1.4.3 诱导公式与对称-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦诱导公式与对称，通过问题思考角α与-α、α±π、π-α的终边对称关系，结合三角函数定义推导公式，衔接正弦余弦函数概念，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以终边对称关系推导公式培养逻辑推理，典例与分层练习提升数学运算，课堂小结任务再现强化数学抽象。如典例1用诱导公式求cos210°，帮助学生掌握公式应用，教师可借助系统资源提高教学效率。

4.3　诱导公式与对称 　 第一章　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用，培养数学抽象的核心素养.　 2.理解诱导公式的推导过程.识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征，培养逻辑推理的核心素养.　 3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　诱导公式与对称 1 任务二　给值求值或给值求角 2 任务三　三角函数式化简求值 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　诱导公式与对称 返回 问题1.观察图象，角α与－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与－α的终边关于x轴对称，根据三角函数的定义sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 问题导思 问题2.观察图象，角α与α±π的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角α±π的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与α±π的终边关于原点对称，根据三角函数的定义推出：sin(α＋π)＝－sin α，cos(α＋π)＝－cos α，sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝ －cos α. 问题3.观察图象，角α与π－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角π－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与π－α的终边关于y轴对称，根据三角函数的定义推出：sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α. 新知构建 终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示       终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 公式 sin(－α)＝__________， cos(－α)＝________ sin(α＋π)__________， cos(α＋π)__________， sin(α－π)__________， cos(α－π)＝__________ sin(π－α) ＝________， cos(π－α)＝__________ 特点 (1)公式两边的函数名称一致. (2)将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 －sin α cos α －sin α －cos α －sin α －cos α sin α －cos α (1)公式的角为任意角.(2)口诀：“函数名不变，符号看象限”. 微提醒 (链教材P21例6)求下列三角函数值： (1)cos 210°； 解：cos 210°＝cos(30°＋180°)＝－cos 30°＝－. 典例 1 (2)sin ； 解：sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝. (3)sin； 解：sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin ＝. (4)cos(－1 920°). 解：cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(120°＋5×360°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 规律方法 对点练1.(1)已知sin＝，那么sin的值是 A. B.－ C.± D. √ sin＝－sin α＝，即sin α＝－，所以sin＝－sin α＝.故 选D. (2)计算：sin－cos＋sin ＝_______. 1－ sin－cos＋sin ＝－sin－cos＋sin＝sin ＋cos －sin ＝＋－＝1－. 返回 任务二　给值求值或给值求角 返回 (1)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则sin＝ A. B.－ C. D.－ √ 典例 2 由正弦函数的定义可知sin α＝＝，再利用诱 导公式知sin＝－sin α＝－.故选B. (2)已知sin α≤，则角α的集合为__________________________________. 如图所示，符合条件的角的集合为 . 1.给值求角，借助单位圆和诱导公式求解. 2.给值求同名三角函数值：如已知sin α＝a，求sin β，只要存在关系α±β＝kπ(k∈Z)就可以运用诱导公式求解. 规律方法 对点练2.(1)已知cos＝，则cos等于 A.－ B. C. D.－ √ cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.故选A. (2)已知sin＝，则sin＝ ______. sin＝sin＝ sin＝. 返回 任务三　三角函数式化简求值 返回 已知f(α)＝. (1)化简f(α)； 解：f(α)＝＝cos α. 典例 3 (2)若α＝－，求f(α)的值. 解：因为－＝－6×2π＋， 所以f＝cos＝cos ＝cos＝cos＝cos ＝. 　　利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，常将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式，将所给角的三角函数式化为角α的三角函数式. 规律方法 对点练3.(1)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α＝，则cos β＝_______. － 由于角α与角β的终边关于原点对称，且α＝，所以β＝α＋π＋2kπ，k∈Z， 故cos β＝cos＝－cos α＝－. (2)已知角α的终边过点P(12，－5)，则＝______. 因为角α的终边过点P(12，－5)， 所以x＝12，y＝－5，r＝＝13， 可得cos α＝， ＝ ＝cos α＝. 返回 课堂小结 任务再现 1.诱导公式与对称.2.给值求值或给值求角.3.三角函数式化简求值 方法提炼 公式法、转化与化归思想 易错警示 公式中符号的确定 随堂评价 返回 1.若sin α＝，则sin＝ A.－ B.－ C. D.1 √ sin＝－sin α＝－.故选A. 2.cos 870°＝ A.－ B. C.－ D. √ cos 870°＝cos＝－cos＝－cos 30°＝－.故选C. 3.已知cos＝，则cos(－θ)＝ A. B.－ C. D.－ √ 由cos(π－θ)＝－cos θ，得cos θ＝－，所以cos(－θ)＝cos θ＝－.故选B. 4.适合cos α＜的角α的集合为__________________________________. 如图所示，根据单位圆及余弦函数的定义知，cos α＜得2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z. 返回 课时分层评价 返回 1.已知sin α＝，则sin＝ A.－ B. C.－ D. √ 由诱导公式计算可得sin＝－sin α＝－.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.cos 300°＋sin 210°的值为 A.－1 B.0 C. D.1 √ cos 300°＋sin 210°＝cos＋sin＝cos 60°－sin 150°＝－＝0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选题)给出下列各三角函数值，其中符号为负的是 A.cos π B.cos C.sin D.sin √ √ √ cos π＝－1＜0，故A符合题意；cos＝cos 220°＝cos＝－cos 40°＜0，故B符合题意；sin＝－sin 100°＝－sin＝－sin 80°＜0，故C符合题意；sin ＝sin＝sin ＝，故D不符合题意.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知sin＜0，cos＞0，则θ为 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 由sin＜0，cos＞0可得sin θ＜0，cos θ＜0，故θ为第三象限角.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知sin＝，则sin的值为 A. B.－ C. D.－ √ sin＝sin＝sin＝－sin＝－.故 选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)在平面直角坐标系中，若角α与角β的始边均与x轴的非负半轴重合，终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是 A.sin(α＋π)＝sin β B.sin(α－π)＝－sin β C.sin(－α)＝sin β D.sin(2π－α)＝－sin β √ √ 不妨令α，β∈[0，2π)，由题意知α＋β＝π或3π，所以sin(α＋π)＝sin(－β)＝－sin β，故A错误；sin(α－π)＝sin(－β)＝－sin β，故B正确；sin(－α)＝sin(β－π)＝－sin β，故C错误；sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin β，故D正确.故选BD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知角α的终边与单位圆交于点P，则cos(π＋α)＝_______. － 由角α的终边与单位圆交于点P，可得cos α＝，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知cos(π＋α)＝－，π＜α＜2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝_____. 因为cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以cos α＝.又因为π＜α＜2π，所以＜α＜2π，所以利用定义可求得sin α＝－.所以sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝______. 因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，所以sin β＝sin＝sin α＝. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)(1)化简：cos＋sin－sin＋cos； 解：原式＝－cos α－sin α＋sin α＋cos α＝0. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求值：sin－cos＋sin ·cos. 解：原式＝－sin－cos＋sin·cos ＝－sin－cos＋sin · ＝sin ＋cos ＋sin ·(－cos )＝＋＋·＝1－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)下列与sin 的值相等的是 A.cos B.cos C.sin D.sin √ √ sin ＝sin＝－sin ＝－，cos ＝－，cos ＝，sin ＝sin＝，sin＝－.故选AD. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3a，－4a)(a≠0)，则2cos(－α)＋sin(π＋α)的值可能为 A.－ B.－2 C. D.2 √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 依题意，cos α＝＝，sin α＝，所以 所以2cos(－α)＋sin(π＋α)＝2cos α－sin α＝±2.故选BD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.若sin＝，则sin＝______. － 因为sin＝，所以sin＝sin＝－sin＝－. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知角α终边上一点P(－4，3)，求的值. 解：点P到原点O的距离｜OP｜＝＝5. 根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－， 所以 ＝＝ ＝＝×＝－. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新定义)我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫作面度制.在面度制下，角θ的面度数为，则角θ的正弦值为 A. B. C.－ D.－ √ 设角θ所在的扇形的半径为r，则＝，解得θ＝，故sin θ＝sin ＝－sin ＝－.故选D. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知f(x)＝(n∈Z). (1)化简f(x)的表达式； 解：当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时， f(x)＝＝ ＝＝sin2x. 当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时， f(x)＝＝＝＝sin2x， 综上得f(x)＝sin2x. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求f. 解：由(1)知f＝sin2＝ sin2＝sin2＝sin2＝. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 4.3　诱导公式与对称 返回 $