1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的定义域、最值、周期性、单调性、符号及综合应用，通过问题导思结合单位圆，承接三角函数定义，以单位圆为学习支架帮助学生从具体坐标抽象函数性质。 其亮点在于依托单位圆直观探究，贯穿问题驱动与数形结合，如通过单位圆交点坐标变化分析单调性、最值，培养数学抽象与逻辑推理。典型例题与分层评价结合，小结提炼方法，助力学生提升数学运算能力，教师可利用其结构实施高效教学。

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 　 第一章　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.理解正弦函数值、余弦函数值的符号，培养数学抽象的核心素养.　 2.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质，培养逻辑推理的核心素养.　 3.能利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决问题，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　正弦函数、余弦函数的定义域、 最大(小)值与值域 1 任务二　正弦函数、余弦函数的周期性与单调性 2 任务三　正弦函数值和余弦函数值的符号 3 课时分层评价 6 任务四　单位圆中正弦函数、余弦函数基本性质 的综合应用 4 随堂评价 5 任务一　正弦函数、余弦函数的定义域、 最大(小)值与值域 返回 问题1.如图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当 自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化.试由正弦 函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义，指出 (1)正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义域； 提示：正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义域均为R. 问题导思 (2)α取何值时，v＝sin α、u＝cos α取得最大(小)值，最大 (小)值分别是多少？ 提示：当α＝2kπ＋，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大 值1； 当α＝2kπ－，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最小值－1. 当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1； 当α＝2kπ＋π，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最小值－1. 新知构建   正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 定义域 R 最大值 当α＝2kπ＋，k∈Z时，vmax＝___ 当α＝______，k∈Z时，umax＝1 最小值 当α＝_____________时，vmin＝－1 当α＝(2k＋1)π，k∈Z时，umin＝_____ 值域 ____________ 1 2kπ 2kπ－，k∈Z －1 [－1，1] (链教材P19例4)求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值： (1)v＝cos α，α∈； 解：在单位圆中画出α在区间上的示意图如图①所示， 由图可知，当α＝时，函数v＝cos α取得最大值，最大 值为cos ＝； 当α＝π时，函数v＝cos α取得最小值，最小值为cos π＝－1. 典例 1 (2)v＝－sin α，α∈. 解：在单位圆中画出α在区间上的示意图， 如图②所示， 由图可知，当α＝－时，v＝－sin α取得最小值， 当α＝－时，v＝－sin α取得最大值. 1.对函数y＝sin α，y＝cos α(其中α∈[m，n])，可通过观察角α终边与单位圆交点坐标的变化得到它们的最值和值域. 2.关于sin α或cos α的复合函数，注意利用换元思想求解. 规律方法 对点练1.求函数u＝－3cos α＋1在上的最大值与最小值. 解：在单位圆中画出α在区间上的示意图. 由图可知，当α＝时，cos α取得最大值，此时umin＝ －3×＋1＝； 当α＝π时，cos α取得最小值－1，此时umax＝－3×(－1)＋1＝4. 返回 任务二　正弦函数、余弦函数的周期性与单调性 返回 问题2.你能用数学表达式表示与α终边相同的角的正弦值与sin α、与α终边相同的角的余弦值与cos α的关系吗？ 提示：对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sin α，α∈R，cos(α＋2kπ)＝cos α，α∈R. 问题导思 问题3.已知v＝sin α，α∈，当α发生变化时，观察α的终边与单位圆的交点P(cos α，sin α)的变化，试写出其单调递增和递减区间. 提示：当α∈时，随着α的增大，sin α的值增加，v＝sin α在上单调递增，如图①所示. 当α∈时，随着α的增大，sin α的 值减小，v＝sin α在上单调递减， 如图②所示. 故v＝sin α，α∈，单调递减区间为. 新知构建   正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 周期性 周期函数，最小正周期为_____ 单调性 在区间_______________________________ 上单调递增；在区间___________________ _______上单调递减 在区间______________________ 上单调递减；在区间__________ __________________上单调递增 2π ，k∈Z ， k∈Z [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z [2kπ＋π， 2kπ＋2π]，k∈Z 若正弦函数在(k∈Z)上为增函数，是指当k取某个整数值时，得到一个对应区间，则只在这个区间上单调递增，而不是在这些区间的并区间内单调递增，更不能说成在第一、四象限为增函数. 微提醒 (链教材P19例3)(1)下列关于函数u＝4sin α，α∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是 A.在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减 B.在上单调递增，在和上单调递减 C.在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减 D.在上单调递增，在上单调递减 √ 典例 2 利用单位圆可以得到：函数u＝4sin α在上单调递增，在上单调递减.故选B. (2)借助单位圆，讨论函数u＝cos α在区间上的单调性. 解：在单位圆中画出角α在区间上的示意图，如图所示，由图可得u＝cos α在上单调递增；在上单调递减. 　　利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能使用“∪”连接. 规律方法 对点练2.(1)函数y＝cos x和y＝sin x在下列哪个区间上都是单调递减的 A. B. C. D. √ 对于A，当x∈时，y＝cos x单调递减，y＝sin x单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，y＝cos x单调递减，y＝sin x单调递增，故B错误；对于C，当x∈时，y＝cos x单调递增，y＝sin x单调递增，故C错误；对于D，当x∈时，y＝cos x单调递增，y＝sin x单调递减，故D错误.故选A. (2)(双空题)函数u＝cos α，α∈的单调递增区间为_____________ __________；单调递减区间为__________. 和 [0，π] 作出单位圆如图所示，当α∈时，随着α的增大，观察α的终边与单位圆交点横坐标的变化易知，递增区间为，；递减区间为[0，π]. 返回 任务三　正弦函数值和余弦函数值的符号 返回 问题4.借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，探究三角函数值的符号与什么有关？ 提示：正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号. 问题导思 正弦函数值和余弦函数值的符号 新知构建 　　象限 三角函数　　　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ (1)口诀“一全正、二正弦、三全负、四余弦”.(2)易忽略正弦、余弦函数在坐标轴上的符号. 微提醒 (1)角θ为第三象限角的充要条件是 A. B. C. D. √ 典例 3 对于A，由可得θ为第一象限角，故A不符合题意；对于B，由可得θ为第三象限角，反之也成立，故B符合题意；对于C，由可得θ为第二象限角，故C不符合题意；对于D，由可得θ为第四象限角，故D不符合题意.故选B. (2)(多选题)下列三角函数值的符号判断正确的是 A.cos(－280°)＜0 B.sin 500°＞0 C.sin＜0 D.cos ＞0 √ √ √ 因为－280°＝80°－360°，所以－280°是第一象限角，所以cos(－280°)＞0；因为500°＝140°＋360°，所以500°是第二象限角，所以sin 500°＞0；因为－＝－2π，所以－是第三象限角，所以sin＜0；因为＝＋4π，所以是第一象限角，所以cos ＞0.故选BCD. 　　若已知角的大小，直接利用终边的位置，判断符号；若已知正弦函数、余弦函数值的符号，可以根据在各象限内的符号判断角的终边的位置. 规律方法 对点练3.(1)已知sin αcos α＜0，且cos α＞0，则角α的终边位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 因为sin αcos α＜0，且cos α＞0，所以sin α＜0，即角α的终边位于第四象限.故选D. (2)sin 2·cos 3的值是________.(填“正数”“负数”或“零”) 负数 因为＜2＜3＜π，所以sin 2＞0，cos 3＜0，所以sin 2·cos 3＜0. 即sin 2·cos 3的值是负数. 返回 任务四　单位圆中正弦函数、余弦函数基 本性质的综合应用 返回 求函数y＝的定义域. 解：自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥，图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即定义域为 . 典例 4 变式探究 (变条件)将本例改为求y＝的定义域. 解：自变量x应满足－2sin x≥0，即sin x≤，图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即定义域为 . 1.求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. 2.要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求 交集. 规律方法 对点练4.(1)利用单位圆比较sin 50°和cos 50°的大小，正确的结果为 A.sin 50°＞cos 50° B.sin 50°＜cos 50° C.sin 50°＝cos 50° D.sin 50°和cos 50°无法比较 √ 如图所示，在单位圆中作出50°的角交单位圆于点P， 过P作x轴的垂线，垂足为E，则sin 50°＝EP＞0，cos 50° ＝OE＞0，因为50°＞45°，所以＞，即sin 50° ＞cos 50°.故选A. (2)函数y＝的定义域为___________________________. ，k∈Z 要使有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－，图中阴影部分即为所求，则函数定义域为 ，k∈Z. 返回 课堂小结 任务再现 1.正弦函数、余弦函数的定义域、最大(小)值与值域.2.正弦函数、余弦函数的周期性与单调性.3.正弦函数值和余弦函数值的符号.4.单位圆中正弦函数、余弦函数基本性质的综合应用 方法提炼 公式法、数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误 随堂评价 返回 1.函数v＝sin α在区间上的单调性是 A.先增后减 B.先减后增 C.先增后减再增 D.先减后增再减 √ 在单位圆中画出α在区间上的示意图.从图 中知v＝sin α在上单调递减；在 上单调递增.故选B. 2.函数u＝cos α的一个单调递增区间为 A. B. C.(0，π) D.(π，2π) √ 因为u＝cos α的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，令k＝1得α∈[π，2π]，即为u＝cos α的一个单调递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π].故选D. 3.若sin α＜0且cos α＞0，则α的终边所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ α的终边过点，又sin α＜0且cos α＞0，则α的终边所在象限为第四象限.故选D. 4.函数y＝2＋cos α，α∈的值域为_________. 由单位圆，可知当α∈时，cos α∈，所以2＋cos α∈，所以函数y＝2＋cos α，α∈. 返回 课时分层评价 返回 1.函数y＝－cos x在区间上 A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减 √ 因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数y＝2sin α的单调递减区间是 A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) √ 因为y＝2sin α与y＝sin α单调区间相同，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.y＝3cos α，α∈的最大值与最小值分别为 A.3，－3 B.3，－ C.3， D.3，－ √ 如图所示，当α＝0时，ymax＝3×1＝3，当α＝π时，ymin＝3×(－1)＝－3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知sin θcos θ＞0，且＝cos θ，则角θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 因为sin θcos θ＞0，且＝cos θ，所以sin θ＞0，cos θ＞0，所以θ是第一象限角.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.函数y＝的定义域为 A. B. C. D. √ 由题意可得2sin x－1≥0，即sin x≥，又0≤x≤2π，故x∈，即定义域为.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.使得函数y＝sin x为减函数，且值为负数的区间为 A. B. C. D. √ 由y＝sin x的图象与性质可知x∈时，函数单调递减，且函数值为负数.故选C. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若“∀x∈，sin x＞m”是假命题，则实数m的最小值为______. 因为“∀x∈，sin x＞m”是假命题，所以“∃x∈，sin x≤m”是真命题，所以m≥sin ＝，故实数m的最小值为. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.满足sin α－cos α＞0的α的取值范围是_____________________________. 由图可得，满足sin α－cos α＞0的α的取值范围为2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)写出函数y＝2－cos x在上的一个减区间______________ ________. (答案不 唯一) 函数y＝2－cos x的减区间为y＝cos x的增区间，即，k∈Z，据此只需写内的任何一个非空子集，例如.故答案为(答案不唯一). 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)若≤α≤，求函数y＝sin2α－sin α＋1的最大值与最小值. 解：令t＝sin α. 因为α∈，结合单位圆知t∈， 所以y＝t2－t＋1＝＋，t∈， 又该函数在t∈上单调递增， 所以当t＝时，ymin＝－＋1＝； 当t＝1时，ymax＝1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知角A，B是三角形ABC的两个内角，则点P(cos A，cos B) A.不可能在第一象限 B.不可能在第二象限 C.不可能在第三象限 D.不可能在第四象限 √ 对于A，当角A，B是锐角时，cos A＞0，cos B＞0，点P在第一象限，故A错误；对于B，当角A是钝角，角B是锐角时，cos A＜0，cos B＞0，点P在第二象限，故B错误；对于C，因为三角形最多有一个钝角，故cos A与cos B不可能同时小于0，即点P不可能在第三象限，故C正确；对于D，当角A是锐角，角B是钝角时，cos A＞0，cos B＜0，点P在第四象限，故D错误.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时，y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. √ 令t＝cos x∈，则y＝(t－a)2－1，t∈，可知y＝(t－a)2－1的开口向上，对称轴为t＝a，原题意等价于：当t＝－1时，y取最大值，当t＝a时，y取最小值，结合二次函数对称性可知：0≤a≤1，所以实数a的取值范围是.故选C. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(多选题)函数y＝sin x和y＝cos x具有相同单调性的区间是 A. B. C. D. √ √ 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 对于A，y＝sin x在上单调递增，y＝cos x在上单调递减，故A不符合题意；对于B，y＝sin x在上单调递减，y＝cos x在上单调递减，故B符合题意；对于C，y＝sin x在上单调递减，y＝cos x在上单调递增，故C不符合题意；对于D，y＝sin x在上单调递增，y＝cos x在上单调递增，故D符合题意.故选BD. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知f(x)＝－sin x. (1)试写出f(x)的单调区间； 解：因为f(x)＝－sin x， 根据正弦函数y＝sin x的单调性可知，f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 单调递增区间为(k∈Z). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围. 解：因为f(x)在上单调递减， 所以⊆，即－＜a≤. 所以实数a的取值范围为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(开放题)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝__________ ______________.(注：f(x)不是常函数) ①f(0)＝；②f(x＋2π)＝f(x). sin x＋ (答案不唯一) 由f(x＋2π)＝f(x)知函数的一个周期是2π，则f(x)＝sin x＋满足条件②.因为f(0)＝sin 0＋＝，所以f(x)＝sin x＋满足条件①. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知函数f(x)＝. (1)判定函数f(x)是否为周期函数； 解：函数f(x)的定义域是R. 因为f(x＋2π)＝＝＝f(x)，所以f(x)是周期函数. (2)求函数f(x)的单调递增区间； 解：由正弦函数的基本性质，可知在区间(k∈Z)上，函数y＝sin x单调递增，而此时函数h(x)＝2－sin x单调递减且h(x)值域为[1，3]，从而可知此时函数f(x)单调递增， 故可知函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)当x∈时，求f(x)的值域. 解：设t＝sin x，则t∈， 所以1≤2－t＜，则＜≤1. 故f(x)的值域为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 返回 $