1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦任意角正弦函数、余弦函数的概念及性质，通过问题导思从初中锐角三角函数过渡，借助单位圆构建从具体到抽象的学习支架，衔接锐角到任意角的定义拓展。 其亮点在于以问题链驱动数学抽象，通过典例与变式训练提升数学运算素养，结合分层评价巩固应用。学生能循序渐进掌握概念，教师可依托系统资源高效开展教学。

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 　 第一章　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.借助单位圆理解任意角正弦函数、余弦函数的定义，培养学生数学抽象的核心素养.　 2.通过任意角正弦函数、余弦函数定义的应用，提升学生数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　任意角的正弦函数和余弦函数 1 任务二　任意角的终边上任一点的正弦函数、 余弦函数的定义 2 任务三　由角的终边所在直线求正弦函数值、 余弦函数值 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　任意角的正弦函数和余弦函数 返回 问题1.如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦的定义，能否用点P的坐标表示sin α， cos α？ 提示：当α为锐角时，cos α＝u，sin α＝v. 问题导思 问题2.一般地，给定任意角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？ 提示：一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标u还是纵坐标v，都是唯一确定的，且cos α＝u，sin α＝v，即点P的横坐标u和纵坐标v都是角α的函数. 新知构建 1.锐角的正弦函数和余弦函数 如图所示， 对于锐角α，点P的纵坐标v是该角的正弦值， 记作v＝________；点P的横坐标u是该角的余弦值，记作 u＝________. 对于每一个锐角α，都有唯一的坐标(u，v)与之对应，在弧 度意义下，α∈(0，)，称v＝sin α为锐角α的正弦函数，u＝cos α为锐角α的余弦函数. sin α cos α 2.任意角的正弦函数和余弦函数 如图所示， 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单 位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是 唯一确定的.仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的 纵坐标v叫作角α的________，记作v＝sin α；把点P的 横坐标u叫作角α的________，记作 u＝cos α.于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝cos α为任意角α的余弦函数. 正弦值 余弦值 (链教材P15例2)在单位圆中，α＝. (1)画出角α； 解：以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示. 典例 1 (2)求角α的终边与单位圆的交点坐标； 解：设点P(u，v)，点P在第二象限， 则所以点P的坐标为. (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解：由任意角正弦函数、余弦函数的定义，得sin ＝v＝，cos ＝u＝－. 　　利用任意角的正弦函数和余弦函数的定义求角的正弦、余弦值的关键在于确定角的终边与单位圆的交点坐标. 规律方法 对点练1.在单位圆中，α＝－. (1)画出角α； 解：因为－＝－2π＋(－)，所以－与－终边相同. 以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，角α如图所示. (2)求角α的终边与单位圆的交点P的坐标； 解：过点P作x轴的垂线交x轴于点M.于是∠MOP＝－.设点P(u，v)，则u＝，v＝－，即点P的坐标为. (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解：由任意角正弦函数、余弦函数的定义，得 sin＝v＝－，cos＝u＝. 返回 任务二　任意角的终边上任一点的正弦函数、 余弦函数的定义 返回 问题3.已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的任一点，如何求sin α与cos α？ 提示：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形.如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝.分别过点P，Q作 x轴的垂线PM，QN，垂足为M，N.易知△POM∽△QON.所以 ＝，即＝. 因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同，于是得到sin α＝. 同理，cos α＝.当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 问题导思 　　设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝ ，cos α＝ ，其中r＝. 新知构建 角α的正弦、余弦函数值的大小与α终边上点的位置有关系吗？ 提示：角α的正弦、余弦函数值的大小与α终边上的点的位置无关. 微思考 (链教材P15例1)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ的值. 解：由题意知r＝｜OP｜＝，由三角函数定义得cos θ＝＝. 又因为cos θ＝x，所以＝x.因为x≠0，所以x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝. 当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝. 综上，sin θ的值为. 典例 2 变式探究 (变条件、变设问)在本例中，将“cos θ＝x”改为“sin θ＝”，求x的值. 解：因为｜OP｜＝，所以sin θ＝＝，解得x2＝1，所以x＝±1. 1.已知角α终边上除原点外的任一点的坐标，求三角函数值的方法 (1)先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. (2)在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. 2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 规律方法 对点练2.(1)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则cos α ＝ A.－ B. C.－ D. √ 因为角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点，所以cos α＝.故选B. (2)已知α是第二象限的角，P(x，8)为其终边上的一点，且sin α＝，则x＝ A.－6 B.±6 C.± D.－ √ 依题意，x＜0，r＝＝(O为坐标原点)，则sin α＝＝，所以x＝－6.故选A. 返回 任务三　由角的终边所在直线求正弦函数值、 余弦函数值 返回 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值. 解：在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)， 则r＝＝5｜a｜. 当a＞0时，r＝5a，故sin α＝＝－， cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－. 当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝＝， cos α＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝2×＋＝. 故2sin α＋cos α的值为或－. 典例 3 　　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为sin α＝，cos α＝ . 规律方法 对点练3.(1)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线2x＋y＝0(x＞0)上，则2sin α＋cos α的值是_______. － 在射线2x＋y＝0(x＞0)上任取一点P(a，－2a)(a＞0)，则sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－. (2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为______. 0 设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝＝｜k｜.当k＞0时，r＝k，所以sin α＝＝－，＝＝，所以10sin α＋＝－3＋3＝0.当k＜0时，r＝－k，所以sin α＝＝，＝＝－，所以10sin α＋＝3－3＝0.综上，10sin α＋＝0. 返回 课堂小结 任务再现 1.任意角的正弦函数和余弦函数.2.任意角的终边上任一点的正弦函数、余弦函数的定义. 3.由角的终边所在直线求正弦函数值、余弦函数值 方法提炼 定义法、转化与化归思想、分类讨论思想 易错警示 正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关 随堂评价 返回 1.已知角α的终边过点，则cos α＝ A. B.－ C. D.－ √ 依题意，得cos α＝＝－.故选B. 2.已知角α终边上一点P，若sin α＝，则实数m的值为 A.1 B.2 C.±1 D.±2 √ 由三角函数定义可得sin α＝＝，解得m＝±1.故选C. 3.(多选题)若sin α＝－，则下列各点可能是角α终边上的点的是 A. B. C. D. √ √ 选项中的点均为平面直角坐标系中单位圆上的点，由三角函数的定义，知y＝sin α＝－.故选CD. 4.已知α∈(0，2π)，且α的终边上一点的坐标为，则α＝_______. α的终边上一点的坐标为，即α的终边上一点的坐标为，位于第一象限，所以cos α＝＝，因为α∈(0，2π)，所以α＝. 返回 课时分层评价 返回 1.已知角α的终边上一点，则sin α的值为 A.－ B. C.－ D. √ 因为角α的终边上有一点，所以r＝＝1，所以sin α＝＝－.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知sin α＝－，cos α＝，则α的终边与以原点为圆心，5为半径的圆的交点的坐标为 A. B. C. D. √ 设交点为，则 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选题)已知角α的终边经过点P，则下列结论正确的是 A.若sin α＝，则m＝1 B.若m＝1，则sin α＝ C.若cos α＝－，则m＝1 D.若m＝1，则cos α＝－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由sin α＝，得＝，解得m＝1(负值舍去)，故A正确；由m＝1，得sin α＝＝，cos α＝－，故B、D正确；由cos α＝－，得＝－，解得m＝±1，故C错误.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知点P在角α终边上，且cos α＝m，则sin α＝ A.－ B. C.－ D. √ 因为点P在角α终边上，且cos α＝m，即cos α＝＝m，解得m2＝5，所以sin α＝＝＝－.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sin α的值为 A.－1 B.1 C.± D. √ 当角α的终边为射线x＋y＝0(x≤0)时，取点P1(－1，1)，则｜OP1｜＝＝，sin α＝＝，当角α的终边为射线x＋y＝0(x≥0)时，取点P2(1，－1)，则｜OP2｜＝＝，sin α＝＝－，所以sin α的值为±.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a，4｜a｜)，其中a≠0，则下列取值有可能的是 A.sin α＝－ B.cos α＝－ C.sin α＋cos α＝ D.sin α－cos α＝ √ √ √ 当a＞0时，P(3a，4a)，则sin α＝＝＝，cos α＝＝，则sin α＋cos α＝，sin α－cos α＝，此时D正确；当a＜0时，P(3a，－4a)，则sin α＝＝，cos α＝＝－，则sin α＋cos α＝，sin α－cos α＝，此时B、C正确.综上，A错误，B、C、D可能正确.故选BCD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.在平面直角坐标系中， 角α的终边过点(－4，－3)，则sin α＋3cos α＝_______. －3 因为角α的终边过点(－4，－3)，所以sin α＝＝－，cos α＝＝－，得到sin α＋3cos α＝－－＝－3. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是__________. (－2，3] 由cos α≤0，sin α＞0可知，解得－2＜a≤3，即实数a的取值范围是(－2，3]. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为α，若cos α＝，则这条射线是______. OA 依题意，设每个小正方形的边长均为1，得点A，B，C，D，则cos ∠AOx＝cos α＝.故这条射线为OA. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(15分)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α的值. 解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)， 由r＝OP＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝. 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)， 由r＝OQ＝＝， 得sin α＝＝－，cos α＝＝－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.在平面直角坐标系xOy中，角α与β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若cos α＝－，则cos β＝ A. B.－ C. D.－ √ 设角α与β的终边分别与单位圆交于点(x1，y1)，(x2，y2)，因为它们的终边关于y轴对称，所以x2＝－x1且y2＝y1，因为cos α＝－，所以x1＝－，所以cos β＝x2＝－x1＝.故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，且cos α＝，则实数a的值是 A.－4和 B. C.－4 D.1 √ 由三角函数的定义可得cos α＝＝＝，则a＞0，整理可得5a2＋16a－16＝0，因为a＞0，解得a＝.故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.如图，角α的顶点在坐标原点O，始边为x轴的正半轴，角α终边上一点P到O的距离为r，则点P的坐标为_______________.(用α和r表示) 由题意点P在第二象限，设它的坐标为，那么由三角函数定义有sin α＝，cos α＝，解得x＝rcos α，y＝rsin α，即点P的坐标为. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. (1)若cos α＝，求y0的值； 解：由题意知，｜OA｜＝，因为cos α＝，所以＝，解得＝4，所以y0＝±2. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若y0＝－4，求的值. 解：当y0＝－4时，｜OA｜＝＝4， 所以sin α＝－，cos α＝， 所以＝＝＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(新情境)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.如图，在赵爽弦图中直角三角形较小的锐角记为α，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin α＝ A. B. C. D. √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y，由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，所以故sin α＝＝.故选C. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(多选题)如图，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，过点T(x0，sin x0)，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，下列说法正确的是 A.若x0＝，则x1＝－ B.若x0＝，则y2＝ C.若x1＝－，则cos x0＝ D.若x2＝，则sin x0＝ √ √ 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 由题意可知y1＝y2＝sin x0，若x0＝，则y1＝y2＝sin ＝，则x1＝－＝－，故A、B正确；若x1＝－，则cos x0＝±，故C错误；若x2＝，则cos x0＝±，所以sin x0＝±＝±，故D错误.故选AB. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 返回 $