1.8 三角函数的简单应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数的简单应用，通过生活（如水车高度）、物理（如电流变化）及数据拟合实例导入，衔接三角函数概念与实际问题，以典型例题、规律方法总结和对点练习为支架，引导学生构建数学模型解决周期变化问题。 其亮点在于以数学建模为主线，结合数形结合方法，通过古代水车、弹簧振子等实例，培养学生用数学眼光观察周期现象、用数学思维分析问题的核心素养。规律方法步骤化呈现，随堂与分层评价结合，助力学生提升数学运算与建模能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

§8　三角函数的简单应用 　 第一章　三角函数 学习目标 1.会用三角函数解决简单的实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养.　 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型，提升数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　三角函数模型在生活中的应用 1 任务二　三角函数模型在物理中的应用 2 任务三　三角函数模型的拟合 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　三角函数模型在生活中的应用 返回 我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中 记载了水车，水车是古代劳动人民发明的灌溉工具， 体现了中华民族的创造力.如图是水车示意图，其半 径为6 m，中心O距水面3 m，一水斗从水面处的点P0 处出发，逆时针匀速旋转，80 s转动一周，经t秒后， 水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h. (1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数； 典例 1 解：依题意，当t＝0时，以x轴非负半轴为始边，OP0为终边的角是－， 因为80 s转动一周，所以水斗转动的角速度为ω＝＝. 因此，水斗转动t s到点P时的角为ωt＝t，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是t－， 于是得点P的纵坐标为6sin， 则h＝6sin＋3， 所以所求函数关系为h＝6sin＋3(t≥0). (2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？ 解：由(1)令h＝6sin＋3＝0，即sin＝－， 当再次到达水面时，0＜t＜80，t－∈， 所以t－＝，解得t＝ s， 即此水斗经过 s后再次到达水面， 在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是80－＝(s). 解决三角函数的实际应用问题的一般步骤 第1步：审题，理清问题中的已知条件与所求结论； 第2步：建立三角函数模型，将实际问题数学化； 第3步：利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； 第4步：根据实际问题的意义，得出实际问题的解； 第5步：将所得结论返回，转译成实际问题的答案. 规律方法 对点练1.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观 察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图的坐标系中， 轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置， 气针(看作一个点P)到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； 解：过P作x轴的垂线，设垂足为M，如图所示. 又初相为φ，故P的纵坐标y关于时间t的函数解析 式为y＝rsin，t≥0， 因此P的运动周期T＝. (2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象. 解：当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到，如图所示. 返回 任务二　三角函数模型在物理中的应用 返回 已知电流i(单位：A)关于时间t(单位：s)的函数解析式为i＝5sin，t∈[0，＋∞). (1)当t＝2时，求电流i； 解：函数i＝5sin，t∈[0，＋∞)， 当t＝2时，i＝5sin＝5sin ＝A. 典例 2 (2)当t＝m时，电流i取得最大值，写出m的一个值. 解：当t＝m时，电流i取得最大值，则100πm＋＝＋2kπ，k∈N，解得m＝＋，k∈N， 所以m的一个值为. 　　由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数模型，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键. 规律方法 对点练2.(1)(多选题)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(图中h＝0处)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin确定，其中A＞0，ω＞0，t≥0，φ∈.小球从最高点出发，经过0.5 s后，第一次到达最低点，经过的路程为10 cm，则下列说法正确的是 A.ω＝2π B.φ＝ C.小球在t∈内经过的路程为10 cm D.t＝9.75时，小球正在向上运动 √ √ √ 依题意，＝0.5，所以T＝1，所以ω＝＝2π，当t＝0时， 小球位于最高点，则sin φ＝1，φ∈，所以φ＝，故 A、B正确；对于C，由题意A＝5，当t∈，小球经过 一个周期，则其路程为4A＝20，故C错误；对于D，当t＝ 9.75时，由周期性，等价于t＝0.75，此时h＝5sin＝sin 2π＝0，由正弦函数的图象可知，图象自下而上穿过x轴，小球正在向上运动，故D正确.故选ABD. (2)在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上、下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是__________. s1＝s2 当t＝时，s1＝5sin＝5sin ＝－5，s2＝5cos＝5cos π＝－5，所以s1＝s2. 返回 任务三　三角函数模型的拟合 返回 某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表： (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)；②y＝Acos(ωt＋φ)＋b；③y＝－Asin ωt＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； 典例 3 t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 解：根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 结合散点图以及题中所给的三个函数模型可得，应选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，所以A＝＝0.9，b＝＝1.5， 因为T＝＝12，所以ω＝，所以y＝0.9cos＋1.5， 又因为函数y＝0.9cos＋1.5的图象过点(3，2.4)，所以2.4＝0.9cos＋1.5， 所以cos＝1，所以sin φ＝－1，又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－， 所以y＝0.9cos＋1.5＝0.9sin t＋1.5. (2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？ 解：由(1)知y＝0.9sin t＋1.5，令y≥1.05，即0.9sin t＋1.5≥1.05， 所以sin t≥－，所以2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，所以12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 又因为5≤t≤18，则5≤t≤7或11≤t≤18， 所以这一天可以安排5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 处理数据拟合和预测问题的几个步骤 第1步：根据原始数据，绘出散点图； 第2步：通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； 第3步：根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 第4步：利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 规律方法 对点练3.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________________. y＝－4cos t，t≥0 t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 设y＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t，t≥0. 返回 课堂小结 任务再现 1.三角函数模型在生活中的应用.2.三角函数模型在物理中的应用.3.三角函数模型的拟合 方法提炼 数学建模、数形结合 易错警示 注意函数的定义域，尤其是实际意义；注意作结论时应回到实际问题中 随堂评价 返回 1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是 A. B.100 C. D.50 √ T＝＝＝.故选C. 2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同 A.甲 B.戊 C.丙 D.丁 √ 因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期，而乙在最低点，所以经过周期后，乙点与丁点相同.故选D. 3.(多选题)如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈.记水轮上的点P到水面的距离为d米(P在水面下则d为负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：d＝Asin＋k(A＞0，ω＞0)，－＜φ＜，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则 A.k＝5 B.A＝10 C.ω＝ D.k＝10 √ √ √ 由图可知d的最大值为15，最小值为－5，所以解得A＝10，k＝5，故A、B正确，D错误；因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15，所以＝15，得ω＝，故C正确.故选ABC. 4.某地一天0～24时的气温y(单位：℃)与时间t(单位：h)的关系满足函数y＝6sin＋20，则这一天的最低气温是_______℃. 14 因为t∈，所以t－∈，当t－＝－，即t＝2时， ymin＝6sin＋20＝－6＋20＝14. 返回 课时分层评价 返回 1.如图是一个单摆，以平衡位置OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是 A.， B.2， C.，π D.2，π √ 当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.某市一年中的月平均气温y与月份x的关系可近似用函数y＝Acos＋B来表示，已知6月份的月平均气温为28 ℃，12月份的月平均气温为18 ℃，则10月份的月平均气温为 A.17.5 ℃ B.18.5 ℃ C.19.5 ℃ D.20.5 ℃ √ 因为y＝Acos＋B，且所以y＝5cos［(x－6)］＋23，当x＝10时y＝5cos＋23＝20.5，所以10月份的月平均气温为20.5 ℃.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为 A.y＝－sin x B.y＝－cos x C.y＝sin x D.y＝cos x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由噪声的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，可得ω＝＝＝1，A＝1，φ＝，所以噪声的声波曲线的解析式为y＝sin＝cos x，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y＝－cos x.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.如图是一个主体高为1.5 m的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为y＝Asin(A＞0，ω＞0)(x，y的单位：m)，若该游客整个运动过程中相位的变化量为π，则ω的值为 A.π B.π C.2π D.π √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 由旋转滑梯高为1.5 m知，投影到轴截面上后，游 客对应在横轴上移动的距离是1.5 m，当x＝0时， 初相为φ，且游客一直滑到底部，则最后的相位 为1.5ω＋φ，故整个运动过程中，相位的变化量为 1.5ω＋φ－φ＝π，解得ω＝π.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 5.(多选题)如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.5 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下时，d为负数).若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t(单位：s)之间的关系为d＝Asin＋b(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，则 A.A＝4 B.ω＝ C.b＝2.5 D.sin φ＝ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 1 2 对于A，振幅A即为半径，A＝4，故A正确；对于B，筒车按逆时针方向每分钟转2圈，则ω＝＝，故B错误；对于C，b＝＝＝2.5，故C正确；对于D，由t＝0，d＝0，得0＝4sin φ＋2.5，则sin φ＝－＝－，故D错误.故选AC. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 1 2 6.如图，已知某弹簧振子的位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)满足y＝Asin(ωt＋φ)(ω＞0)，初始时将弹簧振子下压至－4 cm后松开，经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次，则在第45 s时，弹簧振子的位移是______ cm. 4 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 1 2 由题意知，A＝4且最小正周期T＝＝2，即＝2， 故ω＝π，所以y＝4sin(πt＋φ)，且4sin φ＝－4，即φ＝ －＋2kπ，k∈Z，不妨令φ＝－，故y＝4sin ＝－4cos πt，当t＝45，则y＝－4cos 45π＝4. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 1 2 7.(开放题)示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M(2，4)和P(6，0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则曲线的解析式可以是______________________________. y＝4sin(答案不唯一) 由题意可设曲线方程为y＝4sin(ωx＋φ).设最小正周期为T.因为＝4，所以T＝16，所以ω＝＝，所以y＝4sin.又曲线经过点M(2，4)，所以×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，所以y＝4sin.(答案不唯一) 6 7 8 9 10 11 12 13 4 5 3 1 2 8.如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面_______米. 35 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 1 2 依题意，设Q距离水平地面的高度h＝Asin＋k，所以A＝50，k＝60，φ＝，＝30，则ω＝，所以h＝50sin＋60＝50cos t＋60， 则h＝50cos＋60＝50cos ＋60＝35. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 1 2 9.(多选题)单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π，其中x表示时间(s)，y表示位移(cm)，A表示振幅，表示频率，φ表示初相.如图甲，某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在[0，3]秒运动时的位移随时间的变化情况.根据秒表记录有：当x＝时，小球第一次到平衡位置；当x＝时，小球的位移第一次到反向最大值.根据图文信息，下列选项中正确的是 A.频率为 B.初相φ＝或 C.振幅A＝10 D.当x＝时，小球第三次到平衡位置 √ √ √ 9 10 11 12 13 8 6 7 4 5 3 1 2 对于A，设最小正周期为T，据题意＝－＝⇒T＝2⇒ω＝π，频率为＝，故A正确；对于B，当x＝时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且｜φ｜＜π，所以sin＝0⇒φ＝，故B错误；对于C，根据图中的信息知(3，－5)在图象上，所以Asin＝－5⇒A＝10，故C正确；对于D，当x＝时，小球第一次到平衡位置，当x＝＋2＝时，小球第三次到平衡位置，故D正确.故选ACD. 9 10 11 12 13 8 6 7 4 5 3 1 2 10.如图，在直角坐标系中，已知圆O是以原点O为圆心，半径长为4 的圆，一个质点在圆O上，以B为始点，沿逆时针方向匀速运动，每3秒 转一圈，则该质点的纵坐标y关于时间t(单位：秒)的函数解析式是__________________________. y＝4sin 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 1 2 依题意，设y＝Asin，(A＞0，ω＞0，≤)，由于每3秒转一圈，故最小正周期为3，则ω＝＝，由于圆O半径为4，故A＝4，又初相为，故φ＝，所以y＝4sin. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 1 2 11.(15分)通常情况下，同一地区一天的温度y(单位：℃)随时间t(单位：h)变化的曲线接近于函数y＝Asin＋b(A＞0，ω＞0，＜π，t∈)的图象.已知2024年7月上旬某地区连续几天最高温度都出现在14∶00，为33 ℃；最低温度都出现在02∶00，为19 ℃. (1)求出该地区一天的温度与时间的函数解析式； 解：依题意，知 所以y＝7sin＋26(ω＞0，＜π，t∈)， 因为＝14－2，得T＝24， 所以＝24，得ω＝， 10 11 12 13 8 6 7 4 5 3 9 1 2 所以y＝7sin＋26(＜π，t∈)， 因为当t＝14时，y＝33，所以33＝7sin＋26，所以sin＝1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为＜π，所以φ＝－， 所以y＝7sin＋26(t∈). 10 11 12 13 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)7月4日该地区高中学校将举行期末考试，考试时间为每天上午7∶40－12∶00，下午14∶30－17∶00，晚上19∶00－20∶15.学校规定：如果温度大于或等于26 ℃，教室就要开空调.请问每天考试期间教室内的空调要开多少时间？ 解：由7sin＋26≥26，得sin≥0， 所以2kπ≤t－≤π＋2kπ，k∈Z，所以2kπ＋≤t≤＋2kπ，k∈Z， 解得24k＋8≤t≤20＋24k，k∈Z，因为t∈，所以8≤t≤20， 因为考试时间为每天上午7∶40－12∶00，下午14∶30－17∶00，晚上19∶00－20∶15， 所以每天考试期间教室内的空调要开4＋2.5＋1＝7.5小时. 10 11 12 13 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.由于受潮汐的影响，某港口一天中各时刻的水位高低相差很大.如图，已知该港口某天从8时至14时的水深y(单位：m)与时刻x的关系可用函数y＝Asin＋b近似刻画，其中A＞0，ω＞0，0＜＜.据此可估计该港口当天9时的水深为 A.8－ B.8－ C.8－ D.8－ √ 11 12 13 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 根据图象可得解得A＝3，b＝8，ω＝，故y＝3sin＋8，当x＝14时，y＝3sin＋8＝11，故×14＋φ＝＋2kπ，k∈Z，进而可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，由于0＜＜，所以φ＝，故y＝3sin＋8，当x＝9时，则y＝3sin＋8＝3sin ＋8＝8－.故选C. 11 12 13 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于 平衡位置的高度h厘米由关系式h(t)＝Asin(ωt＋φ)确定， 其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π.小球从最低点出发，经过2 秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是 A.h(t)＝Asin(πt＋) B.t＝9秒与t＝秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C.当0＜t＜t0时，若小球有且只有三次到达最高点，则t0∈[5，7] D.当0＜t1＜t2＜2时，若t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则sin＝1 √ 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由题可知小球运动的周期T＝2 s，又ω＞0，所以＝2， 解得ω＝π， 当t＝0 s时，Asin φ＝－A，即sin φ＝－1，｜φ｜＜π，所 以φ＝－， 则h(t)＝Asin(πt－)＝－Acos πt，故A错误； 因为h(9)＝－Acos 9π＝A，h()＝－Acos π＝－A， 所以t＝9秒与t＝＝2，故B正确； 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 若0＜t＜t0，则0＜πt＜πt0，又当0＜t＜t0时，小球有且只有 三次到达最高点， 所以5π＜πt0≤7π，解得5＜t0≤7，即t0∈(5，7]，故C错误； 因为h(t)＝－Acos πt，令t1＝，t2＝， 则h(t1)＝－Acos ＝－A，h(t2)＝－Acos ＝A， 满足0＜t1＜t2＜2且t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时sin＝sin π＝0，故D错误.故选B. 返回 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 §8　三角函数的简单应用 返回 $