1.2.1-1.2.2 角的概念推广 象限角及其表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“任意角”核心内容，涵盖角的概念推广、象限角、终边相同的角及区域角表示，通过拧螺丝、校准时钟等生活实例导入，衔接初中静态角知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合图形直观，如用时钟校准实例引导学生用数学眼光观察旋转现象，通过典例分析与规律总结培养数学思维和运算能力，分层评价设计助力教师精准教学，帮助学生深化概念理解，提升核心素养。

2.1　角的概念推广　2.2　象限角及其表示 　 第一章　§2　任意角 学习目标 1.结合实例，了解任意角的概念的推广及其实际意义，培养学生数学抽象的核心素养.　 2.理解象限角的概念、特征及其表示方法.　 3.理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角，提升直观想象和数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　角的概念推广 1 任务二　象限角及其表示 2 任务三　终边相同的角 3 课时分层评价 6 任务四　区域角的表示 4 随堂评价 5 任务一　角的概念推广 返回 问题1.在生活中，拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧.可以旋转一圈，也可以旋转多圈，那么如何描述这种现象呢？ 提示：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，按顺时针方向旋转一周所成的角为－360°，按逆时针方向旋转一周所成的角为360°. 问题导思 问题2.如图所示的时钟慢了5分钟，校准时钟的过程中分针、秒针分别转过多少角度？ 提示：校准时钟的过程中分针、秒针分别转过的角度为－30°，－1 800°. 新知构建   定义 图示 角的概念 平面内一条射线OA绕着它的________按箭头所示方向旋转到______________，形成角α.如图，其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的______，射线OB是角α的______   端点O 终止位置OB 始边 终边   定义 图示 角的 分类 (按旋 转方 向) 正角 按____________旋转形成的角   负角 按____________旋转形成的角   零角 如果一条射线____________旋转，称它形成了一个零角；零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0°   逆时针方向 顺时针方向 没有作任何 如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得的新角的终边与原角的终边有什么关系呢？ 提示：它们的终边重合. 微思考 写出图①，②中的角α，β，γ的度数. 解：在题图①中，α＝360°－30°＝330°； 在题图②中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 典例 1 规律方法 对点练1.(1)如图，圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向旋转， 10 min转一圈，24 min之后OP从起始位置OA转过的角是 A.－864° B.432° C.504° D.864° √ 因为点P以A为起点按逆时针方向旋转，10 min转一圈，所以点P逆时针方向旋转一分钟转的度数为＝36°，所以24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24＝864°，故选D. (2)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__________. －75° 由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°. 返回 任务二　象限角及其表示 返回 问题3.我们把角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，能否按照角的终边所处的位置将角进行分类？ 提示：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 问题导思 象限角的概念 　　将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是____________；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限. 新知构建 第几象限角 “锐角”与“第一象限角”有何不同？ 提示：锐角是大于0°且小于90°的角，锐角是第一象限角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角. 微思考 (链教材P6例1)(1)(多选题)在下列四个角中，属于第二象限角的是 A.160° B.480° C.1 530° D.－960° √ 典例 2 √ √ 对于A，160°很显然是第二象限角；对于B，480°＝120°＋360°是第二象限角；对于C，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角；对于D，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角.故选ABD. (2)(多选题)下列说法中正确的是 A.锐角是第一象限角 B.第二象限角为钝角 C.小于90°的角一定为锐角 D.角α与－α的终边关于x轴对称 √ √ 对于A，因为锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，故A正确；对于B，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如510°的角的终边位于第二象限，但不是钝角，故B错误；对于C，小于90°的角不一定是锐角，如－30°的角小于90°，但不是锐角，故C错误；对于D，由角的定义可知，角α与－α的终边关于x轴对称，故D正确.故选AD. 象限角的判断方法 1.当0°≤α＜360°时，直接写出结果. 2.当α＜0°或α≥360°时，将α化为β＋k·360°，k∈Z(0°≤β＜360°)，转化为判断角β所属的象限. 规律方法 对点练2.(1)(多选题)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ √ 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m×180°＋225°＝m×360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m×360°＋45°，故α为第一象限角.故角α的终边落在第一或第三象限.故选AC. (2)给出下列四个命题：①－75°角是第四象限的角；②225°角是第三象限的角；③475°角是第二象限的角；④－315°是第一象限的角.其中真命题有______个. 4 由象限角的定义即可判断，－75°角是第四象限的角；225°角是第三象限的角.故①②正确；475°＝360°＋115°，所以475°角是第二象限的角，③正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°角是第一象限的角，④正确.所以真命题有4个. 返回 任务三　终边相同的角 返回 问题4.给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示：给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°. 问题导思 终边相同的角 　　一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝____________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的________的和. 新知构建 {β｜β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数倍 终边相同的角一定相等吗？ 提示：不一定.如30° 与390°角的终边相同，但并不相等. 微思考 (链教材P7例3)写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来： (1)120°； 解：与120°终边相同的角的集合为{β｜β＝120°＋k·360°，k∈Z}， 由－720°≤120°＋k·360°＜360°，可得－≤k＜， 当k＝－2时，β＝120°－2×360°＝－600°， 当k＝－1时，β＝120°－360°＝－240°， 当k＝0时，β＝120°， 所以适合不等式－720°≤β＜360°的元素β为－600°、－240°、120°. 典例 3 (2)－325°. 解：因为－325°＝35°－360°， 所以与－325°终边相同的角的集合为{β｜β＝35°＋k·360°，k∈Z}， 由－720°≤35°＋k·360°＜360°，可得－≤k＜， 当k＝－2时，β＝35°－2×360°＝－685°， 当k＝－1时，β＝35°－360°＝－325°， 当k＝0时，β＝35°. 所以适合不等式－720°≤β＜360°的元素β为－685°、－325°、35°. 终边相同的角的表示 1.终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式. 2.终边相同的角相差360°的整数倍. 3.终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. 规律方法 对点练3.(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于 A.120°＋k·360°，k∈Z　　 B.120°＋k·180°，k∈Z C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z √ 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.故选B. (2)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为 A. B. C. D. √ 由题意知角α的终边在直线y＝－x上，故α＝k·360°－45°，k∈Z或α＝k·360°＋135°，k∈Z，即α＝2k·180°－45°，k∈Z或α＝·180°－45°，k∈Z，故角α的取值集合为{α｜α＝k·180°－45°，k∈Z}.故选D. 返回 任务四　区域角的表示 返回 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界)： 解：由题图①可知，这是对顶角区域的表示问题，结合图象， 所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°或k·360°＋225°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{α｜n·180°＋45°≤α≤n·180°＋90°，n∈Z}. 典例 4 由题图②可知，在－180°～180°的范围内，阴影部分为－150°～120°， 所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜k·360°－150°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}. 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合. 规律方法 对点练4.(1)若角α的终边落在如图所示的阴影部分中(不包含边界)，则角的集合为___________________________________________. {α｜k·360°－30°＜α＜k·360°＋75°，k∈Z} 以OA为终边的角为75°＋k·360°(k∈Z)，以OB为终边的角为k·360°－30°(k∈Z)，因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α｜k·360°－30°＜α＜k·360°＋75°，k∈Z}. (2)已知α是第二象限角，则角为第__________象限角. 一或三 因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z)，所以·360°＋45°＜＜·360°＋90°(k∈Z).当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角.所以为第一或三象限角. 返回 课堂小结 任务再现 1.角的概念的推广.2.象限角与终边相同的角的概念与应用 方法提炼 数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z 随堂评价 返回 1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是 A.120° B.－120° C.240° D.－240° √ 一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°.故选D. 2.与－67°角终边相同的角是 A.23° B.113° C.203° D.293° √ 与－67°终边相同的角一定可以写成－67°＋360°·k的形式，其中k∈Z，令k＝1可得，－67°与293°终边相同，其他选项均不符合题意.故选D. 3.985°的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 因为985°＝265°＋2×360°，所以985°的终边与265°的终边相同，而265°的终边在第三象限，所以985°的终边在第三象限.故选C. 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是______________________________________________. {α｜45°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z} 观察图形可知，角α的集合是{α｜45°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}. 返回 课时分层评价 返回 1.在平面直角坐标系中，下列与角420°终边相同的角是 A.20° B.60° C.120° D.150° √ 由题意可知420°＝360°＋60°，所以60°与 420°终边相同.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是 A.－43°与677° B.900°与－1 260° C.－120°与960° D.150°与630° √ 对于A，由于677°＝360°×2－43°，所以－43°和677°终边相同；对于B，由于－1 260°＝－360°×6＋900°，所以900°和－1 260°终边相同；对于C，由于960°＝360°×3－120°，所以－120°和960°终边相同；对于D，由于630°＝360°＋270°，所以150°和630°终边不相同.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是 A.120° B.135° C.150° D.165° √ 一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为＝30°，丑时与午时相差5个时辰，故丑时与午时的夹角为30°×5＝150°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 √ 当k＝2n，n∈Z时，{α｜n·360°≤α≤n·360°＋60°，k∈Z}，当k＝2n＋1，n∈Z时，{α｜n·360°＋180°≤α≤n·360°＋240°，k∈Z}，所以选项C满足题意.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若α是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是 A.90°－α B.180°－α C.270°－α D.－α √ 若α是第一象限角，则k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，－90°－k·360°＜－α＜－k·360°，k∈Z，则－α是第四象限角，故D错误；－k·360°＜90°－α＜90°－k·360°，k∈Z，则90°－α是第一象限角，故A错误；90°－k·360°＜180°－α＜180°－k·360°，k∈Z，则180°－α是第二象限角，故B错误；180°－k·360°＜270°－α＜270°－k·360°，k∈Z，则270°－α是第三象限角，故C正确.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知α为钝角，则下列各角中为第三象限角的是 A.90°＋α B.α＋180° C.360°－α D.270°－α √ √ 因为α为钝角，则90°＜α＜180°，所以180°＜90°＋α＜270°，所以90°＋α 为第三象限角；270°＜α＋180°＜360°，所以α＋180°为第四象限角；180°＜360°－α＜270°，所以360°－α为第三象限角；90°＜270°－α＜180°，所以270°－α为第二象限角.故选AC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.在0°～360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角为____________. 120°和300° 与－60°角的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.因为所求角在0°～360°范围内，所以0°≤－60°＋k·180°≤360°，解得≤k≤，k∈Z，所以k＝1或2，当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝_______. 270° 因为角5α与α具有相同的始边与终边，所以5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，所以α＝k·90°，k∈Z.又180°＜α＜360°，所以α＝270°. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.终边在坐标轴上的角的集合为____________________. {α｜α＝k·90°，k∈Z} 终边在x轴上的角的集合为α1＝k·180°＝2k·90°，k∈Z，终边在y轴上的角的集合为α2＝k·180°＋90°＝(2k＋1)·90°，k∈Z，所以终边在坐标轴上的角的集合为{α｜α＝k·90°，k∈Z}. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角： (1)最大的负角； 解：与530°角终边相同的角的集合为{β｜β＝k·360°＋530°，k∈Z}. 由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°. (2)最小的正角； 解：与530°角终边相同的角的集合为{β｜β＝k·360°＋530°，k∈Z}. 由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (3)－720°到－360°的角. 解：与530°角终边相同的角的集合为{β｜β＝k·360°＋530°，k∈Z}. 由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.若角α的终边与角θ的终边关于x轴对称，则α＋θ的终边落在 A.x轴的非负半轴 B.第一象限 C.y轴的非负半轴 D.第三象限 √ 角α的终边与角θ的终边关于x轴对称，则角－α的终边与角θ的终边相同，得θ＝－α＋k·360°，则有α＋θ＝k·360°，所以α＋θ的终边落在x轴的非负半轴.故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12. “α为三角形的一个内角”是“α为第一、二象限角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 √ α为三角形的一个内角，当α＝90°时，α不是第一、二象限角，故“α为三角形的一个内角”推不出“α为第一、二象限角”；当α为第一、二象限角时，不妨取α＝420°，α不是三角形的一个内角，故“α为第一、二象限角”推不出“α为三角形的一个内角”；故“α为三角形的一个内角”是“α为第一、二象限角”的既不充分又不必要条件.故选D. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.如果角α与x＋45°具有相同的终边，角β与x－45°具有相同的终边，那么角α与角β之间满足的等量关系是____________________________. α－β＝90°＋k·360°，k∈Z 因为角α与x＋45°具有相同的终边，所以α＝x＋45°＋k1·360°，k1∈Z，又角β与x－45°具有相同的终边，所以β＝x－45°＋k2·360°，k2∈Z，所以α－β＝90°＋·360°，k1，k2∈Z，令k＝k1－k2，k∈Z，则α－β＝90°＋k·360°，k∈Z. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知集合A＝{α｜k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β｜k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}. (1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域； 解：角α终边所在区域如图①所示. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域； 解：角β终边所在区域如图②所示. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)求A∩B. 解：由图①②知A∩B＝{γ｜k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z}. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，二十四节气又分为12个节气和12个中气，一一相间，二十四节气与季节、月份的关系如下表： 二十四节气反映了太阳的周年视运动，在公历中它们的日期是相对固定的，现行的二十四节气每一个分别相应于太阳在黄道上每运动15°所到达的一定位置.如春分太阳位于黄经0度，清明太阳位于黄经15度，谷雨太阳位于黄经30度，则夏至太阳位于黄经_______度. 季节 春 夏 秋 冬 月份 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 节气 立春 惊蛰 清明 立夏 芒种 小暑 立秋 白露 寒露 立冬 大雪 小寒 中气 雨水 春分 谷雨 小满 夏至 大暑 处暑 秋分 霜降 小雪 冬至 大寒 90 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 根据题意，夏至是春分后的第六个节气，故春分到夏至相应于太阳在黄道上运动了15°×6＝90°，所以夏至太阳位于黄经90度. 季节 春 夏 秋 冬 月份 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 节气 立春 惊蛰 清明 立夏 芒种 小暑 立秋 白露 寒露 立冬 大雪 小寒 中气 雨水 春分 谷雨 小满 夏至 大暑 处暑 秋分 霜降 小雪 冬至 大寒 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx ＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已 知点P在1秒内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到 达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在 的象限. 解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上， 所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z，θ＝. 又180°＜2θ＋45°＜270°， 即67.5°＜θ＜112.5°，所以67.5°＜＜112.5°， 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 又k∈Z，所以k＝3或4， 所以所求的θ的值为. 因为0°＜＜90°，90°＜＜180°， 所以θ在第一象限或第二象限. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.1　角的概念推广　 2.2　象限角及其表示 返回 $