1.6.2 探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦φ对y=sin(x+φ)及y=sin(ωx+φ)图像的影响，通过问题引导观察图像关系，搭建从y=sinx到含φ形式的学习支架，衔接三角函数图像变换的前后知识脉络。 其亮点在于任务驱动式设计，结合典例、变式探究及“五点法”作图，培养直观想象与逻辑推理素养。通过分层评价和综合应用，帮助学生掌握变换规律，提升数学运算能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

6.2　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 　 第一章　§6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 学习目标 1.结合具体实例，了解y＝sin(ωx＋φ)的实际意义，理解参数φ对函数图象的影响，培养直观想象的核心素养.　 2.掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　 3.理解并掌握函数y＝sin(x＋φ)的性质及其应用，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 1 任务二　φ对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 2 任务三　函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 返回 问题1.观察图中给出的函数y＝sin x，y＝sin(x－)的图象，你能找出两图象的关系吗？两函数的周期相同吗？ 提示：把y＝sin x的图象向右平移个单位，即可得到y＝sin的图象，把y＝sin个单位即可得到y＝sin x的图象，两函数的周期相同. 问题导思 φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 1.函数y＝sin(x＋φ)与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点(0，0)平移到了点___________. 2.函数y＝sin(x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点______(φ＞0)或______(φ＜0)平移________个单位长度得到的. 新知构建 (－φ，0) 向右 向左 ｜φ｜ 函数图象的左右平移只改变图象在坐标系中的位置，不改变图象的形状. 微提醒 函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解：函数y＝sin的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的. 典例 1 变式探究 (变条件)若将本例中y＝sin改为y＝cos，其他不变，又该怎样变换？ 解：y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的. 　　对于函数y＝sin x与y＝sin(x＋φ)之间的图象变换称为相位变换，它实质上是一种左右平移变换，遵循的平移变换原则是“左加右减”，不改变函数的周期. 规律方法 对点练1.(1)要得到函数y＝sin的图象，只需要将函数y＝sin x的 图象 A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向上平移1个单位长度 D.向下平移1个单位长度 √ 要得到函数y＝sin的图象，只需要将函数y＝sin x的图象向左平移1个单位长度.故选A. (2)(多选题)要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝sin的图象 A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 √ √ 假设将函数y＝sin的图象平移｜φ｜个单位长度可得到y＝sin x的图象，则平移后的解析式为y＝sin＝sin，根据题意只需满足φ－＝2kπ，k∈Z即可，故k＝0时，φ＝，即向左平移个单位长度，故A符合；当k＝－1时，φ＝－，即向右平移个单位长度，故D符合.故选AD. 返回 任务二　φ对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 返回 问题2.在同一坐标系下画出y＝sin 2x和y＝sin的函数图象如图所示，你能由y＝sin 2x的图象得到函数y＝sin的图象吗？ 提示：可以发现，y＝sin 2x与y＝sin有相同的周期且形状相同，将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象. 问题导思 φ对y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的影响 1.函数y＝sin(ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点(0，0)平移到点__________.函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点______(φ＞0)或______(φ＜0)平移个单位长度得到的. 2.在函数y＝sin(ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称____为初相，_________为相位. 新知构建 向左 向右 φ ωx＋φ 周期变换与左右平移变换的顺序对平移量的影响：若周期变换在左右平移变换之前，即y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)，则左右平移的量为；若左右平移变换在周期变换之前，即y＝sin x→y＝sin(x＋φ)，则平移的量为｜φ｜. 微提醒 已知函数y＝sin. (1)利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； 解：令X＝x＋，则x＝2X－. 先列表，后描点并画图. 典例 2 X 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 (2)由y＝sin x的图象如何得到y＝sin的图象. 解：因为y＝sin＝sin ，即把sin x中的x换成， 即可得到y＝sin， 所以把y＝sin x的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象. 1.由y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的两种方法 2.x轴上的伸缩变换即把x换成ωx，x轴上的平移变换即把x换成x±φ(φ＞0，左“＋”右“－”). 规律方法 对点练2.(1)将函数f(x)＝sin πx的图象向左平移个最小正周期的单位长度后得到函数g的图象，则g＝ A.sin B.sin C.sin D.sin √ 因为f(x)＝sin πx的最小正周期为T＝＝2，所以×2＝，所以g＝sin π＝sin.故选A. (2)(多选题)为了得到函数y＝sin的图象，只要把函数y＝sin x的图象 ①向左平移个单位；②向左平移个单位；③将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍；④将图象上每一点的横坐标变为原来的. A.①④ B.①③ C.④② D.④① √ √ 将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再将函数y＝sin，得到y＝sin的图象，故A正确；将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再将y＝sin图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin的图象，故B错误；将y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象，故C正确；将y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象，故D错误.故选AC. 返回 任务三　函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 返回 设函数f(x)＝sin，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； 解：最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z). 典例 3 (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 解：令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤， 所以当t＝即x＝时，ymin＝－， 所以当t＝即x＝时，ymax＝1. 1.关于函数y＝sin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 (1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝sin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴. (2)若函数y＝sin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ，k∈Z；若函数y＝sin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z.函数y＝sin(ωx＋φ)为奇(偶)函数的实质就是函数的对称中心(对称轴)的特殊情况. 规律方法 2.求函数y＝sin(ωx＋φ)的单调区间的步骤 第一步：将ω化为正值； 第二步：将ωx＋φ看作一个整体，代入到相应的单调区间中解出x的范围即为函数的单调区间； 第三步：如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值 即可. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)＝sin. (1)请用“五点法”列表并画出函数f(x)在[0，π]上的图象； 解：列表如下： 描点，作函数f(x)在[0，π]上的图象如图. 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 0 －1 0 (2)若函数y＝f(x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的单调增区间. 解：函数y＝f(x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin，再向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin， 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z). 所以y＝g(x)的单调增区间为(k∈Z). 返回 课堂小结 任务再现 1.φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响.2.φ对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响.3.函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 方法提炼 数形结合法、五点(画图)法、转化与化归 易错警示 “五点(画图)法”作图及五点的选取；在研究y＝sin(ωx＋φ)的性质时，注意整体代换 随堂评价 返回 1.函数y＝sin的相位和初相分别是 A.－2x＋， B.2x－，－ C.2x＋， D.2x＋， √ y＝sin＝sin＝sin，故相位和初相分别为2x＋，.故选C. 2.为了得到函数y＝cos的图象，只需将余弦函数y＝cos x图象上 各点 A.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 √ 把y＝cos x上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象.故选D. 3.已知函数y＝3sin 2x的图象为C，为得到函数y＝3sin的图象，只需把C上的所有点 A.纵坐标不变，横坐标向左平移个单位 B.纵坐标不变，横坐标向右平移个单位 C.纵坐标不变，横坐标向左平移个单位 D.纵坐标不变，横坐标向右平移个单位 √ 因为y＝3sin＝3sin，为得到函数y＝3sin的图象，只需把C上的所有点纵坐标不变，横坐标向左平移个单位.故选A. 4.函数y＝sin，x∈的单调递增区间为__________. 因为x∈，所以x＋∈，因为y＝sin x在上单调递增，所以－≤x＋≤，解得－π≤x≤. 返回 课时分层评价 返回 1.函数y＝sin在区间上的简图是 √ 当x＝0时，y＝sin ＝－＜0，故可排除B，D；当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，故可排除C.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝sin的一个单调递增区间可以是 A. B. C. D. √ 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，即函数f(x)＝sin，k∈Z，故A、B、C错误，D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.要得到函数y＝sin的图象，只需将y＝sin 2x的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 √ 由y＝sin＝sin 2，将y＝sin 2x向右平移个单位即可得到y＝sin的图象.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数y＝sin的图象为C，为了得到函数y＝sin的图象，只要把C上所有的点 A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 √ 易知y＝sin个单位长度可得y＝sin＝sin.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.要得到函数y＝sin 2x的图象，只要将函数y＝cos的图象 A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 √ y＝cos＝sin＝sin＝sin，所以将函数y＝cos个单位即得函数y＝sin 2x的图象.故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知函数f(x)＝sin，则 A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)在上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝对称 D.f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到 √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 f(x)的最小正周期为＝2π，故A正确；当x∈时，x－∈⊆，f(x)在上单调递增，故B正确；f＝sin 0＝0，f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选ABD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(双空题)为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin 2x图象上所有的点向_______(左、右、上、下)平移_______个单位长度. 右 由于函数y＝3sin＝3sin 2，故为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数y＝sin x＋1的图象可由函数y＝sin＋1的图象至少向右平移________个单位长度得到. 因为y＝sin x＋1＝sin＋1，k∈Z，所以函数y＝sin x＋1的图象可由函数y＝sin＋1的图象至少向右平移个单位长度得到. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知φ∈，若函数f(x)＝sin的图象关于直线x＝对称，则φ的值为_______. － 因为函数f(x)＝sin的图象关于直线x＝对称，所以3×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又φ∈，所以φ＝ －. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)将函数y＝sin 2x向右平移个单位得到函数y＝f(x). (1)求y＝f(x)的解析式； 解：依题意，知f(x)＝sin 2＝sin. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)用“五点法”作出函数y＝f(x)在一个周期内的函数图象. 解：列表： 描点连线： 2x－ 0 π 2π x f(x) 0 1 0 －1 0 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.将函数f(x)＝sin x图象上的所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象向左平移后得函数g的图象，则函数g的解析式为 A.g＝sin B.g＝sin C.g＝sin D.g＝sin √ 将函数f(x)＝sin x图象上的所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象，再将图象向左平移后得函数g的图象，即g＝sin 2＝sin.故选D. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知函数g＝cos，则下列说法正确的是 A.g的最小正周期为π B.g在区间上单调递减 C.x＝－是函数g图象的一条对称轴 D.g的图象关于点对称 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，g的最小正周期为T＝＝＝π，故A正确；对于B，由0≤x≤，得≤2x＋≤，从而≤2x＋≤π即0≤x≤时，g单调递减，故B不正确；对于C，g＝cos＝cos 0＝1，所以x＝－是函数g图象的一条对称轴，故C正确；对于D，g＝cos＝cos＝0，所以g对称，故D正确.故选ACD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(开放题)已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin 2x的图象平移φ个单位得到，这两个函数的部分图象如图，则φ可以为_________________________ _____________. (答案不唯一，满足＋kπ， k∈Z即可) f(x)＝sin 2x的图象在y轴的右侧的第一个对称轴为2x＝，即x＝，点关于x＝，由图象可得，通过向右平移之后，点，故φ＝－＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知f(x)＝sin x. (1)已知函数y＝sin，请说明此函数图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的； 解：法一(先平移法)： 第一步：把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象； 第二步：把y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 法二(先伸缩法)： 第一步：把y＝sin x的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin x的图象； 第二步：把y＝sin x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求函数y＝f，x∈的单调减区间. 解：由f(x)＝sin x，得y＝f＝sin，x∈； 由0≤x≤，得≤2x＋≤， 令≤2x＋≤，解得≤x≤；故单调减区间为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)将函数f(x)图象上所有的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将所得函数图象上所有点都向右平移个单位长度，得到函数g＝cos 2x的图象，则f(x)＝ A.sin B.sin C.sin D.sin √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 依题意，将g＝cos 2x的图象上所有点都向左平移个单位长度，得到y＝cos 2＝cos的图象，再将所得函数图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象，而y＝cos＝sin＝sin，即f(x)＝sin.故选D. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(开放题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，__________. ①函数f(x)的图象关于直线x＝对称；②函数y＝f的图象关于原点对称；③函数f(x)在上单调递减，在上单调递增. 请在三个条件中任选一个：补充在上面的问题中，并加以解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求函数f(x)的解析式； 解：若选①，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则2×＋φ＝＋kπ，k∈Z， 则φ＝＋kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，所以φ＝，所以函数解析式为f(x)＝sin. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 若选②，函数y＝f＝sin的图象关于原点对称， 则－＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z， 因为｜φ｜＜，所以φ＝， 所以函数解析式为f(x)＝sin. 若选③，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 则函数f(x)在x＝－时取得最小值，则f＝sin＝－1， 则2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为｜φ｜＜，所以φ＝， 所以函数解析式为f(x)＝sin. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在的 值域. 解：由题意可得，函数g(x)＝sin， 因为x∈，所以x－∈， 所以x－＝－时，g(x)min＝sin＝－1；x－＝时，g(x)max＝sin ＝； 所以函数g(x)在. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 6.2　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 返回 $