2.1.1 位移、速度、力与向量的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

1.1　位移、速度、力与向量的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对位移、速度、力等的分析，了解平面向量的实际背景.2.理解平面向量的意义.3.理解平面向量的几何表示和基本要素． 教学重点：1.向量的概念.2.向量的几何表示.3.向量的模、零向量、单位向量． 教学难点：对向量概念的理解． 知识点一　向量的背景与概念 1．向量的背景 位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，和长度、面积、质量等只有大小的量不同． 2．向量与数量 既有大小又有方向的量统称为向量．只有大小没有方向的量称为数量． 知识点二　向量的表示 1．有向线段 (1)有向线段的概念 具有方向和长度的线段称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作. (2)有向线段的长度 线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||． 2．向量的表示 几何表示：向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． 字母表示：向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或a→，b→，c→，…(书写)来表示． 3．向量的模 向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 4．两个特殊的向量 (1)长度为0的向量称为零向量，记作0或，任何方向都可以作为零向量的方向． (2)模等于1个单位长度的向量称为单位向量． 1．向量相关概念的注意点 (1)在用单个小写字母表示向量时，印刷用黑体a，b，c，书写用a→，b→，c→，注意区分． (2)定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向． (3)当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0. (4)要注意0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且有|0|＝0. 2．有向线段与向量的区别和联系 区别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的 联系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有向线段是向量．(　　) (2)向量可以比较大小．(　　) (3)零向量的方向是任意的．(　　) (4)向量的模是一个正数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)若用3 cm表示一个单位向量的长度，则长度为1 cm的向量的模为________． (2)如图所示，已知在边长为a的等边三角形ABC中，E，F分别为边BC，AC的中点，则||＝________． 答案：(1)　(2) 题型一　向量的概念 　下列说法正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 [解析]　零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误． [答案]　B 【感悟提升】　判断向量的依据 判断一个量是不是向量，就是要看它是否同时具备两个要素：大小和方向．只有大小没有方向或只有方向没有大小的量都不是向量．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小．向量与数量的区别也在于数量能比较大小． 【跟踪训练】 1．下列判断中正确的是(　　) ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的模都相等；④任意向量与零向量方向都相同． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 答案：D 解析：由零向量及单位向量的概念知①③④正确．故选D. 题型二　向量的表示 　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．作出向量，，. [解]　向量，，如图所示． 【感悟提升】　向量几何表示的注意事项 (1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． (2)要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验． 【跟踪训练】 2.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字，如图是中国象棋的半个棋盘．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”，试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况． 解：如图(1)(2)(3)． 马在A处有2条路可走，在B处有3条路可走，而在C处有8条路可走，解题时应做到不重不漏． 1．下列各量中可以是向量的是(　　) ①质量；②密度；③距离；④位移；⑤浮力；⑥电流强度；⑦风速；⑧功；⑨温度． A．③④⑤ B．④⑤⑥ C．④⑤⑦ D．⑦⑧⑨ 答案：C 解析：位移、浮力、风速，既有大小又有方向． 2．下列说法正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 答案：D 解析：向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小． 3.如图，在圆O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．方向相同的向量 答案：C 解析：由题图可知，，，三向量方向不同，但长度相等．故选C. 4．圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，∠BAC＝，CD⊥AB于点D，这时||＝________． 答案： 解析：求||即求线段CD的长，如图．因为圆O的周长是2π，所以直径AB＝2.又因为C是圆周上的一点，所以△ACB是直角三角形，且∠ACB＝.由∠BAC＝，得BC＝AB＝×2＝1.所以CD＝BCsin＝1×＝，即||＝. 5.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解：(1)所有的向量如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值，为＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值，为＝. ∴||的最大值为，最小值为. 课后课时精练 一、选择题 1．下列量不是向量的是(　　) A．力 B．速度 C．体积 D．加速度 答案：C 解析：体积只有大小，没有方向，不是向量． 2．汽车以120 km/h的速度向西行驶2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向行驶2 h，则下列命题中正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程 D．以上都不对 答案：C 解析：由向量不能比较大小，可知选C. 3．设O为坐标原点，且||＝1，则动点M的集合是(　　) A．一条线段 B．一个圆面 C．一个圆 D．一段圆弧 答案：C 解析：动点M到原点O的距离等于定长1，故动点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆． 4.如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于1的向量的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：D 解析：以图中各点为起点和终点，长度大于1的向量为，，，，，，共6个．故选D. 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则|a|＝0 B．两个单位向量若起点相同，则终点不一定相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 答案：ABC 解析：由零向量及单位向量的概念知A，B，C正确，D错误． 二、填空题 6．设点O是△ABC所在平面上一点，若||＝||＝||，则点O是△ABC的________心． 答案：外 解析：由||＝||＝||，可得点O到△ABC的三个顶点的距离相等，可见满足||＝||＝||的点O是△ABC的外心． 7．设O是正方形ABCD的中心，则，，，中，模相等的向量有________对． 答案：2 解析：作出正方形ABCD及其中心O，可知和的模相等，和的模相等． 8.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且||＝2，||＝5，则||＝________． 答案：3 解析：如图，过D作DH∥AB，分别交EF，BC于点G，H.∵E，F分别为腰AB，DC的三等分点，∴EF∥AD∥BC.∴G为DH的三等分点．∴GF∥HC且||＝||.∵||＝2，∴||＝||＝2.又||＝5，∴||＝3.∴||＝1.∴||＝||＋||＝2＋1＝3. 三、解答题 9．在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向上； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上． 解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等． 又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示． (2)由于点B在点A正东方向上， 且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，根据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示． 10.如图A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，A3，…，A8及点O中的任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的倍的向量有多少个？ 解：因为A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点， 所以八边形A1A2A3…A8是正八边形． 因为正八边形的边及对角线长均与⊙O的半径不相等， 所以模等于半径的向量只可能是与(i＝1，2，…，8)两类，一类是(i＝1，2，…，8)，有8个；另一类是(i＝1，2，…，8)，也有8个． 两类合计16个，即模等于半径的向量有16个． 因为⊙O内接正方形的边长是半径的倍， 所以应考虑以与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数． 以A1，A2，A3，…，A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8. 因为在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍，所以模为半径的倍的向量共有4×2×2＝16(个)． 11．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：(1)由题意，作出向量，，，，如图所示． (2)由题意知，△ABC是正三角形， ∴AC＝2000 km. 又∠ACD＝45°，CD＝1000 km， ∴△ACD是等腰直角三角形． ∴AD＝1000 km，∠CAD＝45°. ∴D地在A地的东南方向， D地距A地1000 km. 12．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1 m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1 m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1 m，……按此方法继续操作下去． (1)作图说明当α＝45°时，最少操作几次可使赛车的位移为零？ (2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的情况． 解：记出发点为A. (1)当α＝45°时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，赛车所行路程是8 m，最少操作8次可使赛车的位移为零． (2)当α＝120°时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行路程为3 m，操作3次可使赛车回到出发点； 当α＝90°时，如图③，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为4 m，操作4次可使赛车回到出发点； 当α＝60°时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6 m，操作6次可使赛车回到出发点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$