1.3.1-1.3.2 弧度概念 弧度与角度的换算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦弧度制，涵盖弧度概念、角度弧度互化、扇形弧长与面积公式及角的弧度制表示，通过问题导思衔接角度制，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动数学抽象，如通过同心圆弧长与半径关系引入弧度概念，结合典例与分层评价培养数学运算，角的集合表示发展直观想象。小结系统提炼方法，助学生深化理解，教师教学更高效。

3.1　弧度概念　 3.2　弧度与角度的换算 　 第一章　§3　弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，培养数学抽象的核心素养.　 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系，提升直观想象的核心素养.　 3.理解弧度制下弧长与面积公式，培养数学运算和直观想象的核心素养. 内容索引 任务一　弧度概念 1 任务二　弧度与角度的换算 2 任务三　扇形的弧长和面积公式 3 课时分层评价 6 任务四　用弧度制表示角 4 随堂评价 5 任务一　弧度概念 返回 问题1.角度是怎么定义的？这种度量单位的确定与单位线段有关吗？ 提示：把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制.这种度量单位的确定与单位线段无关. 问题2.如图，三个圆为同心圆，，，的长都等于 相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径的大小有没有 关系？弧长与半径的比分别为多少？ 提示：没有关系；都等于1. 问题导思 1.角度制和弧度制 新知构建 角度制 以____作为单位来度量角的单位制叫作角度制，用周角的作为一个单位，称为1度角 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作______.以______作为单位来度量角的方法，称作弧度制 度 弧度 弧度 2.弧度数的计算 正 负 0 (1)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.(2)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数. 微提醒 下列各命题中，真命题是 A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 √ 典例 1 根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确.故选D. 1.圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. 2.任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 规律方法 对点练1.(1)下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.半径较大的圆中1弧度的圆心角比半径较小的圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 √ 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. (2)(多选题)下列命题中，正确的是 A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.若α是第一象限的角，则－α也是第一象限的角 C.若两个角的终边重合，则这两个角相等 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关 √ √ 对于A，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故A错误；对于B，若α是第一象限的角，则－α是第四象限的角，所以－α＋是第一象限的角，故B正确；对于C，当α＝30°，β＝390°时，α与β终边重合，但两个角不相等，故C错误；对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度制和弧度制的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D正确.故选BD. 返回 任务二　弧度与角度的换算 返回 问题3.周角等于多少弧度？半周角等于多少弧度？ 提示：由α＝，令l＝2πr，l＝πr分别得到周角等于2π弧度，半周角等于π弧度. 问题导思 1.弧度与角度的换算 新知构建 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° ______ 45° ______ 90° ______ 135° 150° 180° ______ 360° 弧 度 0 ____ ____ ____ ____ ____ _____ 30° 60° 120° 270° π 2π (1)弧度单位rad可以省略.(2)角度制与弧度制是两种不同的度量角的方式，二者不能混用，如α＝k·360°＋(k∈Z)是错误的. 微提醒 (链教材P10例1、例2)将下列角度与弧度进行互化： (1)20°； 解：20°＝20× rad＝ rad. (2)－15°； 解：－15°＝－15× rad＝－ rad. (3)； 解：π rad＝×180°＝105°. (4)－π. 解：－π rad＝－×180°＝－396°. 典例 2 角度与弧度的互化技巧 　　在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数.一般情况下，省略弧度单位rad. 规律方法 对点练2.(多选题)下列转化结果正确的是 A.67°30'化成弧度是 B.－化成角度是－600° C.－150°化成弧度是 D.化成角度是5° √ √ 对于A，67°30'＝67.5×＝，故A正确；对于B，－＝ －×＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝ －，故C错误；对于D，＝×＝15°，故D错误.故选AB. 返回 任务三　扇形的弧长和面积公式 返回 问题4.我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 提示：初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道α＝. 问题导思 　　设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝______. (2)扇形面积公式：S＝_____＝_______. 新知构建 αR lR αR2 在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算. 微提醒 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α＞0). (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； 解：由题意得 解得(舍去)，或. 典例 3 (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积. 解：由已知得，l＋2R＝20. 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，×α×R2＝25，解得α＝2. 故当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积为 25 cm2. 扇形的弧长和面积的求解策略 1.记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π). 2.找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 规律方法 对点练3.(1)若扇形所对圆心角为2 rad，且该扇形面积为1 cm2，那么该扇形的弧长为 A.1 cm B. cm C.2 cm D.2 cm √ 设扇形半径为r，弧长为l，圆心角为α，则扇形面积为S＝αr2＝×2×r2＝1，故r＝1，故弧长为l＝αr＝2.故选C. (2)已知扇形的周长为6，面积为，则该扇形的圆心角大小为______弧度. 2 设扇形的半径为r，圆心角为α，依题意，得所以该扇形的圆心角大小为2弧度. 返回 任务四　用弧度制表示角 返回 已知α＝－1 920°. (1)将α写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出它是第几象限角； 解：因为－1 920°＝－12π＋，π＜＜， 所以将α写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式为－1 920°＝－12π＋，它是第三象限角. 典例 4 (2)求与α终边相同的角θ，满足－4π≤θ＜0. 解：因为θ与α的终边相同，所以令θ＝2kπ＋，k∈Z， 当k＝－1，k＝－2满足题意，故θ＝－，－. 用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 1.用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. 2.注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性. 规律方法 对点练4.(1)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是 A. B. C. D.(k∈Z) √ 阴影部分的两条边界分别是角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z).故选D. (2)把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈)的形式是__________. －4π＋ 因为－570°＝－570×＝－π rad，所以－＝－4π＋. 返回 课堂小结 任务再现 1.弧度概念. 2.弧度与角度的换算.3.扇形的弧长和面积公式. 4.用弧度制表示角 方法提炼 公式法、转化与化归思想 易错警示 弧度与角度混用 随堂评价 返回 1.把π弧度化成角度是 A.30° B.60° C.90° D.120° √ 因为π＝180°，所以π＝×180°＝120°.故选D. 2.315°＝ A. B. C. D. √ 315°角对应的弧度数为π＝π.故选B. 3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 A.π B. C. D. √ 由弧长为，得扇形所在圆半径r＝＝3，所以扇形面积为×3×＝.故选D. 4.角顺时针旋转后所得角的弧度数是______. － 角＋＝－. 返回 课时分层评价 返回 1.在0～2π范围内，与－角终边相同的角是 A. B. C. D. √ 因为＝－＋2π，所以与－.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则下列结论正确的是 A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 √ 因为l＝αR，所以α＝.当R，l均变为原来的2倍时，α不变.扇形的面积S＝αR2，因为α不变，R变为原来的2倍，所以S变为原来的4倍.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.集合中角所表示的范围(阴影部分)是 √ 当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列与45°终边相同角的集合中正确的是 A. B. C. D. √ 因为角度制和弧度制不能混用，故A、B错误；因为45°＝，－2π＝－，故C正确；对于D，因为α－＝－＝kπ≠2kπ，k∈Z，则α＝kπ＋，k∈Z与45°终边不一定相同，故D错误.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)下列结论正确的是 A.－是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C.与－2 026°角终边相同的最小正角是134° D.终边落在直线y＝x上的角的集合是 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 对于A，因为－＝－2π且为第二象限角，所以－为第二象限角，故A错误；对于B，扇形的半径为r＝＝3，因此，该扇形的面积S＝×π×3＝，故B正确；对于C，因为－2 026°＝－360°×6＋134°，所以与－2 026°角终边相同的最小正角是134°，故C正确；对于D，终边落在直线y＝x上的角的集合为，故D错误.故选BC. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，有下列四个命题：甲：α＝，乙：r＝1，丙：l＝，丁：S＝.若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 假设甲为假命题，S＝r·l＝×1×＝≠，故乙丙丁有一个是假命题，故甲是真命题；假设丁为假命题，l＝α·r＝×1＝≠，故乙丙有一个是假命题，故丁是真命题；假设丙为假命题，S＝αr2＝××1＝≠，故丙是真命题，乙是假命题.故选B. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(开放题)写出一个与角－1 280°终边相同的正角：α＝_______________ ________________________ (用弧度数表示). (答案不唯一， 符合＋2kπ，k∈N即可) 与角－1 280°终边相同的角：α＝－1 280°＋360°·k，k∈Z，因为α＞0，所以k≥4，k∈Z，所以α可取160°，化为弧度数为.(答案不唯一，符合＋2kπ，k∈N即可). 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.圆的一条弧的长度等于圆内接正六边形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数为______. 1 设圆的半径为r，由于圆内接正六边形每条边长对应的圆心角为60°，如图所示，则圆内接正六边形的边长为r，所以这条弧所对的圆心角为＝1. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为__________________________________. 终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(15分)已知扇形的半径r＝2 cm，周长为C＝cm， (1)求扇形的面积； 解：设扇形的弧长为l，因为r＝2 cm， 依题意，得扇形的周长为C＝2r＋l＝2×2＋l＝4＋，所以l＝， 所以扇形的面积为S＝lr＝××2＝ cm2. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)在区间上求出与此扇形的圆心角α终边相同的角. 解：由(1)可知，圆心角α＝＝＝， 故与α终边相同的角的集合为S＝ ， S中适合0≤β≤4π的元素β有＋0×2π＝，＋1×2π＝， 故在区间[0，4π]上与此扇形的圆心角α终边相同的角为. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新情境)现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为 A.－ B. C. D. √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 依题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为6×15°＝90°，即弧度数为.故选D. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.设集合A＝，B＝，则A∩B＝ A. B. C. D. √ 当k＝0时，x＝±，当k＝1时，x＝或x＝，当k取其他整数时，均不在内，故A∩B＝.故选C. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(双空题、新定义)《九章算术》是我国古代数学成就 的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经 验公式为：弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)，弧田如图，由 圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为4米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为______米；面积为____________平方米. 2 4＋2 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 如图所示，过O作OM⊥AB于M，OM的延长线交于C. 则∠AOB＝，AB＝4米，所以∠AOM＝∠MOB＝ ，AM＝MB＝2米，所以AO＝＝＝4米，OM＝OAcos ∠AOM＝2米，所以矢为CM＝OC－OM＝2米，则弧田面积是×＝(4＋2)平方米. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案. (1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 解：因为△OAB是顶角为、腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝，OM＝ON＝1. 方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2×＝4＋， 方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1×＝2＋， 所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为＝2－. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)比较两种方案中扇形面积的大小. 解：方案一中扇形的面积S1＝××22＝， 方案二中扇形的面积S2＝××12＝，所以S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(多选题)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是 A.＝ B.若＝，扇形的半径R＝3，则S1＝2π C.若扇面为“美观扇面”，则θ＝π D.若扇面为“美观扇面”，半径R＝20，则扇形面积为200π √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，S1，S2所在的扇形的圆心角分别为θ，2π－θ， 所以＝＝，故A正确；对于B，若＝ ＝，则θ＝，又R＝3，则S1＝·θ·R2＝××9＝ 3π，故B错误；对于C，若＝＝，所以θ＝π，故C正确；对于D，若＝＝，θ＝π，又R＝20，所以S1＝·θ·R2＝×π×400＝200π，故D正确.故选ACD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(新定义)扇环是指一个圆环从圆心引出两条射线截 出的部分.组成同一扇环的大、小两弧分别称为外弧与 内弧，外弧与内弧在其对应圆上对应的弦为外弦与内 弦.如图：A，B两个全等的扇环圆心角为60°，按此方式摆放，我们会认为B环更大，这就是“贾斯特罗错觉”.现顺势延长A环使A环的内弧长等于B环的外弧长，若外、内弧对应圆半径比为2∶1，则延长后A的内弦与B的外弦长度比为__________. ∶2 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 设外、内弧对应圆半径分别为r2，r1，且r2∶r1＝2∶1， 设延长A环后增加的圆心角为θ，由已知可得B的外弧 长：·r2，A的内弧长：·r1，由题意可得 ·r1＝·r2，解得θ＝；易得延长后A的内弦长为r1，B的外弦长为r2，显然长度比为∶2. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 3.1　弧度概念　 3.2　弧度与角度的换算 返回 $