1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦正弦函数的图象与性质，通过单位圆法、五点法作图，系统讲解定义域、周期性、单调性等性质，以问题导思连接三角函数定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合信息技术动态展示图象生成，通过典例（如解三角不等式、五点法作函数图象）培养直观想象与数学运算素养，课堂小结用表格梳理任务与方法，助力学生系统掌握，教师可借助分层评价提升教学针对性。

5.1　正弦函数的图象与性质再认识 　 第一章　§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.能借助单位圆或五点(画图)法画出正弦函数的图象，培养直观想象的核心素养.　 2.了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值，提升数学运算的核心素养.　 3.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质，培养直观想象的核心素养. 内容索引 任务一　正弦函数的图象 1 任务二　正弦函数性质的再认识 2 任务三　五点(画图)法 3 课时分层评价 6 任务四　正弦函数图象与性质的综合应用 4 随堂评价 5 任务一　正弦函数的图象 返回 问题1.绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？ 提示：如图所示，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0). 问题导思 问题2.根据问题1，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？ 提示：如图所示，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示).根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象. 1.定义：正弦函数y＝sin x，x∈R的图象称作正弦曲线. 2.图象 新知构建 (1)只有函数y＝sin x，x∈R的图象称为正弦曲线.(2)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象夹在两直线y＝±1之间. 微提醒 (1)在内，不等式sin x＜－的解集是 A. B. C. D. √ 典例 1 画出y＝sin x，x∈的图象，如图所示， 因为sin ＝，所以sin＝－，sin ＝－，即在内，方程sin x＝ －的解为x＝或x＝.结合图象可知在内，不等式sin x＜－.故选C. (2)函数y＝lg 的定义域为______________________________. 要使函数式有意义，自变量x应满足sin x－＞0，即sin x＞，在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝的图象，如图所示， 由函数的图象知，sin ＝sin ＝.所以根据图 象可知sin x＞.又x∈R，故 该函数的定义域为. 利用正弦函数图象求定义域 1.利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解. 2.利用正弦函数图象解形如sin x＞a(或＜a)的步骤： (1)画出直线y＝a，y＝sin x的图象； (2)确定sin x＝a时x的值； (3)确定sin x＞a(或＜a)的解集. 规律方法 对点练1.(1)在上，函数y＝的定义域是 A. B. C. D. √ 在[0，2π]上，函数y＝的定义域满 足2sin x－≥0，即sin x≥，结合图象，如图 所示，知道x∈.故选B. (2)函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝交点的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ y＝1＋sin x，x∈的图象如图所示， 由图可知其与直线y＝有2个交点.故选C. 返回 任务二　正弦函数性质的再认识 返回 问题3.利用正弦曲线(如图)，解答下列问题： (1)观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义域、值域、奇偶性； 提示：定义域：R；值域：[－1，1]；奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数. 问题导思 (2)观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 提示：正弦函数的图象既是轴对称图形，对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；也是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)，k∈Z. (3)观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 提示：正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间. 正弦函数的性质 新知构建 函数 y＝sin x，x∈R 图象   定义域 R 周期性 是周期函数，_____是它的最小正周期 2π 单调性 在区间_________________________上单调递增； 在区间_________________________上单调递减 最大(小) 值和值域 当x＝_______________时，ymax＝1； 当x＝_______________时，ymin＝－1； 值域是____________ 奇偶性 ____函数，图象关于______对称 对称性 对称轴：_________________ 对称中心：(kπ，0)，k∈Z Z 2kπ＋，k∈Z 2kπ＋，k∈Z [－1，1] 奇 原点 x＝kπ＋，k∈Z 正弦函数在第一象限是增函数吗？ 提示：不是，只能说正弦函数在区间(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)内为增函数. 微思考 (1)函数y＝cos是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 √ 典例 2 因为y＝cos＝－sin x，所以T＝2π，所以函数的最小正周期为2π.又因为－sin＝sin x，所以函数y＝cos是奇函数.故函数y＝cos是最小正周期为2π的奇函数.故选C. (2)在下列区间函数f(x)＝单调递减的是 A. B. C. D. √ 根据正弦函数y＝sin x的图象，作出函数f(x)＝的图象，如图所示， 可得函数f(x)＝上单调递减.故选B. 1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 2.求正弦函数的单调区间有两种方法 一是利用y＝sin x的单调区间，进行代换，解不等式； 二是画图象，从图象上观察，注意定义域，单调区间不能随便并 起来. 规律方法 对点练2. (1)(多选题)设函数f(x)＝sin x，下列结论成立的是 A.f＞0 B.－1≤f(x)≤1 C.最小正周期是2π D.f＞f √ √ √ 对于A，f＝sin ＝＞0，故A正确；对于B，－1≤sin x≤1，故B正确；对于C，正弦函数的最小正周期为2π，故C正确；对于D，由于f(x)＝sin x在上为增函数，所以f＜f，故D错误.故选ABC. (2)函数y＝2sin x＋1的值域是______________. [1＋，3] 因为≤x≤π，所以sin x∈，所以2sin x＋1∈[1＋，3]. 返回 任务三　五点(画图)法 返回 问题4.在画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图时，应抓住哪些关键点？ 提示：根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用光滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). 问题导思 “五点(画图)法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表： 新知构建 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (3)连线：用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出正弦函数的简图. (链教材P31例2)画出函数y＝＋sin x在区间，上的图象. 解：利用五个关键点确定y＝sin x的图象，这五个关键点也是画y＝＋sin x图象的关键点.按五个关键点列表. 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y＝＋sin x在区间，上的图象，如图所示. 典例 3 x － － 0 π sin x － －1 0 1 0 － ＋sin x 0 － 0 　　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图.“五点”即y＝sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点(画图)法”是作简图的常用方法. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)＝2－sin x. (1)用“五点法”作函数f(x)在x∈上的图象； 解：利用五个关键点确定f(x)＝sin x的图象，这五个 关键点也是画f(x)＝2－sin x图象的关键点.按五个关 键点列表. 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数f(x)＝2－sin x在区间上的图象，如图所示. x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x 2 1 2 3 2 (2)函数y＝f(x)－k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围. 解：由y＝f(x)－k＝2－sin x－k＝0，得sin x＝2－k， 即y＝sin x，y＝2－k两个函数的图象在x∈上有两个交点， 因为x∈，所以sin x∈， 若y＝sin x，y＝2－k两个函数的图象在 x∈上有两个交点，则－≤ 2－k＜1，解得1＜k≤. 所以实数k的取值范围是. 返回 任务四　正弦函数图象与性质的综合应用 返回 (链教材P32例3)高一某班小赵同学在解答“利用五点法画出函数y＝2sin x－1在一个周期上的图象，并根据图象讨论它的性质”题目时，有如下解答过程，请补全解答过程. 第一步：列表. 典例 4 x 0 π 2π y＝sin x 0         y＝2sin x－1           解：第一步：列表. x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1 第二步：画出y＝2sin x－1在一个周期上的图象. 解： 第三步：讨论y＝2sin x－1的性质. 函数 y＝2sin x－1 定义域 R 最小正周期 ________ 单调性 单调递增区间为________________________； 单调递减区间为________________________ 最大值 与最小值 当x＝____________时，最大值为1；当x＝_____________时，最小值为_______ 2π (k∈Z) (k∈Z) 2kπ＋(k∈Z) 2kπ＋(k∈Z) －3 　　正弦函数的图象与性质主要涉及到正弦函数的周期性，奇偶性与对称性，单调性与最值等. 规律方法 对点练4.已知函数f(x)＝1－sin x. (1)用“五点法”作出f(x)在x∈[0，2π]上的图象； 解：按五个关键点列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，对应的图象如图： (2)求f(x)在x∈上的最大值和最小值. 解：因为f(x)＝1－sin x，由f(x)＝1－sin x且x∈， 结合图象知f(x)max＝f＝1＋，f(x)min＝f＝0. 返回 课堂小结 任务再现 1.正弦函数的图象.2.正弦函数性质的再认识.3.五点(画图)法.4.正弦函数图象与性质的综合应用 方法提炼 数形结合法、五点(画图)法 易错警示 “五点(画图)法”作图时五点的选取；单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x本身具有的范围 随堂评价 返回 1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象 A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同 √ 根据正弦曲线的图象可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.故选B. 2.下列选项中，函数y＝sin x，x∈的图象是 √ 根据正弦函数图象判断D选项符合题意.故选D. 3.函数f(x)＝3sin x的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 由于－1≤sin x≤1，所以－3≤3sin x≤3，所以f(x)的最大值为3，此时x＝2kπ＋，k∈Z.故选C. 4.sin与sin的大小关系为______________________.(用“＞”连接) sin＞sin sin＝sin＝sin ＝sin＝sin ，sin＝sin＝sin ，因为0＜＜＜，且y＝sin x在上单调递增，所以sin ＞sin ，所以sin＞sin. 返回 课时分层评价 返回 1.函数y＝2sin x，x∈R的最小正周期是 A.2π B.3π C.5π D.7π √ 因为y＝sin x的最小正周期为2π，所以y＝2sin x的最小正周期也为2π.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数y＝sin，x∈的图象是 √ 因为y＝sin＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，只有D符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数y＝4sin x的图象关于 A.y轴对称 B.直线x＝对称 C.原点对称 D.直线x＝π对称 √ y＝4sin x是奇函数，图象关于原点对称，故A错误，C正确；而sin ＝，sin π＝0，则直线x＝，x＝π都不是y＝4sin x的图象的对称轴，故B、D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数y＝－3sin x＋4(x∈[－π，π]) 的一个单调递增区间为 A. B.[0，π] C. D.[－π，0] √ 函数y＝－3sin x＋4的增区间就是y＝sin x的减区间，即，k∈Z.结合x∈[－π，π]，可得y＝sin x的减区间为.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)用“五点法”画y＝3sin x，x∈的图象时，下列哪个点不是关键点 A. B. C. D. √ √ 根据“五点法”画y＝3sin x的图象的5个关键点为，，，，，所以A、D不是关键点.故选AD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.下列关系式中正确的是 A.sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B.sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C.sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D.sin 168°＜cos 10°＜sin 11° √ 因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，所以由正弦函数的单调性，得sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.故选C. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数y＝的最小正周期是_______. π 函数y＝的图象为y＝sin x的图象在x轴上方的部分不变，在x轴下 方的部分翻折到上方，故周期减半，则函数y＝＝π. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数f(x)＝sin x－1，x∈[0，2π]的零点为______. 令f(x)＝0，所以sin x＝1，又x∈[0，2π]，所以x＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.函数y＝asin x＋2的最小值为1，则a＝______. ±1 显然a≠0，当a＞0时，sin x＝－1，ymin＝－a＋2＝1，解得a＝1；当a＜0时，sin x＝1，ymin＝a＋2＝1，解得a＝－1，所以a＝±1. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)比较下列各组数的大小： (1)sin和sin； 解：因为－＜－＜－＜， 正弦函数y＝sin x在区间上是增函数， 所以sin＞sin. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)sin 715°和sin. 解：sin 715°＝sin(720°－5°)＝sin(－5°)， sin＝sin＝sin(－4°)，又－5°＜－4°，正弦函数y＝sin x在区间上是增函数，所以sin(－5°)＜sin(－4°)，即sin 715°＜sin(－724°). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)函数y＝｜sin x｜，x∈的图象与直线y＝a(a为常数)的交点可能有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 √ √ √ 首先画出函数y＝，x∈的图象， 当a＞1时，有0个交点；当a＝1时，有1个交点； 当0＜a＜1时，有3个交点；当a＝0时，有1个交 点；当a＜0时，有0个交点.故选ABD. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知函数f(x)＝sin ｜x｜，则 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最大值为1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x＝对称 √ √ 函数f(x)＝sin＝所以f(x)的图象关于y轴对称，且不具备周期性，不关于直线x＝对称，故选项A、D错误，C正确，且f(x)的最大值为1，故B正确.故选BC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.设a为常数，若满足a＝sin x＋1，且x∈的x的值只有一个，则实数a的值为________. 0或2 令y＝sin x＋1，在x∈上，取五个关键点，列表如下： x －π － 0 π y 1 0 1 2 1 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 图象如图所示： 因为满足a＝sin x＋1，且x∈的x的值只有一个，所以直线y＝a与函数y＝sin x＋1的图象在x∈上只有1个交点，结合图象可知，a＝0或a＝2. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； 解：因为ymax＝1－a，所以a＜0，故ymin＝1＋a＝－3，所以a＝－4. (2)求该函数的单调递增区间； 解：由(1)知，y＝－4sin x＋1， 当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4sin x＋1单调递增，所以y＝－4sin x＋1的单调递增区间为，k∈Z. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间. 解：因为x∈[－π，π]，(k∈Z)∩[－π，π]＝∪，所以当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为，. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)设函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则以下四个结论正确的是 A.b－a的最小值为 B.b－a的最大值为 C.a不可能等于2kπ－(k∈Z) D.b不可能等于2kπ－(k∈Z) √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由图象知，b－a的最大值为，故B正确；在b－a取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a，b]内，所以b－a的最小值为，b可能等于2kπ－(k∈Z)，故A正确，D错误；若a＝2kπ－(k∈Z)，则由图象(见下图)可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为－1，所以a不可能等于2kπ－(k∈Z)，故C正确.故选ABC. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①y＞1；②y＜1； 解：列表： 描点连线得： 由图象可知函数y＝1－2sin x，当x∈(－π，0)时， y＞1，当x∈(0，π)时，y＜1. x －π － 0 π y＝sin x 0 －1 0 1 0 y＝1－2sin x 1 3 1 －1 1 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若直线y＝a与曲线y＝1－2sin x有两个交点，求实数a的取值范围； 解：列表： 描点连线得： 如图，当直线y＝a与曲线y＝1－2sin x有两个交 点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以实数a的取值 范围为{a｜1＜a＜3，或－1＜a＜1}. x －π － 0 π y＝sin x 0 －1 0 1 0 y＝1－2sin x 1 3 1 －1 1 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)求函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的最大值，最小值及相应的自变量的值. 解：列表： 描点连线得： 由图象可知ymax＝3，此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝. x －π － 0 π y＝sin x 0 －1 0 1 0 y＝1－2sin x 1 3 1 －1 1 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 返回 $