1.7.3 正切函数的图象与性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦正切函数的图象与性质，通过类比正弦函数作图方法，以问题引导构建知识脉络，帮助学生从已有认知出发，逐步掌握正切曲线绘制及性质探究的学习支架。 其亮点在于任务驱动式设计，结合典型例题与规律方法总结，培养数学抽象和直观想象核心素养，如通过图象分析解不等式、整体代换法应用。易错警示梳理重点，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源与评价工具。

7.3　正切函数的图象与性质 　 第一章　§7　正切函数 学习目标 1.能画出y＝tan x(x∈R， x≠＋kπ， k∈Z)的图象，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及其在区间 (－，)内的单调性，培养数学抽象的核心素养.　 3.能利用正切函数的图象与性质解决简单问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　正切函数的图象 1 任务二　正切函数的性质 2 任务三　正切函数性质的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　正切函数的图象 返回 问题1.类比画正弦函数图象的方法，你能画出函数y＝tan x在的图象吗？你能画出函数y＝tan x的图象吗？ 提示：(1)选取长度为一个周期的连续区间. (2)列表： 问题导思 x － － － 0 y＝tan x － －1 － 0 1 (3)描点：用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y＝tan x在区间上的图象. (4)将所得图象向左右平移，每次平移π个单位长度，即得y＝tan x的图象(如图所示). 正切函数的图象 1.正切函数的图象称作正切曲线，正切曲线各支的渐近线方程为________________. 2.正切函数的图象： 新知构建 x＝＋kπ(k∈Z) 正切函数的图象为什么不是连续的？各支的渐近线为什么是x＝＋kπ(k∈Z)？ 提示：正切函数的定义域为.且周期为π，所以它的图象不连续，且各支的渐近线为x＝＋kπ(k∈Z). 微思考 观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围： (1)tan x＞0； 解：作正切函数y＝tan x的图象如下： 观察图象可知： 当kπ＜x＜＋kπ，k∈Z时，图象位于x轴上方，即tan x＞0， 所以tan x＞0的解集为. 典例 1 (2)tan x＝0； 解：作正切函数y＝tan x的图象如下： 观察图象可知： x＝kπ，k∈Z为正切函数的零点，即tan x＝0， 所以tan x＝0的解集为{x｜x＝kπ，k∈Z}. (3)tan x＜0. 解：作正切函数y＝tan x的图象如下： 观察图象可知： 当－＋kπ＜x＜kπ，k∈Z时，图象位于x轴下方，即tan x＜0， 所以tan x＜0的解集为. 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法 1.作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案. 2.性质法：研究相关函数的性质，排除相关选项，从而确定正确答案. 规律方法 对点练1.(1)如图所示的图形分别是①y＝｜tan x｜；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan｜x｜在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是 A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ √ y＝｜tan x｜≥0，其图象在x轴及其上方，只有图象a符合，即a对应①，易知y＝tan x在内的图象为图象b，即b对应②，故排除B、C选项.y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故排除A选项.故选D. (2)(多选题)与函数y＝tan 的图象不相交的直线的方程是 A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝－ √ √ 令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan 的图象不相交，结合选项可知A、D符合.故选AD. 返回 任务二　正切函数的性质 返回 问题2.我们已经知道y＝tan x是周期为π的奇函数，观察正切曲线，回答下列问题. (1)正切函数是否存在单调递减区间？ 提示：不存在单调递减区间.正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增. 问题导思 (2)正切函数是否存在对称轴？ 提示：不存在对称轴. (3)正切函数是否存在对称中心？若存在，对称中心一定在正切曲线上吗？ 提示：存在对称中心，但对称中心不一定在正切曲线上. 正切函数的性质 新知构建 函数 y＝tan x 图象   定义域 ___________________________ 值域 R 周期性 最小正周期是____ 奇偶性 ____函数 单调性 在每一个区间_________________________上单调递增 对称性 对称轴：无 对称中心：_______________ π 奇 ，k∈Z (k∈Z) 正切函数在定义域内是增函数吗？正切函数是否有最大值、最小值呢？ 提示：不能说正切函数在整个定义域内单调递增，只能说成正切函数在每一个区间(k∈Z)上单调递增，正切函数的图象向上、向下无限伸展没有最大值、最小值. 微思考 (链教材P62例4)设函数f(x)＝tan. (1)作出函数y＝f(x)在一个周期内的图象； 解：令－＝0，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－. 所以函数f(x)＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是 ，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程 分别是x＝－，x＝. 从而得函数y＝f(x)在一个周期内的图象如右： 典例 2 (2)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间. 解：由－≠＋kπ，得x≠＋2kπ(k∈Z)， 所以函数f(x)的定义域是， 因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π， 由－＋kπ＜－＜＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z). 所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z). 所以函数f(x)的定义域是，最小正周期为2π，单调增区间为(k∈Z)，无单调减区间. 解答正切函数图象与性质问题的注意点 1.对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对 称轴. 2.单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增. 3.在判断函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω＜0)的单调性或求单调区间时，要注意首先利用诱导公式把x的系数化为正数. 规律方法 对点练2.(1)函数f(x)＝tan的定义域是 A. B.R C. D. √ 由于正切函数y＝tan x的定义域为，故对于函数f(x)＝tan，令3x－≠＋kπ，k∈Z，则x≠＋，k∈Z，故f(x)＝tan.故选D. (2)(多选题)已知函数f(x)＝tan，则 A.f(x)的最小正周期为4π B.f(x)的图象关于点对称 C.将f(x)的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为y＝tan D.f＞f √ √ 由f(x)＝tan，可得函数f(x)的最小正周期为T＝＝2π，故A错误；由x－＝，k∈Z，可得x＝＋kπ，k∈Z，所以f(x)的图象关于点，k∈Z对称，当k＝0时，可得对称中心为，故B正确；将f(x)的图象向左平移个单位得到f＝tan＝tan的图象，故C错误；f＝tan＝tan ，f＝tan＝tan ，又g(x)＝tan x在x∈(－，)上单调递增，－＜＜＜，所以tan ＞tan ，即f＞f，故D正确.故选BD. 返回 任务三　正切函数性质的综合应用 返回 函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π，且图象关于点M对称. (1)求f(x)的单调区间； 解：依题意，知函数f(x)的最小正周期为T＝＝π， 因为ω＞0，所以ω＝1，所以f(x)＝tan(x＋φ)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以－＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z， 因为0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝tan. 令－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间. 典例 3 (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集. 解：由(1)知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤， 得－＋kπ≤x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以不等式－1≤f(x)≤. 　　正切函数的变换与正弦函数相同，一般根据函数图象的平移变换得到变换后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的相关特征，用整体的观点建立对称轴、对称中心、单调区间等的方程或不等式进行求解. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的单调递减区间； 解：f(x)＝3tan＝－3tan， 由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z. 因为y＝3tan，k∈Z上单调递增， 所以f(x)＝－3tan在(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z上单调递减. 故原函数的单调递减区间为，k∈Z. (2)试比较f与f的大小. 解：f＝3tan＝3tan＝－3tan ， f＝3tan＝3tan＝－3tan ， 因为0＜＜＜，且y＝tan x在上单调递增， 所以tan ＜tan ，所以－3tan ＞－3tan，即f＞f. 教材拓展2　结论：若α是锐角，则sin α＜α＜tan α的应用[源于教材P65B组T1(2)] (1)若α∈，则sin α，cos α，tan α的大小顺序是 A.cos α＜tan α ＜sin α B.tan α＜cos α ＜sin α C.cos α＜sin α ＜tan α D.sin α＜cos α ＜tan α √ 典例 4 当α∈时，＜sin α＜1，0＜cos α＜，tan α＞1，则0＜cos α＜＜sin α＜1＜tan α，则cos α＜sin α ＜tan α.故选C. (2)若α，β，θ∈，且cos α＝tan α，cos β＝β，cos θ＝sin θ，则α，β，θ的大小是 A.α＜θ＜β B.α＜β＜θ C.β＜α＜θ D.β＜θ＜α √ 因为若α，β，θ∈，且cos α＝tan α，cos β＝β， cos θ＝sin θ，若＜α＜，则tan α＞1，cos α＜，显 然不符合题意，若＜β＜时，0＜cos β＜＜＜β， 显然不符合题意，所以0＜α＜，0＜β＜，θ＝，由题意可得，α，β可看成y＝cos x与y＝tan x，y＝x的交点的横坐标， 结合函数的图象可知，α＜β＜＝θ.故选B. 返回 课堂小结 任务再现 1.正切函数的图象.2.正切函数的性质.3.正切函数的性质的综合应用 方法提炼 整体代换法、转化法、数形结合法 易错警示 最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z) 随堂评价 返回 1.函数y＝tan x在一个周期内的大致图象是 √ 由正切函数的图象与性质可知y＝tan x在上单调递增，图象为A. 2.函数y＝tan的最小正周期为 A. B. C. D.π √ 最小正周期T＝.故选A. 3.函数f(x)＝tan的定义域为 A. B. C. D. √ 由题意可知f(x)＝tan需满足2x＋≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋，k∈Z，故函数f(x)＝tan.故选C. 4.比较大小：tan_______tan. ＞ 因为tan＝－tan＝tan ，tan＝－tan＝tan .又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，所以tan ＜tan ，所以tan＞tan. 返回 课时分层评价 返回 1.函数y＝tan的最小正周期为 A.4 B. C.8 D. √ 函数y＝tan的最小正周期为T＝＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数y＝的定义域为 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z √ 依题意1－tan≥0，得tan≤1，所以kπ－＜x－≤kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x≤kπ＋，k∈Z，故所求函数的定义城为，k∈Z.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)＝tan 是 A.最小正周期为4π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为4π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数 √ 对于函数f(x)＝tan ，定义域为，f＝tan＝－tan ＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，其最小正周期T＝＝2π.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则ω·φ·A＝ A. B. C. D. √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 根据题意，由函数的图象，可知f(x)＝Atan(ωx＋φ)的周期为π， 则有＝π，解得ω＝1. 函数f(x)的图象关于点(－，0)对称，而0＜φ＜π， 则φ＝， 又由f(0)＝2，则Atan ＝2，则有A＝2，所以 ω·φ·A＝1××2＝.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知函数f(x)＝tan的单调递增区间是，则φ＝ A. B. C. D. √ 令－＋kπ＜2x－φ＜＋kπ，k∈Z，解得－＋＋kπ＜x＜＋＋kπ，k∈Z，故＋＝且－＋＝－，解得φ＝.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知函数f(x)＝tan，则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的定义域为 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在上单调递增 √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于A，f(x)＝tan的最小正周期为π，故A正确；对于B，由x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，所以f(x)的定义域为，故B正确；对于C，因为f＝tan＝tan ≠0，所以f(x)的图象不关于点对称，故C错误；对于D，由x∈，得x＋∈，因为y＝tan x在上单调递增，所以f(x)在上单调递增，故D正确.故选ABD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数y＝tan 2x，x∈的最大值为________. 当x∈时，2x∈，所以y＝tan 2x在上单调递增，所以当x＝时，y＝tan 2x取得最大值，即ymax＝tan＝. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.(开放题)函数y＝tan x在区间(0，a)上为增函数，则实数a的一个取值可以为________________. (答案不唯一) 因为正切函数y＝tan x的单调递增区间为，k∈Z，又函数y＝tan x在区间(0，a)上为增函数，所以0＜a≤. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间上交点的个数为________. 3 因为当x∈时，tan x＝＞＝sin x，所 以当x∈时，y＝sin x与y＝tan x的图象没有 公共点，画出函数y＝sin x与y＝tan x在区间 内的图象，如图所示，观察图象，由对称性可知 x∈时，y＝sin x与y＝tan x的图象没有公共点，综上，y＝sin x与y＝tan x的图象在区间上有3个交点. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知函数y＝2tan. (1)求函数的最小正周期； 解：依题意，得最小正周期T＝＝2. (2)求方程y＝2的解集. 解：由2tan＝2，得tan＝， 故x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝2k，k∈Z， 故方程的解集为{x｜x＝2k，k∈Z}. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.函数y＝tan的单调减区间是 A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) √ y＝tan＝－tan，令kπ－＜3x－＜kπ＋，k∈Z，解得－＜x＜＋，k∈Z， 所以函数y＝tan(k∈Z).故选D. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)如图，已知函数f(x)＝tan(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象，则 A.ω＝2 B.φ＝ C.f(x)的图象与y轴的交点坐标为 D.函数y＝的图象关于直线x＝对称 √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由图可知，f(x)的最小正周期T＝＝，则ω＝2，故 A正确；由图象可知x＝时，函数无意义，故－φ ＝＋kπ，k∈Z，由0＜φ＜π，得φ＝，即f(x)＝tan ，则f＝－，即f(x)的图象与y轴的交点 坐标为，故B、C错误；由于f＝tan＝0，则f(x)的图象关于点对称，可得函数y＝的图象关于直线x＝对称，故D正确.故选AD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.若a＝tan 48°，b＝tan，c＝tan 114°，则a，b，c的大小关系为____________. a＞b＞c tan 114°＝tan＝tan，因为函数y＝tan x在上单调递增，且－66°＜－22°＜48°，所以tan＜tan＜tan 48°，即a＞b＞c. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)画出函数y＝｜tan x｜的图象. (1)根据图象判断其定义域、单调区间、奇偶性； 解：函数y＝｜tan x｜，化为y＝ k∈Z， 函数y＝｜tan x｜的图象如下： 观察图象知，函数y＝｜tan x｜的定义域为 ； 函数y＝｜tan x｜的递减区间是(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)； 函数y＝｜tan x｜是偶函数. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求不等式｜tan x｜ ≤ 1的解集. 解：由｜tan x｜ ≤ 1，得－1≤tan x≤1，而函数y＝tan x在(－，)上单调递增，且是周期为π的周期函数，于是－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以不等式｜tan x｜ ≤ 1的解集是{x. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是 A.sin A的值越大，梯子越陡 B.cos A的值越大，梯子越陡 C.tan A的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与∠A的三角函数值无关 √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 根据“锐角的正弦、余弦、正切”的定义；对于A，sin A 的值越大，∠A越大，梯子越陡，故A正确；对于B，cos A 的值越大，∠A越小，梯子越缓，故B错误；对于C，tan A 的值越小，∠A越小，梯子越缓，故C错误；对于D，根据 ∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，故D错误.故 选A. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图，已知函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)与函数g ＝cos ωx的部分图象，图中阴影部分的面积为4. (1)求f(x)的定义域(用区间表示)； 解：根据题意可得×1＝4，解得ω＝，则f(x)＝tan x. 由－＋kπ＜x＜＋kπ， 得－2＋4k＜x＜2＋4k， 即f(x)的定义域为. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若h＝3f(x)＋x2－4是定义在上的函数，求关于 x的不等式h≤0的解集. 解：由(1)得h＝3tan x＋x2－4，其定义域为. 关于x的不等式h≤0，即3tan x＋x2－4≤0，即3tan x≤4－x2. 当x∈时，x∈，则3tan x≤0， 因为4－x2＞0，所以3tan x＜4－x2成立. 当x∈时，因为函数y＝3tan x在上单调递增， 函数y＝x2－4在上单调递增，所以h上单调递增， 因为h＝3tan ＋12－4＝0，所以0＜x≤1. 综上，关于x的不等式h≤0的解集为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 7.3　正切函数的图象与性质 返回 $