1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦余弦函数的图像与性质，通过类比正弦函数，引导学生用五点法及诱导公式平移作图像，搭建从正弦到余弦的知识迁移支架，系统呈现图像绘制、性质分析及单调性应用等核心内容。 其亮点在于融合直观想象与数学运算核心素养，通过典例解析、规律方法总结及分层评价，以数形结合思想帮助学生理解对称性、周期性等性质，提升解题能力，为教师提供结构化教学资源，助力高效课堂实施。

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 　 第一章　§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.能利用正弦函数的图象或五点(画图)法画余弦函数的图象，培养直观想象的核心素养.　 2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值，提升数学运算的核心素养.　 3.借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质，提升直观想象的核心素养. 内容索引 任务一　余弦函数的图象 1 任务二　余弦函数性质的再认识 2 任务三　余弦函数单调性的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　余弦函数的图象 返回 问题1.类比正弦曲线的作法，作出余弦函数y＝cos x的图象. 提示：在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π列表(如表). 问题导思 x 0 y＝cos x 1 0 － － 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝cos x性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[0，2π]上y＝cos x的图象(如图). x π 2π y＝ cos x －1 － － 0 1 由周期性可知，函数y＝cos x在区间[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象(如图). 问题2.类比正弦曲线的“五点(画图)法”，余弦函数y＝cos x的图象有哪五个关键点？ 提示：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 1.余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线. 2.要画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出(0，1)，_，(π，－1)，，__________五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象. 新知构建 (2π，1) 3.根据诱导公式sin＝cos x可知，只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向____平移____个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). 左 (链教材P35例4)画出下列函数的大致图象： (1)y＝2cos x－1，x∈； 解：y＝2cos x－1，x∈. 列表如下： 描点，作出图象，如图所示. 典例 1 x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝2cos x－1 1 －1 －3 －1 1 (2)y＝，x∈R. 解：函数y＝cos x的图象如下图所示： 函数y＝的图象可由函数y＝cos x在x轴下方的图象沿x轴翻折得到，如下图所示. “五点(画图)法”画余弦函数图象的三个步骤 规律方法 对点练1.用“五点法”画出函数y＝1－cos x在上的图象. 解：按五个关键点列表： 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y＝1－cos x在上的图象(如图). x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝1－cos x 0 1 2 1 0 返回 任务二　余弦函数性质的再认识 返回 问题3.由cos(－x)＝cos x，得余弦函数y＝cos x是偶函数，所以余弦曲线关于y轴对称，即y轴是余弦曲线的对称轴.观察余弦曲线，探究下面的问题. (1)除y轴外，余弦曲线还有其他对称轴吗？如果有，那么对称轴如何 表示？ 提示：y＝cos x还有其他对称轴，对称轴表示为x＝kπ(k∈Z). 问题导思 (2)余弦函数是中心对称图形吗？如果是，对称中心的坐标是什么？ 提示：余弦函数是中心对称图形，对称中心的坐标为(k∈Z). 余弦函数的图象与性质 新知构建 函数 y＝cos x，x∈R 图象   定义域 R 周期性 是周期函数，_____为最小正周期 2π 单调性 在区间_________________________上单调递增； 在区间_________________________上单调递减 最大(小) 值和值域 当x＝___________时，ymax＝1； 当x＝_______________时，ymin＝－1. 值域是____________ 奇偶性 ____函数，图象关于_____对称 对称性 对称轴：x＝__________ 对称中心：，k∈Z [2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ，k∈Z 2kπ＋π，k∈Z [－1，1] 偶 y轴 kπ，k∈Z 同正弦曲线一样，余弦曲线的对称轴过其最高点或最低点，对称中心是其与x轴的交点.注意不要混淆正、余弦曲线的对称轴和对称 中心. 微提醒 (1)函数f(x)＝的定义域为 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z √ 典例 2 函数f(x)＝有意义，则1－2cos x≥0，即cos x≤，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)＝，k∈Z.故选B. (2)函数f(x)＝2cos x－1，x∈的值域是______________. 因为f(x)＝2cos x－1在x∈上单调递减，所以f(x)＝2cos x－1，x∈，即，即. 求值域或最大值、最小值问题的依据 1.cos x的有界性. 2.cos x的单调性. 3.化为cos x＝f(y)，利用｜f(y)｜≤1来确定. 4.通过换元转化为二次函数. 规律方法 对点练2.(1)函数y＝lg 的定义域为 A. B. C. D. √ 依题意，知cos x－＞0，即cos x＞，解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，故函数的定义域为.故选B. (2)已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是______. 6 因为函数y＝4cos x在区间上单调递减，当x＝时，y＝4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2，当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6. 返回 任务三　余弦函数单调性的应用 返回 (1)若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为 A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.b＞a＞c D.c＞b＞a √ 典例 3 依题意，知sin 47°＝sin(90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在［0，］上单调递减，且0°＜37°＜43°＜47°＜90°，所以cos 37°＞cos 43°＞cos 47°，即b＞a＞c.故选C. (2)函数y＝3－2cos x的单调递增区间为_____________________. [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反，由y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，得y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). 1.形如y＝acos x＋b(a≠0)函数的单调区间 (1)当a＞0时，其单调性与y＝cos x的单调性一致. (2)当a＜0时，其单调性与y＝cos x的单调性相反. 2.比较大小 (1)同名三角函数比较大小，若两角不在同一个单调区间上时，应先用诱导公式转化到同一个单调区间上，再用单调性比较大小. (2)非同名三角函数比较大小，利用诱导公式化为同名三角函数比较大小. 规律方法 对点练3.(1)函数y＝2cos x，当x∈时， A.在区间上单调递增，在区间上单调递减 B.在区间上单调递增，在区间上单调递减 C.在区间[0，π]上单调递增，在区间，上单调递减 D.在区间，上单调递增，在区间[0，π]上单调递减 √ 函数y＝2cos x在上单调递增，在[0，π]上单调递减，在上单调递增，故D正确；对于A，由⊆[0，π]，得y＝2cos x在上单调递减，故A错误；对于B，函数y＝2cos x在上不单调，故B错误；对于C，函数y＝2cos x在[0，π]上单调递减，故C错误.故选D. (2)比较大小cos _______cos .(用＞或＜填空) ＜ cos＝cos ＝cos＝－cos ，cos ＝cos＝－cos ，因为函数y＝cos x在上是减函数，且0＜＜＜，所以cos ＞cos ，所以－cos ＜－cos ，所以cos＜cos . 教材拓展1　sin x与cos x的大小比较(源于教材P40B组T2) (1)在内，使sin x＞的x的取值范围是 A. B.∪ C. D. 典例 4 √ 画出y＝sin x 以及y＝ 的图象，如图所示， 由图可知，x∈.故选A. (2)(双空题)当0≤x≤2π时，不等式cos x＋sin x＜0的x值的集合为________；当x∈R时，不等式sin x＞cos x的x值的集合为__________________________. 因为cos x＋sin x＜0，即cos x＜－sin x，可知y＝cos x的图象在y＝－sin x的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝cos x，y＝－sin x的图象，如图所示，由图象可得＜x＜，所以不等式的解集为. y＝cos x，y＝sin x在同一坐标系中的图象如图：当x∈R时，由正弦、余弦函数的周期性知：若sin x＞cos x，则所求集合为 . 返回 课堂小结 任务再现 1.余弦函数的图象.2.余弦函数的性质.3.余弦函数单调性的应用 方法提炼 五点(画图)法、数形结合思想、转化与化归思想 易错警示 “五点(画图)法”作图及五点的选取；单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视cos x本身具有的范围 随堂评价 返回 1.函数f(x)＝cos x的最小正周期是 A.π B.2π C.3π D.4π √ 因为cos(x＋2π)＝cos x，所以f(x)＝cos x的最小正周期为2π.故选B. 2.函数y＝－cos x的图象中与y轴最近的最高点的坐标为 A. B. C. D. √ 因为y＝－cos x是周期函数，画出y＝－cos x，x∈的图象(如图)，由图可知，与y轴最近的最高点的坐标为.故选B. 3.函数f(x)＝1＋3cos x的最小值为 A.－3 B.－2 C.3 D.4 √ 因为－1≤cos x≤1，所以－2≤1＋3cos x≤4，所以最小值为－2.故选B. 4.满足不等式2cos x＋1≤0的x的集合为_____________________________. 2cos x＋1≤0，得cos x≤－，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 返回 课时分层评价 返回 1.已知余弦函数过点，则m的值为 A.0 B.－1 C. D. √ m＝cos＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.用“五点法”作y＝cos x的图象，首先描出的五个点的横坐标是 A.0，，π，，2π B.0，，，，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， √ 函数y＝cos x的最小正周期为2π，用“五点法”作y＝cos x的图象，即作函数y＝cos x在[0，2π]上的图象，所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.关于函数f(x)＝sin，x∈R，下列结论正确的是 A.上是增函数 B.[0，π]上是减函数 C.[－π，0]上是减函数 D.[－π，π]上是减函数 √ f(x)＝sin＝cos x，所以f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，故B正确，A、C、D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数y＝sin的奇偶性是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 √ 因为y＝sin＝－cos 2x，显然是偶函数.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知函数f(x)＝cos x，若关于x的方程f(x)＝a在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. √ 画出函数f(x)＝cos x，x∈的图象，如 图所示，若方程f(x)＝a在上有两个不 同的根，由图可知a∈.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象 A.与g(x)的图象形状相同，位置不同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向右平移个单位长度，得到g(x)的图象 D.向左平移个单位长度，得到g(x)的图象 √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 f(x)＝sin＝cos x，g(x)＝cos＝cos＝sin x，对于A，将g(x)＝sin x图象向左平移个单位可以得到f(x)＝cos x的图象，故y＝cos x与y＝sin x的图象形状相同，位置不同，故A正确；对于B，由f＝cos＝0，且g＝sin ＝1，故f≠g，所以y＝cos x与y＝sin x的图象不关于y轴对称，故B错误；对于C，因为cos＝cos＝sin x，所以把余弦曲线y＝cos x向右平移个单位长度，得到正弦曲线y＝sin x，故C正确；对于D，因为cos＝cos＝cos＝sin x，把余弦曲线y＝cos x向左平移个单位长度，得到正弦曲线y＝sin x，故D正确.故选ACD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数y＝2cos x，x∈的值域为__________. [0，2] 因为x∈，所以cos x∈[0，1]，所以y＝2cos x∈[0，2]. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数y＝3cos x的图象与直线y＝－3及y轴围成的封闭图形的面积为_______. 3π 如图所示，由于y＝3cos x 对称，所以区域Ⅰ和区域Ⅲ的面积相等，区域 Ⅱ和区域Ⅳ的面积相等，则所求的封闭图形即区域Ⅰ 和Ⅳ，面积是大矩形面积的一半.由图易知大矩形的 长为6，宽为π，故所求面积为×6π＝3π. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)写出一个同时满足下列条件①②③的函数f(x)＝______________ _______. ①f(x)为偶函数；②f(x)的最大值为2；③f(x)不是二次函数. 2cos x(答案不 唯一) 由①知：f(－x)＝f(x)，又f(x)max＝2，f(x)不是二次函数，所以满足条件①②③的一个函数为f(x)＝2cos x.(答案不唯一). 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(15分)已知函数y＝cos x＋｜cos x｜. (1)画出函数的图象； 解：y＝cos x＋｜cos x｜ ＝ 函数图象如图所示. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； 解：由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是－＝2π. (3)求出这个函数的单调递增区间. 解：由图象知函数的单调递增区间为，k∈Z. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.如果cos x＝，那么角x的取值范围是 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z √ 因为cos x＝，所以cos x≥0，所以角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取值范围是，k∈Z.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)下列不等式成立的是 A.cos＜cos B.sin 400°＜cos 40° C.sin ＞cos D.sin 2＜cos 2 √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，－＜－＜－＜0，而余弦函数y＝cos x在上单调递增，则cos＞cos，故A错误；对于B，sin 400°＝sin 40°＝cos 50°，余弦函数y＝cos x随锐角的增大而减小，则有cos 50°＜cos 40°，即sin 400°＜cos 40°，故B正确；对于C，cos ＝cos＝－sin ＝sin ，＜＜＜，正弦函数y＝sin x在上单调递减，因此sin ＞sin ＝cos ，故C正确；对于D，由2∈，得sin 2＞0＞cos 2，故D错误.故选BC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.当x∈(0，2π)时，函数f(x)＝sin x与g(x)＝｜cos x｜的图象所有交点横坐标之和为 A.π B.2π C.3π D.4π √ 作出函数f(x)＝sin x和g(x)＝｜cos x｜在(0，2π)上的图象如下： 从图象上可得，函数f(x)＝sin x的图象和g(x)＝ ｜cos x｜的图象在(0，2π)内有两个交点.由sin x ＝cos x，x∈，得x＝，由sin x＝－cos x， x∈，得x＝，所有交点横坐标之和为＋＝π.故选A. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝ (1)作出该函数的图象； 解：作出函数f(x)的图象如下： 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若f(x)＝，求x的值； 解：当－π≤x＜0时，f(x)＝cos x＝，解得x＝－， 当0≤x≤π时，f(x)＝sin x＝，解得x＝.综上，x＝－. (3)若a∈R，讨论方程f(x)＝a的解的个数. 解：方程f(x)＝a的解的个数等价于y＝f(x)与y＝a的图象的交点个数， 则由(1)中函数图象可得， 当a＞1或a＜－1时，解的个数为0； 当－1≤a＜0或a＝1时，解的个数为1； 当0≤a＜1时，解的个数为3. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(新定义)(多选题)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”.设x∈R，用表示不超过x的最大整数，则y＝称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是 A.＝0 B.函数y＝cos x－有3个零点 C.y＝的最小正周期为2π D.y＝的值域为 √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，＝＝0，故A正确；对于B，当x＝＋kπ，k∈Z时，cos x＝0，则y＝cos x－＝0，此时x＝＋kπ，k∈Z为y＝cos x－的零点，有无数个，故B错误；对于C，在区间[0，2π]上，y＝＝结合y＝cos x的最小正周期为2π，由此可得y＝的 最小正周期为2π，故C正确；对于D，结合C的分析可知y＝，故D正确.故选ACD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(多选题)设函数f(x)＝cos x＋，则 A.f(x)是偶函数 B.f(x)在上有无数个零点 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的最大值为2 √ √ √ 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 函数f(x)＝cos x＋的定义域为R，f＝cos(－x)＋＝f(x)，f(x)是偶函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝2cos x∈[，2]，f(x)在上无零点，故B错误；当x∈时，f(x)＝2cos x，f(x)在上单调递减，故C正确；对x∈R，f(x)＝cos x＋≤1＋1＝2，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时取等号，故D正确.故选ACD. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 5.2　余弦函数的图象与性质再认识 返回 $