1.6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数y=sinωx中ω对图像的影响，通过“五点法”对比y=sinx与y=sin2x图像，建立新旧知识联系，以学习支架形式引导学生从已知y=sinx过渡到探究ω的作用。 其亮点是以任务驱动（图像探究、伸缩变换、综合应用）为主线，结合直观想象（图像伸缩变换）、逻辑推理（周期公式推导）、数学运算（五点法列表与周期计算），典例与对点练结合，随堂与分层评价巩固。帮助学生提升核心素养，教师可高效开展教学。

6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 　 第一章　§6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 学习目标 1.结合具体实例，理解函数y＝sin ωx中ω对图象的影响，培养直观想象的核心素养.　 2.掌握y＝sin x与y＝sin ωx图象间的变换关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　 3.理解并掌握函数y＝sin ωx的性质及其应用，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　ω对y＝sin ωx的图象的影响 1 任务二　图象上横坐标的伸缩变换问题 2 任务三　函数y＝sin ωx的图象与性质的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　ω对y＝sin ωx的图象的影响 返回 问题1.如何用“五点法”画出函数y＝sin 2x和y＝sin x一个周期上的图象？ 提示： (1)结合函数y＝sin x在一个周期上的五个关键点列表， 画出函数y＝sin 2x在一个周期[0，π]上的图象，如图所示. 问题导思 2x 0 π 2π x 0 π y＝sin 2x 0 1 0 －1 0 (2)结合函数y＝sin x在一个周期上的五个关键点列表， 画出函数y＝sin x在一个周期[0，6π]上的图象，如图所示. x 0 π 2π x 0 3π 6π y＝sin x 0 1 0 －1 0 ω对y＝sin ωx的图象的影响 　　对于ω＞0，有sin ωx＝sin(ωx＋2π)＝sin ω.根据周期函数的定义，T＝_____是函数y＝sin ωx的最小正周期.通常称周期的倒数＝为______，记作f. 新知构建 频率 (1)ω决定了函数y＝sin ωx的周期和频率，也决定了函数y＝sin ωx图象的形状.(2)ω主导横向伸缩变换，也叫周期变换. 微提醒 (链教材P43例1)求函数y＝sin x的周期和频率，并画出在一个周期上的图象. 解：法一：由y＝sin x的周期性可知，sin x＝sin＝sin ，根据周期函数的定义，y＝sin x是周期函数，π是它的最小正周期.f＝＝. 典例 1 法二：T＝＝，f＝＝. 在函数y＝sin x五个关键点的基础上，列表： x 0 π 2π x 0 π y＝sin x 0 1 0 －1 0 由此得到函数y＝sin x的五个关键点为(0，0)，，，(π，－1)，. 描点连线，并用光滑曲线顺次将它们连接起来，就画出函数y＝sin x在一个周期上的图象(如图). 五点(画图)法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法 1.分别令ωx＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体代换思想. 2.取ωx0＝0，得x0＝0，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加个周期，就可得到其余四个点的横坐标. 规律方法 对点练1.用五点法画出函数y＝sin x在一个周期上的图象，并指出这个函数的周期和频率. 解：①列表： ②描点：(0，0)，(3π，1)，(6π，0)，(9π，－1)，(12π，0). x 0 π 2π x 0 3π 6π 9π 12π y 0 1 0 －1 0 ③连线：并用光滑曲线顺次将它们连接起来，就画出y＝sin x在一个周期上的图象(如图). 周期T＝＝12π.f＝＝. 返回 任务二　图象上横坐标的伸缩变换问题 返回 问题2.比较问题1中函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的图象，指出由y＝sin x的图象怎样变换得到y＝sin 2x和y＝sin x的图象？ 提示：把y＝sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，就得到y＝sin 2x的图象.把y＝sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，就得到y＝sin x的图象. 问题导思 　　函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标______到原来的____ (当ω＞1时)或______(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到的. 新知构建 缩短 伸长 (1)为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的 A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 √ 典例 2 ω＝4＞1，因此只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.故选B. (2)函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为 A. B.4 C. D.2 √ 所求的解析式为y＝sin x＝sin ωx，故ω＝.故选C. 由y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换方法 　　把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin ωx的图象. 规律方法 对点练2.(1)要得到函数f(x)＝cos 2x，x∈R的图象，只需将函数g＝cos x，x∈R的图象 A.所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变 B.所有点横坐标缩小，纵坐标不变 C.所有点纵坐标缩小，横坐标不变 D.所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变 √ 根据函数图象伸缩变换规则，g＝cos x图象所有点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的即可得到f(x)＝cos 2x.故选B. (2)为了得到y＝cos 的图象，只需把y＝cos x的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标__________________. 伸长到原来的4倍 由已知，x的系数ω从1变为，三角函数周期变为原来的4倍，根据函数图象的变换规律，将函数y＝cos x的图象上所有的点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝cos 的图象. 返回 任务三　函数y＝sin ωx的图象与性质的综合应用 返回 已知函数f(x)＝sin x. (1)试写出由函数y＝sin x得到函数f(x)＝sin x的图象的变换过程并求出其周期； 解： 由函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标都缩短为原来的，纵坐标不变，得到f(x)＝sin x的图象，且T＝＝4. 典例 3 (2)求f(x)的单调递增区间； 解：令2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，得4k－1≤x≤4k＋1，k∈Z， 即单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z. (3)求f(x)的对称轴. 解：令x＝kπ＋，k∈Z，得x＝2k＋1，k∈Z，所以对称轴为x＝2k＋1，k∈Z. 关于函数y＝sin ωx的性质 1.最小正周期T＝. 2.解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体法，令u＝ωx，结合三角函数的性质求解. 3.y＝sin ωx为奇函数. 规律方法 对点练3.(1)(多选题)已知f(x)＝cos 2x，则 A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期是π C.f(x)图象的一个对称中心是 D.f(x)在上单调递增 √ √ √ 对于A，因为f(x)＝cos 2x，定义域为R，f＝cos＝cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；对于B，函数f(x)的最小正周期为＝π，故B正确；对于C，f＝cos ＝0，所以是f(x)图象的一个对称中心，故C正确；对于D，令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故D错误.故选ABC. (2)函数y＝2sin的最小正周期为_____. 4 由诱导公式sin＝cos x，所以T＝＝＝4，y＝2sin的最小正周期为4. 返回 课堂小结 任务再现 1.ω对y＝sin ωx的图象的影响.2.图象上横坐标的伸缩变换问题.3.函数y＝sin ωx的图象与性质的综合应用 方法提炼 五点(画图)法、数形结合法、转化与化归思想 易错警示 “五点(画图)法”作图及五点的选取；在研究y＝sin ωx的性质时，注意整体代换 随堂评价 返回 1.用五点法作y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是 A.0，，π，，2π B.0，，，，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， √ 分别令2x＝0，，π，π，2π，可得x＝0，，，，π.故选B. 2.函数y＝sin的频率是 A. B.－ C.6 D.－6 √ 因为T＝＝6，所以f＝＝.故选A. 3.函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为 A.2 B. C.4 D. √ 把函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为y＝cos x，故ω的值为.故选B. 4.函数y＝sin x取得最大值时对应的x的集合为______________________. {x｜x＝4kπ＋π，k∈Z} 当x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值，即x＝4kπ＋π，k∈Z，故x的集合为{x｜x＝4kπ＋π，k∈Z}. 返回 课时分层评价 返回 1.函数y＝sin x，x∈[－π，3π]的图象是 √ 令x＝0，则y＝0，排除C和D；令x＝π，则y＝1，排除B.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝sin x，x∈R是 A.最小正周期为3的奇函数 B.最小正周期为3π的偶函数 C.最小正周期为6的奇函数 D.最小正周期为6π的偶函数 √ 因为f(－x)＝sin＝－sin x＝－f(x)，所以函数为奇函数，最小正周期T＝＝6.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.要得到y＝sin 2x的图象，只需把y＝－cos图象上所有点的 A.横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B.横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C.纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D.纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 √ 因为y＝－cos＝sin x，所以要得到y＝sin 2x的图象，只需把y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数y＝sin ωx在区间(－，)内是减函数，则 A.0＜ω≤1 B.－1≤ω＜0 C.ω≥1 D.ω≤－1 √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 因为y＝sin x在区间(－，)内是增函数， 而y＝sin ωx在区间(－，)内是减函数， 所以ω＜0. 因为－＜x＜，所以ω＜ωx＜－ω， 所以解得ω≥－1. 综上，－1≤ω＜0. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)已知函数f(x)＝sin 2x＋1，则 A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的最小值为－1 C.x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴 D.f(x)不是奇函数 √ √ √ 易知T＝＝π，故A正确；因为－1≤sin 2x≤1，则0≤sin 2x＋1≤2，所以f(x)min＝0，故B错误；当x＝时，则2×＝，由正弦函数的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，故C正确；对于D，因为f＝sin＋1＝－sin 2x＋1≠－f(x)，y＝f(x)不是奇函数，故D正确.故选ACD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.已知f(x)＝sin ωx，f＝－1，f＝1，＝，则 ω＝ A.1 B.2 C.3 D.4 √ f(x)＝sin ωx的最大值为1，最小值为－1，设f(x)＝sin ωx的最小正周期为T，又f＝－1，f＝1，＝，ω＞0，故＝＝，即＝，解得ω＝4.故选D. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数y＝sin x的最小正周期不大于4，则正整数k的最小值为________. 4 依题意，知T＝＝≤4，所以k≥π，又k∈N＋，所以k的最小值为4. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数f(x)＝2sin的图象与直线y＝x的交点个数为________. 3 f(x)＝2sin的最小正周期为T＝＝2，且f(x)＝2sin∈，画出函数f(x)＝2sin和y＝x的图象，如图所示， 根据图象知有3个交点. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x).若g＝，则f的值为________. 因为f(x)的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝Asin 2x，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x，因为g＝，所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝2sin ＝2×＝. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)函数y＝sin x的周期是多少？它的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？ 解：函数y＝sin x的周期为＝，函数y＝sin x的图象，可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)而得 到的. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝sin πx，则下列命题中正确的是 A.y＝f(x)是最小正周期为1的函数 B.y＝f(x)是最小正周期为2的函数 C.y＝f(x)是最小正周期为的函数 D.y＝f(x)是最小正周期为π的函数 √ 由f(x)＝sin πx可得函数f(x)的最小正周期为T＝＝2.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.下列函数中，周期是π，又是奇函数的是 A.y＝sin x B.y＝cos 2x C.y＝sin 2 D.y＝sin 2x √ 对于A，y＝sin x周期是2π，故A错误；对于B，y＝cos 2x周期是＝π，因为cos(－2x)＝cos 2x，所以y＝cos 2x是偶函数，故B错误；对于C，因为y＝sin 2＝sin＝cos 2x，所以周期是＝π且为偶函数，故C错误；对于D， y＝sin 2x周期是π，又是奇函数，故D正确.故选D. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间上的图象至少有3个最低点，则正整数t的最小值是______. 9 此波形的函数y＝－sin x的最小正周期为T＝＝4.函数y＝－sin x在区间上单调递减，在区间上单调递增，如图所示. 所以要在区间上至少有3个最低点，则正整数t的最小值为9. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝asin 2x＋b，且f(0)＝1，f＝2. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解：因为函数f(x)＝asin 2x＋b，所以T＝＝π. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值. 解：因为f(0)＝1，所以asin 0＋b＝1，即b＝1. 又f＝2，所以asin ＋b＝2，可得a＝1.所以f(x)＝sin 2x＋1； 由x∈[0，π]，所以2x∈[0，2π]. 由正弦函数单调性可知当2x＝，即x＝时，sin 2x取最小值－1， 此时f(x)＝sin 2x＋1取最小值－1＋1＝0； 即f(x)的最小值为0，此时x＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(创新题)设ω＞0，f(x)＝sin ωx，若函数y＝f(x)，x∈的最大值为1，但最小值不为－1，则实数ω的取值范围是_______. 当x∈时，ωx∈，由题意可知，解得1≤ω＜. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0). (1)若至少存在两个x0∈，使得f(x0)＝1，求实数ω的取值范围； 解：由题意知，f(x)的图象在上至少有两个最高点. 因为x0∈，ω＞0，所以ωx0∈，因此＞，解得ω＞5， 故实数ω的取值范围为(5，＋∞). 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若f(x)在上单调递增，且存在m∈，使得f(m)＜0，求ω的取值集合. 解：依题意，得－π≤×，又ω＞0，所以0＜ω≤. 当m∈时，ωm∈，又∃m∈，f(m)＜0， 所以2kπ－≤ωπ＜2kπ(k∈Z)，即2k－≤ω＜2k(k∈Z). 当k≤0或k≥2时，∩＝∅. 当k＝1时，≤ω＜2，又0＜ω≤，则ω＝. 故ω的取值集合为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 返回 $