回 1.下列说法正确的是 A.身高是一个向量 B.∠AOB的两条边都是向量 C.物理学中的加速度是向量 D.物理学中的压强是向量 √ 加速度既有大小又有方向是向量，只有C正确，其他选项都错误. 2.已知向量a如图，下列说法不正确的是 A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M √ 由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确.故选D. 3.(多选题)下列说法正确的是 A.加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 √ √ 对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误；对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确；对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误.故选AC. 4.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是__________________. 西北方向5 km 依题意，画出图形如图所示.由图可知｜｜＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km. 返回 课时分层评价 返回 1.对下面图形的表示恰当的是 A.AB B. C. D. √ 图形有起点、有终点、有方向，可知其代表的是向量.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知点O固定，且｜｜＝2，则点A构成的平面图形是 A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定 √ 因为｜｜＝2，所以点A在以点O为圆心，2为半径的圆上，故点A构成的平面图形是一个圆.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.下列说法正确的是 A.若｜a｜＝｜b｜，则a与b的方向相同 B.物理学中的动量不是向量 C.向量与向量的长度相等 D.有向线段与表示同一向量 √ A错误，由｜a｜＝｜b｜仅说明a与b模相等，但不能说明方向关系；B错误，动量既有大小又有方向，是向量；C正确；D错误，两向量方向不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如果一架飞机向西飞行150 km，再向北飞行350 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 A.s＞ B.s＝ C.s＜ D.s与不能比较大小 √ 由题意知，作图如图所示： 则该飞机由A先飞到B，再飞到C，则AB＝150 km，BC＝ 350 km，a＝，则飞机飞行的路程为s＝500 km，＝ ＝50 km，所以s＞.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.｜e｜＝1是向量e为单位向量的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 单位向量是指模长为1的向量，因此若｜e｜＝1，则e是单位向量；若e是单位向量，则｜e｜＝1.所以｜e｜＝1是向量e为单位向量的充要条件.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)下列说法正确的是 A.向量与向量长度相等 B.起点相同的单位向量，终点必相同 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 √ √ √ 对于A，长度相等，方向相反，故A正确；对于B，单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误；对于C，向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；对于D，向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确.故选ACD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(双空题)如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，，，，中模最大的向量是_______，其长度为_______. 3 由图形，｜｜＝2，｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝，｜｜＝3.所以长度最大为3. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.设点O是△ABC所在平面上一点，若｜｜＝｜｜＝｜｜，则O是△ABC的______心. 外 由｜｜＝｜｜＝｜｜，可得点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以点O是△ABC的外心. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(双空题)一架飞机向北飞行600 km，然后改变方向向西飞行800 km，则飞机飞行的路程为_______ km，位移大小为_______ km. 1 400 1 000 一架飞机向北飞行600 km，然后改变方向向西飞行800 km， 飞机飞行的路程为600＋800＝1 400 km，位移大小为＝ 1 000 km. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)在如图的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)， 用直尺和圆规画出下列向量. (1)，使＝3，点A在点O北偏西45°方向； 解：因为＝3，点A在点O北偏西45°方向，所以以O 为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为点A，画出向量如图所示. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)，使＝2，点B在点O正南方向. 解：因为＝2＝，点B在点O正南方向， 所以以O为圆心，图中OQ为半径画圆，圆弧与OR的交 点即为点B，画出向量如图所示. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.如图，在圆O中，向量，，是 A.有相同起点的向量 B.单位向量 C.模相等的向量 D.模互为相反数的向量 √ 由题图可知，三个向量的起点不同，方向不同，但模长相等，故A、D错误，C正确；不能确定，，的模长是1，故B错误. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)下列说法正确的是 A.＝ B.e1，e2是单位向量，则＝ C.任一非零向量都可以平行移动 D.若＞，则＞ √ √ √ 对于A，向量方向相反，模相等，故A正确；对于B，所有的单位向量的模相等，故B正确；对于C，任一非零向量都可以平行移动，故C正确；对于D，向量的模可以比较大小，而向量不能比较大小，故D错误.故选ABC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.若a0为单位向量，＝3，则可用a0表示＝_______. 3 因为a0为单位向量，所以＝1，又因为＝3，所以＝3. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)中，画出下列向量. (1)，使＝2，点A在点O的正东方向； 解：所求向量如图所示. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)，使＝2，点B在点O的北偏东45°方向； 解：所求向量如图所示. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)求出的值. 解：由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以＝2. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)已知四边形ABCD是矩形，设点集M＝，集合T＝{P，Q∈M且P，Q不重合}，用列举法表示集合T＝________________ _______________________. {，，， ，，，，} 因为T＝{}，M＝，所以T＝{，，，，，，，}. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(1)如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？(除外) 解：每个1×2的矩形中有4个符合要求的向量，这样的矩形共有10个，则共有40个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)如果扩展到3×4的矩形呢？(除外) 解：每个1×3的矩形中有4个符合要求的向量，这样的矩形共有10个，则共有40个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.1　位移、速度、力与向量的概念 返回 $