山东省泰安市2026年一轮复习方程与不等式专题检测卷

山东省泰安市2026年一轮复习方程与不等式专题检测卷 一、单选题（共48分） 1．（本题4分）已知是方程的解，则的值是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 2．（本题4分）已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 3．（本题4分）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（本题4分）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）西汉张苍撰写的《九章算术》中有这样一道今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？意思是现在有只雀、只燕，分别聚集称他们的重量，发现聚在一起的雀重而燕轻．现将只雀、只燕交换位置而放，发现重量相等．并且只雀、只燕重量为斤．问雀和燕每只各重多少？设雀的重量为斤，燕的重量为斤，可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（本题4分）一项工程，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③___________，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　） A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的 9．（本题4分）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 10．（本题4分）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．则车的数量为（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 11．（本题4分）设m、n是一元二次方程的两个根，则（   ） A． B．4 C．2 D． 12．（本题4分）某周末，兄妹两人在图书馆买完书沿同一条路回家，哥哥慢跑回去，妹妹骑自行车带书，已知图书馆离家里的距离为．图中，分别表示兄妹两人离开图书馆的路程与时间的函数关系，根据图象得出的下列信息，其中错误的是（   ） A．妹妹的速度是哥哥的速度的倍 B．哥哥出发被妹妹追上 C．当为时，兄妹两人相距 D．哥哥到家时妹妹距图书馆 二、填空题（共24分） 13．（本题4分）在平面直角坐标系中，点在第一象限内，则a的取值范围为 ． 14．（本题4分）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为 ． 15．（本题4分）若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为 ． 16．（本题4分）如图，一个“四节登山杖”由手柄、杖身和脚垫三部分构成，全部拉伸总长．已知手柄和脚垫的长度之和，相邻杖身互相嵌套（嵌套部分长度不计），四节杖身中：第二节比第一节短，第三节长度是第一节的倍，第四节长度是，则第一节杖身的长度是 ． 17．（本题4分）对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时，的取值范围是 ． 18．（本题4分）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组的两个二元一次方程的图象如图所示，则二元一次方程组的解为 ． 三、解答题（共78分） 19．（本题9分）解方程： (1)； (2) 20．（本题10分）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种植960棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务． (1)原计划每天种植多少棵树？ (2)实际种植过程中，该村在完成种植任务的后，因天气原因暂停种植，等天气好转后继续种植剩余树木，为了不超过原计划完成时间，剩余树木每天至少要种植多少棵？ 21．（本题11分）解二元一次方程组： (1)； (2)． 22．（本题11分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为_____，“丰收2号”单位面积产量为_____（以上结果均用含的式子表示）： ②哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由； (2)某农户试种“丰收1号”．“丰收2号”两种小麦种子．两种小麦试种的单位面积产量与试验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为450平方米，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，求的值． 23．（本题12分）门贴吉祥联，户悬如意灯！贴春联、挂灯笼是春节的传统习俗．为了喜迎春节，张老板计划购进一批春联和灯笼．经了解2副春联和3个灯笼一共需要90元，5副春联和1个灯笼一共需要95元． (1)每副春联和每个灯笼各多少元？ (2)张老板购买50副春联和30个灯笼，一共需要多少元？ 24．（本题12分）为践行五育并举的教育理念．某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧． (1)该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率； (2)为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长． 25．（本题13分）小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是她在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图②），可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图①．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小雅想将剪断的重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小雅在①上补全．（一种情况即可） (2)已知这个长方体纸盒高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查方程的解的定义以及一元一次方程的求解，关键是利用方程的解的定义，将已知的解代入原方程，把原方程转化为关于的一元一次方程，再求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得：， 解得； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查已知式子的值，求二元一次方程组的参数，将方程组转化为与相关的式子，代入计算即可． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得， 故选B． 3．B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据平均增长率的公式，分别表示出11月、12月的营业额，再结合第四季度总营业额的等量关系列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则11月营业额为万元，12月营业额为万元， ∵按计划第四季度的总营业额要达到9100万元， ∴， 故选：B． 4．A 1 1 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的意义是解题的关键．能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将已知根代入方程即可求出m的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 6．A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从题干中找出两个等量关系，一是交换只雀和只燕后重量相等，二是只雀和只燕总重斤，据此列出方程组即可． 【详解】解：∵交换只雀、只燕后重量相等， ∴只雀的重量只燕的重量只燕的重量只雀的重量，即， ∵只雀、只燕总重斤， ∴， ∴可列方程组为， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了解分式方程．分式方程无解分两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根．本题中整式方程为一元一次方程，必有解，故只需计算增根对应的值即可． 【详解】解：∵原分式方程为 ∴方程两边同乘（），得 ∴整理得 ∴移项合并同类项得 ∴解得 ∵分式方程无解，且整式方程总有解 ∴是原方程的增根，即 ∴ 解得 故选：D． 8．A 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了x天，从而可以得到③后面应填入的内容，本题得以解决． 【详解】解：∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程： ， ∴甲总计工作了4天，乙总计工作了x天， 即在“甲乙合作4天，剩下的由乙单独做”的方案中，甲的工作时间为4天，乙的工作时间为天，与方程含义相符． 故选：A． 9．C 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况求参数范围，涉及一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、解不等式等知识．根据关于的一元二次方程有实数根，得到且，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得，且， 故选：C． 10．D 【分析】设车的数量为未知数，根据两种乘车方式下总人数不变的等量关系，列一元一次方程求解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设车的数量为辆 ∵两种乘车方式中总人数相等 ∴ 去括号得 移项得 合并同类项得 ∴车的数量为15辆 故选：D． 11．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程（）的两根，则，，先根据该关系求出和的值，再代入代数式计算即可. 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ 故选：C 12．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据函数图象获取信息． 由点B的横坐标可得出妹妹比哥哥迟出发5分钟；根据速度路程时间，可求出哥哥慢跑的速度和妹妹骑车的速度，进而判断出各个选项． 【详解】解：妹妹比哥哥迟出发5分钟， 哥哥慢跑的速度为（）； 妹妹的速度为：（）； ， 即妹妹的速度是哥哥的速度的倍，故选项A说法正确； 设t分钟后哥哥被妹妹追上，根据题意得，解得， 即哥哥出发被妹妹追上，故选项B说法正确； （米）， 即当t为时，兄妹两人相距，故选项C说法正确； 图书馆离家3000米，所以哥哥到家时妹妹距图书馆不可能超过3000米，故选项D说法错误． 故选：D． 13． 【分析】本题考查了第一象限点的坐标特征，求不等式组的解集．根据平面直角坐标系第一象限点的坐标特征，横坐标和纵坐标均大于零，列出不等式组求解 【详解】解：∵点在第一象限， ∴． 解得； 解得． ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 15．6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义及整体代入的思想方法是解题的关键．将方程的解代入原方程，得到关于、的关系式，再通过整体代入法求出代数式的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．30 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设第一节杖身的长度为，根据全部拉伸总长，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第一节杖身的长度为，则第二节杖身的长度为，第三节杖身的长度为，根据题意得： ， 解得：， 即第一节杖身的长度是， 故答案为：30． 17．且 【分析】本题考查了实数新定义运算，解分式方程；根据新运算定义将方程转化为分式方程，求解后得到，再结合解大于及分母不为零的条件求的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得， 去分母得， 解得， 由解大于得， 解得， 由得，即， 由 得 即， 综上， 且 ， 故答案为： 且 ． 18． 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解，就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．由题意和图象得，二元一次方程组的解为，进一步可得，即可求出答案． 【详解】解：由题意和图象得，二元一次方程组的解为， 根据二元一次方程组可得，， 解得． 故答案为：． 19．(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：在方程两边都乘以，得， 解方程，得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：在方程两边都乘以，得 解这个方程，得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 20．(1)原计划每天种植60棵树 (2)剩余树木每天至少要种植35棵 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设原计划每天种植x棵树，则实际每天种植棵树，根据每天比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务列出分式方程求解即可得出答案． （2）先求出原计划完成时间，再分别求出剩余树木数量和剩余的时间，再利用一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程： 整理得： 解得，（舍去） 经检验，是原分式方程的解． 答：原计划每天种植60棵树． （2）解：原计划完成时间为（天）． 完成种植任务的时，种植树木数量为（棵）， 实际每天种植（棵）， 已用时间为（天）． 剩余树木数量为（棵）， 剩余时间为（天）． 设剩余树木每天种植y棵，可得， 解得， 因为y为整数，所以y最小为35． 答：剩余树木每天至少要种植35棵． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可得； （2）先将方程组中的第一个方程的两边同乘以6去分母进行化简，再利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：方程组可化为， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 22．(1)①；；②“丰收号”小麦的单位面积产量高，理由见解析 (2)19 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量；②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②“丰收号”小麦的单位面积产量高，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． （2）解：根据题意，得：， 解得 经检验，是原方程的解且符合题意． ∴的值是19． 23．(1)每副春联15元，每个灯笼20元 (2)一共需要1350元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设每副春联元，每个灯笼元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）结合有理数的混合运算法则列式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每副春联元，每个灯笼元． 由题意，得， 解得， 答：每副春联15元，每个灯笼20元； （2）解：（元）， 答：一共需要1350元． 24．(1)该农场跑山鸡数量的年增长率为 (2)重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设增长率为x，根据农场今年养殖跑山鸡1000只，预计后年养殖跑山鸡1210只，列出一元二次方程即可求解； （2）设重建后的养鸡场的宽的长为y米，则的长为米，根据养鸡场的面积是161平方米，列出一元二次方程，求解并判断满足米，即可求解； 【详解】（1）解：设该农场跑山鸡数量的年增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：该农场跑山鸡数量的年增长率为． （2）解：设重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，（米）米，符合题意； 当时，（米）米，不符合题意，舍去； ∴米． 答：重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米． 25．(1)见解析（答案不唯一） (2)25000立方厘米 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （2）设底面边长为，根据棱长的和是，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【详解】（1）解：如图，粘贴的位置有四种情况如下： （2）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长， ∵长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为：（立方厘米）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $