1.4.4 诱导公式与旋转-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的诱导公式，通过问题导思引导学生观察旋转终边与单位圆交点坐标，从三角函数定义出发推导π/2±α公式，搭建从具体旋转到抽象公式的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过“问题导思-公式推导-典例应用”环节，结合“奇变偶不变，符号看象限”口诀归纳公式，辅以分层练习和易错警示，帮助学生提升数学运算能力，也为教师提供结构化教学资源。

4.4　诱导公式与旋转 　 第一章　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.掌握 ±α的正弦、余弦诱导公式的推导过程，培养数学抽象的核心素养.　 2.对诱导公式能作综合归纳，体会七组公式的共性与个性，培养逻辑推理的核心素养.　 3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　诱导公式与旋转 1 任务二　正弦函数、余弦函数的诱导公式 2 任务三　诱导公式的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　诱导公式与旋转 返回 问题1.观察图象，设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)， 将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P'，那么＋α的终 边与单位圆的交点P'的坐标如何求？你能根据三角函数的 定义探究角α与角＋α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：P'(－v，u)；sin＝cos α，cos＝－sin α. 问题导思 问题2.利用问题1中的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究α－与α三角函数值的关系. 提示：sin＝－sin＝－sin＝－cos(－α)＝ －cos α； 同理cos＝sin α. sin＝cos α cos＝－sin α sin＝－cos α cos＝sin α 新知构建 上述公式中的三角函数的名称和符号是否变化？ 提示：三角函数的名称改变，符号要看角的终边所在的象限. 微思考 (1)sin与以下哪个值相同 A.sin B.－sin C.cos D.－cos √ 典例 1 由诱导公式易得sin＝cos .故选C. (2)已知＝a，a＞0，那么cos 65°的值是_______.(用实数a表示) 由＝a，a＞0，可得sin 25°＝，则cos 65°＝cos＝sin 25°＝. 　　直接利用公式化简或求值，注意符号的变化. 规律方法 对点练1.(1)在下列各数中，与cos 10°相等的是 A.sin 80° B.cos 80° C.sin 170° D.cos 170° √ 对于A，sin 80°＝sin＝cos 10°，故A正确；对于B，cos 80°＝cos＝sin 10°，故B错误；对于C，sin 170°＝sin＝sin 10°，故C错误；对于D，cos 170°＝cos＝－cos 10°，故D错误.故选A. (2)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边过点A，则sin＝ A. B.－ C. D.－ √ 由题意可知cos α＝＝－，sin＝－cos α＝.故选A. 返回 任务二　正弦函数、余弦函数的诱导公式 返回 问题3.经过对角α的终边的对称与旋转，如何简化记忆诱导公式呢？ 提示：诱导公式可以归纳为k·±α(k∈Z)的三角函数值.当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值.然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”. 问题导思 正弦函数、余弦函数诱导公式 新知构建 角 正弦 余弦 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α －α －sin α cos α α＋π －sin α －cos α α－π －sin α －cos α π－α sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α (链教材P24例8)(1)若sin＋cos＝－，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为 A.－ B.－ C. D. √ 典例 2 由sin＋cos＝－可得，－sin α－sin α＝－，即sin α＝， 则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.故 选B. (2)sin＋cos＝______. 0 sin＋cos＝sin＋ cos＝sin－sin＝0. 利用诱导公式求值的策略 　　在对给定的式子进行求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称弄错. 规律方法 对点练2.(1)已知cos＝－，则sin的值为 A. B.－ C.－ D.± √ sin＝sin＝ cos＝－，故选B. (2)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则＝_______. 5 由角α的终边经过点P(2，－3)可知，sin α＝－，cos α＝，则 ＝＝＝5. 返回 任务三　诱导公式的综合应用 返回 (链教材P25例9)已知f(x)＝ . (1)化简f(x)； 解：f(x)＝ ＝＝＝. 典例 3 (2)求f. 解：f＝＝＝＝－. 用诱导公式进行化简时的注意点 1.化简后项数尽可能的少. 2.函数的种类尽可能的少. 3.能求值的一定要求值. 4.含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 规律方法 对点练3.化简：. 解：原式＝ ＝ ＝＝＝1. 返回 课堂小结 任务再现 1.诱导公式与旋转.2.正弦函数、余弦函数的诱导公式及其应用 方法提炼 公式法、转化与化归思想 易错警示 函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造 随堂评价 返回 1.已知cos 78°≈0.20，那么sin 12°约等于 A.0.20 B.0.80 C.0.88 D.0.95 √ sin 12°＝sin(90°－78°)＝cos 78°≈0.20.故选A. 2.已知sin θ＝，则cos的值是 A. B.－ C. D.－ √ cos＝cos＝－sin θ＝－.故选B. 3.若α是任意实数，则sin＝ A.sin α B.－sin α C.cos α D.－cos α √ 由三角函数诱导公式得sin＝sin＝sin＝cos α.故选C. 4.已知sin＝，则cos＝______. cos＝cos＝sin＝. 返回 课时分层评价 返回 1.化简＝ A.±1 B.1 C.－1 D. √ ＝＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若sin＝，则cos＝ A.－ B. C.－ D. √ 因为sin＝cos α＝，所以cos＝－cos α＝－.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知cos＝，则sin＝ A.－ B. C.－ D. √ 由cos＝可得cos＝－sin＝⇒sin＝－.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.与sin一定相等的是 A.sin B.cos C.sin D.cos(π－θ) √ sin＝－sin＝－cos θ，对于A，sin＝cos θ，故A错误；对于B，cos＝－sin θ，故B错误；对于C，sin＝cos θ，故C错误；对于D，cos(π－θ)＝－cos θ，故D正确.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知sin α＝，则cos(－α)＝ A. B.－ C. D.－ √ 由cos(－α)＝cos(－α)＝cos(π＋－α)＝－cos(－α)＝－sin α＝－. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)下列诱导公式正确的是 A.sin(3π＋α)＝sin α B.sin＝－cos C.cos＝sin 2α D.cos(9π－3α)＝cos 3α √ √ 对于A，sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α，故A错误；对于B，sin＝sin＝－sin＝－cos ，故B正确；对于C，cos＝cos＝sin 2α，故C正确；对于D，cos(9π－3α)＝cos(π－3α)＝－cos 3α，故D错误.故选BC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知α满足cos α＝m，则sin＝______.(结果用含有m的式子表示) m 由诱导公式可知sin＝cos α＝m. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin＝_______. 由三角函数定义得cos α＝，由诱导公式得sin＝cos α＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.若sin＝－，则cos＝______. － 由sin＝－sin α＝－，即sin α＝，所以cos＝－sin α＝－. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB. (1)求的值； 解：由题意得β＝＋α， 所以＝＝＝－＝－1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)若点A的横坐标为，求2sin αcos β的值. 解：因为点A的横坐标为，且｜OA｜＝1，所以点A的纵坐标为， 所以cos α＝，sin α＝，cos β＝cos＝－sin α＝－， 所以2sin αcos β＝2××＝－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知α∈，sin＝，则cos＝ A.－ B. C.－ D. √ cos＝cos＝－sin＝－.故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知角α的顶点在平面直角坐标系原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，现将角α的终边按逆时针方向旋转后与角β的终边重合，则下列结论正确的是 A.sin α＝ B.sin＝－ C.sin β＝ D.cos β＝－ √ √ 依题意，得sin α＝－，cos α＝，故A错误；而sin＝－cos α＝－，故B正确；又β＝＋α＋2kπ，k∈Z，因此sin β＝sin＝cos α＝，cos β＝cos＝－sin α＝，故C正确，D错误.故选BC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.化简：＝__________. －sin α 易知＝ ＝ ＝ ＝－sin α. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知f(α)＝ . (1)化简f(α)； 解：f(α)＝ ＝ ＝－. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若＝3，求f(α). 解：由＝＝3， 得sin α＋cos α＝3sin α－3cos α，即sin α＝2cos α，所以f(α)＝－＝－2. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新定义)(多选题)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ“广义互余”.若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有 A.cos β＝ B.cos(π＋β)＝ C.sin＝ D.sin＝－ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 若α与β“广义互余”，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α(k∈Z).又由sin(π＋α)＝－，可得sin α＝.若α与β“广义互余”成立，对于A，cos β＝cos＝sin α＝，故A正确；对于B，cos(π＋β)＝cos(＋2kπ－α)＝cos＝－sin α＝－，故B错误；对于C，sin＝sin(－2kπ＋α)＝sin α＝，故C正确； 对于D，sin＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝，故D错误.故选AC. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知f(α)＝ . (1)若cos＝，求f(α)的值； 解：f(α)＝＝＝. 因为cos＝，所以cos＝，所以cos＝， 所以sin α＝－，所以f(α)＝＝－5. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值. 解：f(α)＝＝＝. 当α＝－1 860°时， f(α)＝＝＝＝＝＝ －. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 4.4　诱导公式与旋转 返回 $