2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第19课时： 多边形与平行四边形

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第19课时 多边形与平行四边形 一、核心知识 （一）多边形的相关概念与性质 多边形定义：由三条或三条以上 的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，分为凸多边形（内角均小于 180°）和凹多边形（中考仅考查凸多边形）。 核心要素： 边：组成多边形的线段，n 边形有___________条边； 内角：相邻两边的夹角，n 边形有___________个内角； 外角：一边与邻边延长线的夹角，n 边形有___________个外角（每个顶点处取一个外角）。 关键性质： 内角和公式：n 边形内角和为____________（n≥3，n 为整数）； 外角和性质：任意多边形的外角和为____________（与边数无关）； 对角线公式：n 边形从一个顶点出发可引 条对角线，总对角线数量为 ​ 。 正多边形特殊性质： 各边____________，各内角____________； 正 n 边形每个内角的度数为 ​，每个外角的度数为 ​ 。 （二）平行四边形的定义与性质 定义：两组对边分别___________的四边形叫做平行四边形，记作（对应顶点按顺序书写）。 核心性质（边、角、对角线）： 边的性质：对边____________； 角的性质：对角____________，邻角____________； 对角线的性质：对角线____________； 对称性：是____________图形（对称中心为对角线交点），不是轴对称图形（非特殊平行四边形）。 （三）平行四边形的判定定理（中考必考） 定义判定：两组对边分别____________的四边形是平行四边形； 边的判定： 两组对边分别____________的四边形是平行四边形； 一组对边____________的四边形是平行四边形（注意：“平行” 和 “相等” 必须同时满足，缺一不可）； 角的判定：两组对角分别____________的四边形是平行四边形； 对角线的判定：对角线____________的四边形是平行四边形。 二、核心能力 题型1 多边形内角和与外角和计算 解题思路 1. 内角和计算直接套用公式(n−2)×180°，已知内角和求边数时反向解方程； 2. 外角和恒为 360°，可通过外角和求正多边形边数（边数 =单个外角度数）； 3. 注意 “多边形内角≤180°”“外角为正数” 的隐含条件。 题型2 多边形对角线数量计算 解题思路 1. 从一个顶点出发的对角线数为n−3（减去自身及相邻两个顶点）； 2. 总对角线数为​（避免重复计算，需除以 2）； 3. 结合方程思想，已知对角线数求边数时注意检验边数为正整数。 题型 3 平行四边形的性质应用 解题思路 1. 求线段长：利用 “对边相等”“对角线互相平分” 直接转化，或结合勾股定理、方程思想求解； 2. 求角度：利用 “对角相等”“邻角互补”，结合三角形内角和、角平分线性质计算； 3. 核心：标注图形中的相等边、角，快速建立数量关系。 题型4 平行四边形的判定 解题思路 1. 已知边的关系：优先用 “一组对边平行且相等” 或 “两组对边分别相等”，需证明边的平行或相等； 2. 已知角的关系：用 “两组对角分别相等”，需证明两组对角对应相等； 3. 已知对角线关系：用 “对角线互相平分”，需证明对角线交点为中点； 4. 关键：紧扣判定定理，避免 “一组对边平行，另一组对边相等” 等错误判定。 题型 5 平行四边形的综合 解题思路 1. 结合三角形全等：平行四边形中常通过 “对边平行”“对角线平分” 构造全等三角形，转化线段或角度； 2. 结合勾股定理：对角线与边构成直角三角形时，可求线段长度或角度； 3. 注意分类讨论：涉及对角线夹角、边长范围等问题时，需考虑多解情况。 三、易错警示 多边形公式误用 错误：混淆内角和与外角和公式，如将 n 边形内角和记为n×180°；忽略正多边形外角为正数，导致边数求解错误。 提醒：牢记 “内角和与边数相关，外角和恒为 360°”，正多边形外角度数一定小于 180°。 平行四边形判定误区 错误：误将 “一组对边平行，另一组对边相等”“一组对边相等，一组对角相等” 当作判定定理；忽略 “一组对边平行且相等” 中 “平行” 与 “相等” 的同时满足条件。 提醒：平行四边形的判定必须严格遵循定理，“一组对边平行 + 另一组对边相等” 可能是等腰梯形，并非平行四边形。 对角线性质混淆 错误：认为平行四边形的对角线相等或垂直（非特殊平行四边形无此性质）；计算对角线分平行四边形所得三角形面积时，忽略 “对角线互相平分” 导致面积计算错误。 提醒：平行四边形对角线仅 “互相平分”，分得的四个三角形面积相等（均为平行四边形面积的）。 边数与对角线关系错误 错误：计算 n 边形总对角线时，忘记除以 2（避免重复计数）；已知对角线数求边数时，未检验边数为正整数。 提醒：总对角线公式2n(n−3)​的推导核心是 “避免重复”，结果必须为正整数。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·北京中考）若一个六边形的每个内角都是，则的值为（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·甘肃中考）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（   ） A. B. C. D. 3.（23-24·全国模拟）如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是，那么它是（    ） A.等边三角形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形 4.（24-25·四川中考）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A. B. C. D. 5.（24-25·贵州中考）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A. B. C. D. 6.（24-25·山东模拟）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（      ） A.菱形平行四边形矩形平行四边形菱形 B.菱形正方形平行四边形菱形平行四边形 C.平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形 D.平行四边形菱形正方形平行四边形菱形 7.（24-25·贵州模拟）如图，在中，点分别是的中点，若则的度数为（      ） A. B. C. D. 8.（24-25·云南模拟）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 9.（22-23·辽宁中考）如图：点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为，且，则（   ） A. B. C. D. 10.（24-25·广东中考）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A. B. C. D. 11.（24-25·湖北中考）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 12.（24-25·山西中考）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（    ） A. B. C. D. 13.（24-25·安徽中考）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A.四边形的周长 B.的大小 C.四边形的面积 D.线段的长 14.（24-25·山东模拟）如图，在中，，，，，分别是的中点，连接．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点；作射线交于点，则的长为（    ） A. B. C. D. 15.（22-23·四川中考）如图，的面积为，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（23-24·河北模拟）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为____________．（写出一个即可） 17.（24-25·湖南中考）如图，五边形中，，，，则____________． 18.（23-24·山西中考）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中，则这个五边形的内角的度数为___________． 19.（24-25·吉林中考）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为___________度． 20.（24-25·新疆中考）如图，在中，的平分线交于点，若，则____________． 21.（24-25·江西模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为_________________． 22.（23-24·全国模拟）如图，在矩形中，点，，分别在，，边上，分别交对角线、线段于点，，且是的中点．若，则的长为___________________． 23.（24-25·河南模拟）如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为____________． 24.（24-25·山东模拟）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是____________． 25.（24-25·四川模拟）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、．以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有   ．（填序号） （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·陕西模拟）一个多边形的内角和比外角和的多，它是几边形？ 27.（24-25·四川中考）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 28.（24-25·达州模拟）如图，点、是平行四边形对角线上两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的周长． 29.（24-25·广东模拟）如图，在中，，，． （1）求出对角线的长； （2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 30.（24-25·江西模拟）如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图． （1）在图中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称； （2）在图中，在正方形的内部取点，使． 31.（23-24·云南模拟）【问题呈现】 如图，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 32.（24-25·河北模拟）图是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：） （1）__________，_________； （2）求点到道路的距离． 33.（24-25·四川中考）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 34.（23-24·广东模拟）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图，在四边形中，、、、分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：、、、分别是、、、的中点， 、分别是和的中位线， ，____①____ ． 同理可得：． 中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 35.（24-25·上海中考）(10分) 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图，如果，联结，交边于点，求的值； （2）如图所示，联结，，如果，，，．求的长． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第19课时 多边形与平行四边形 一、核心知识 （一）多边形的相关概念与性质 多边形定义：由三条或三条以上 不在同一直线上 的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，分为凸多边形（内角均小于 180°）和凹多边形（中考仅考查凸多边形）。 核心要素： 边：组成多边形的线段，n 边形有______n______条边； 内角：相邻两边的夹角，n 边形有______n______个内角； 外角：一边与邻边延长线的夹角，n 边形有______n______个外角（每个顶点处取一个外角）。 关键性质： 内角和公式：n 边形内角和为______(n−2)×180°______（n≥3，n 为整数）； 外角和性质：任意多边形的外角和为______360°______（与边数无关）； 对角线公式：n 边形从一个顶点出发可引 n−3 条对角线，总对角线数量为 ​ 。 正多边形特殊性质： 各边______相等______，各内角______相等______； 正 n 边形每个内角的度数为 ​，每个外角的度数为 ​ 。 （二）平行四边形的定义与性质 定义：两组对边分别______平行______的四边形叫做平行四边形，记作（对应顶点按顺序书写）。 核心性质（边、角、对角线）： 边的性质：对边______平行且相等______； 角的性质：对角______相等______，邻角______互补______； 对角线的性质：对角线______互相平分______； 对称性：是______中心对称______图形（对称中心为对角线交点），不是轴对称图形（非特殊平行四边形）。 （三）平行四边形的判定定理（中考必考） 定义判定：两组对边分别______平行______的四边形是平行四边形； 边的判定： 两组对边分别______相等______的四边形是平行四边形； 一组对边______平行且相等______的四边形是平行四边形（注意：“平行” 和 “相等” 必须同时满足，缺一不可）； 角的判定：两组对角分别______相等______的四边形是平行四边形； 对角线的判定：对角线______互相平分______的四边形是平行四边形。 二、核心能力 题型1 多边形内角和与外角和计算 解题思路 1. 内角和计算直接套用公式(n−2)×180°，已知内角和求边数时反向解方程； 2. 外角和恒为 360°，可通过外角和求正多边形边数（边数 =单个外角度数）； 3. 注意 “多边形内角≤180°”“外角为正数” 的隐含条件。 题型2 多边形对角线数量计算 解题思路 1. 从一个顶点出发的对角线数为n−3（减去自身及相邻两个顶点）； 2. 总对角线数为​（避免重复计算，需除以 2）； 3. 结合方程思想，已知对角线数求边数时注意检验边数为正整数。 题型 3 平行四边形的性质应用 解题思路 1. 求线段长：利用 “对边相等”“对角线互相平分” 直接转化，或结合勾股定理、方程思想求解； 2. 求角度：利用 “对角相等”“邻角互补”，结合三角形内角和、角平分线性质计算； 3. 核心：标注图形中的相等边、角，快速建立数量关系。 题型4 平行四边形的判定 解题思路 1. 已知边的关系：优先用 “一组对边平行且相等” 或 “两组对边分别相等”，需证明边的平行或相等； 2. 已知角的关系：用 “两组对角分别相等”，需证明两组对角对应相等； 3. 已知对角线关系：用 “对角线互相平分”，需证明对角线交点为中点； 4. 关键：紧扣判定定理，避免 “一组对边平行，另一组对边相等” 等错误判定。 题型 5 平行四边形的综合 解题思路 1. 结合三角形全等：平行四边形中常通过 “对边平行”“对角线平分” 构造全等三角形，转化线段或角度； 2. 结合勾股定理：对角线与边构成直角三角形时，可求线段长度或角度； 3. 注意分类讨论：涉及对角线夹角、边长范围等问题时，需考虑多解情况。 三、易错警示 多边形公式误用 错误：混淆内角和与外角和公式，如将 n 边形内角和记为n×180°；忽略正多边形外角为正数，导致边数求解错误。 提醒：牢记 “内角和与边数相关，外角和恒为 360°”，正多边形外角度数一定小于 180°。 平行四边形判定误区 错误：误将 “一组对边平行，另一组对边相等”“一组对边相等，一组对角相等” 当作判定定理；忽略 “一组对边平行且相等” 中 “平行” 与 “相等” 的同时满足条件。 提醒：平行四边形的判定必须严格遵循定理，“一组对边平行 + 另一组对边相等” 可能是等腰梯形，并非平行四边形。 对角线性质混淆 错误：认为平行四边形的对角线相等或垂直（非特殊平行四边形无此性质）；计算对角线分平行四边形所得三角形面积时，忽略 “对角线互相平分” 导致面积计算错误。 提醒：平行四边形对角线仅 “互相平分”，分得的四个三角形面积相等（均为平行四边形面积的）。 边数与对角线关系错误 错误：计算 n 边形总对角线时，忘记除以 2（避免重复计数）；已知对角线数求边数时，未检验边数为正整数。 提醒：总对角线公式2n(n−3)​的推导核心是 “避免重复”，结果必须为正整数。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·北京中考）若一个六边形的每个内角都是，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式及正多边形的性质求解即可． 【解答】解：一个六边形的每个内角都是， 每个内角的度数为：， 故选：． 2.（24-25·甘肃中考）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为，根据内角和可解得，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 【解答】解：设原多边形的边数为， 则可得， 解得， 按图示的剪法剪去一个内角后， 新多边形的边数比原多边形的边数多，为， 故选：． 3.（23-24·全国模拟）如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是，那么它是（    ） A.等边三角形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形 【答案】D 【解析】先根据一个外角的余弦值是，求出一个外角的度数，再利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【解答】一个外角为锐角，且其余弦值为， 这个一个外角， ． 故它是正十二边形． 故选：． 4.（24-25·四川中考）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得， ，由余弦函数得，四边形是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键． 【解答】解：六边形是正六边形， ， ， ， ， 同理可求：， 在中， ， 同理可求：， 四边形是菱形， 四边形的面积是： ； 故选：． 5.（24-25·贵州中考）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 【解答】解：， ， ； 故选． 6.（24-25·山东模拟）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（      ） A.菱形平行四边形矩形平行四边形菱形 B.菱形正方形平行四边形菱形平行四边形 C.平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形 D.平行四边形菱形正方形平行四边形菱形 【答案】A 【解析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【解答】四边形是矩形，，， ，, ，， , 对称， ，， , 对称， ，， , 同理， ， ， 四边形是平行四边形， 如图所示，    图 当三点重合时，， ， 即， 四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 如图，连接，，      图 ， 是等边三角形， 为的中点， ，， , 根据对称性可得， ， ， 是直角三角形，且， 四边形是矩形, 当分别与重合时，如图，都是等边三角形，则四边形是菱形,    图 在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形平行四边形矩形平行四边形菱形. 故选． 7.（24-25·贵州模拟）如图，在中，点分别是的中点，若则的度数为（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】解：点分别是的中点， 故此题答案  8.（24-25·云南模拟）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】作的外接圆，连接，，，取的中点，连接．证明，推出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当与相切时，的值最大，此时的值最大． 【解答】解：如图，作的外接圆，连接，，，取的中点，连接． ，， 是等边三角形， ， ， ，， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当与相切时，的值最大，此时的值最大， 是等边三角形，， ， ， 是切线，是半径， ， ， 过点作于点，于点，于点． ， ， ， ， ， 设，，则有，， ①，， 解得，，， ， ． 故选：．   9.（22-23·辽宁中考）如图：点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为，且，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键 利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【解答】如图：连接，交于点， 因为、、、分别是四边形边的中点， ，；，；，；， ． ， ， 四边形是菱形． ，， ， 四边形面积为，， ， 解得 ． 在中 ． 故选：． 10.（24-25·广东中考）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【解答】点，，分别是各边上的中点， ，是的中位线 ， ． 故选：． 11.（24-25·湖北中考）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【解答】解：平行四边形的对角线交点在原点， ， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：． 12.（24-25·山西中考）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得，进而由平行四边形的性质得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】解：点是对角线的中点，点是边的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：． 13.（24-25·安徽中考）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A.四边形的周长 B.的大小 C.四边形的面积 D.线段的长 【答案】C 【解析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【解答】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． 四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积 ， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项随位置改变，错误． 选项长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 14.（24-25·山东模拟）如图，在中，，，，，分别是的中点，连接．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点；作射线交于点，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，基本作图，根据三角形中位线定理，结合基本作图可证得四边形是平行四边形是解决问题的关键．由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，结合基本作图可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出． 【解答】解：在中，，，， ， ，分别是，的中点， ，， ， 由作图可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选： 15.（22-23·四川中考）如图，的面积为，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于，过点作与，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用三角形的中位线定理可求解的长，进而可求解． 【解答】解：四边形为平行四边形，， ， ，， 四边形为菱形， 点是的中点，点是四边形边上的动点， 当垂直于菱形的一边时，有最小值． 过点作于，过点作与，则， 的面积为，， ， 解得， 为的中点， 为的中位线， ， 故的最小值为． 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（23-24·河北模拟）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为___（答案不唯一）_________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【解答】解：依题意， ， 为整数， 可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 17.（24-25·湖南中考）如图，五边形中，，，，则_____205_______． 【答案】 【解析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可． 【解答】解：多边形的内角和为， 五边形的内角和为， ， 故答案为：205 18.（23-24·山西中考）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中，则这个五边形的内角的度数为_____116_______． 【答案】 【解析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出五边形的内角和，即可求解． 【解答】解：五边形内角和为：， ， ， ， 故答案为：116 19.（24-25·吉林中考）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______36______度． 【答案】 【解析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可. 【解答】解：正五边形的每一个内角为：， ， 故答案为： 20.（24-25·新疆中考）如图，在中，的平分线交于点，若，则______2______． 【答案】 【解析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到，得到，角平分线的定义，得到，进而得到，进而得到即可． 【解答】解：，， ， ， 的平分线交于点， ， ， ； 故答案为：2 21.（24-25·江西模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为_________________． 【答案】 【解析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点，连接， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 22.（23-24·全国模拟）如图，在矩形中，点，，分别在，，边上，分别交对角线、线段于点，，且是的中点．若，则的长为___________________． 【答案】 【解析】如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【解答】解：如图，连接，交于，过作于， ，， ， 矩形， ，， ，， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，而，， ， ， ， ； 故答案为： 23.（24-25·河南模拟）如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】作，使得，作关于对称点，交于点，连接，交于点，过作于点，过作于点，则四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，故有，，，，由等腰三角形的性质和勾股定理得，，则，，当三点共线时最小，即最小值为，再以为原点，所在直线为轴，最后由平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解． 【解答】解：如图，作，使得，作关于对称点，交于点，连接，，交于点，过作于点，过作于点， 四边形是平行四边形，，四边形是矩形，， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， ， 由勾股定理得，， ，， ， 当三点共线时最小，即最小值为， 如图，以为原点，所在直线为轴， ，， ， 最小值为， 故答案为：． 24.（24-25·山东模拟）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点，过作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【解答】解：在中，，，， ， 如图，设与交于点，过作于点， ， 四边形是平行四边形， 、 当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即与重合时，最小； ， ，解得：． 线段长最小为． 故答案为：． 25.（24-25·四川模拟）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、．以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ①②④   ．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】由，得，因为，，，所以，，则，可判断①正确；由，推导出，可证明，得，可判断②正确；设交于点，交于点，可证明，则，可根据勾股定理推导出，可求得，，，则，可判断③错误；当直线时，作交直线于点，连接，可证明，则，所以四边形是平行四边形，则为线段的中点，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：， ， ，，， ，， ， 故①正确； ， ， ， ， 故②正确； 如图，设交于点，交于点， ，， ， ， ， ， ，，， ，，， ， 故③错误； 当直线时，如图，作交直线于点，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为线段的中点， 故④正确， 故答案为：①②④． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·陕西模拟）一个多边形的内角和比外角和的多，它是几边形？ 【答案】它是七边形 【解析】根据多边形的内角和公式和外角和等于列方程求解即可． 【解答】解：设这个多边形边数为”，依题意得： 解得： 答：它是七边形． 27.（24-25·四川中考）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】见解答， 【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ， ， 点是平行四边形边的中点， ， ， ， ． 28.（24-25·达州模拟）如图，点、是平行四边形对角线上两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的周长． 【答案】见解答 【解析】（1）证明得到，再由即可证明； （2）过点作，交的延长线于，由角直角三角形性质求出，再由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的性质求解即可． 【解答】（1）解：证明：平行四边形中，，， ， 又， ， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，交的延长线于， 在中，，， ， 在中，， 平行四边形， ， ． 29.（24-25·广东模拟）如图，在中，，，． （1）求出对角线的长； （2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】； 见解答 【解析】（1）连接，过作于，依据等腰直角三角形以及勾股定理，即可得到的长； （2）以为圆心，的长为半径画弧，交于；分别以，为圆心，适当的长为半径画弧，两弧交于点；作射线，交于，则即为折痕． 【解答】（1）解：如图所示，连接，过作于， ，， ， 是等腰直角三角形， 又， ， ， 中，； （2）如图所示，即为所求． 30.（24-25·江西模拟）如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图． （1）在图中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称； （2）在图中，在正方形的内部取点，使． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）延长交延长线于，根据正六边形的性质得，，，进而可得，是等边三角形，则，即点与点关于直线对称； （2）连接交延长线于，由正方形的性质得，进而利用三角形的内角和定理推导出，根据等角对等边可得． 【解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求．   31.（23-24·云南模拟）【问题呈现】 如图，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 【答案】 【解析】（1）根据思路一：构造与全等，从而得出是等腰直角三角形，即可与的数量关系； （2）在射线上截取，连接，过点作于点，同得，则，，可得，根据，即可求解； （3）同的方法，即可求解． 【解答】（1）解： 如图，在射线上截取，连接， ， 又四边形是正方形， ， ， ， 又四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：． （2）解：正五边形的一个内角为 如图，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得， ， ，， ； （3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得 即 故答案为：． 32.（24-25·河北模拟）图是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：） （1）__________，_________； （2）求点到道路的距离． 【答案】， 点到道路的距离约为 【解析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出长度，解，求出即可． 【解答】（1）解：正八边形的一个外角的度数为：， ，； 故答案为：，； （2）解：过点作，垂足为， 在中，，， ， 在中，， ， 所以，点到道路的距离为． 33.（24-25·四川中考）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】见解答 ； 【解析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解答】（1）解：由折叠的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）， ， ， ， ，， ， ， 由折叠的性质得：， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，解得：， ， ； （3）解：如图，延长交于点， 设， ， ，， ， 折叠， ，即 即 四边形是平行四边形， 又折叠， 又 即 解得： 又 ． 34.（23-24·广东模拟）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图，在四边形中，、、、分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：、、、分别是、、、的中点， 、分别是和的中位线， ，____①____ ． 同理可得：． 中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①___中位线定理_____ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②____矩形____． （4）下面我们结合图来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③___且_____时，中点四边形是④___正方形_____． 【答案】①中位线定理 证明见解答 ②矩形 证明见解析 补图见解析；③且；④正方形 【解析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题； （3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题. 【解答】（1）解：①证明依据是：中位线定理； （2）证明：分别是的中点， 分别是和的中位线， ， ． 同理可得：． 中点四边形是菱形． （3）②矩形； 故答案为：矩形 （4）证明分别是的中点， 分别是和的中位线， ，， ． 同理可得：． ， 中点四边形是矩形． （5）证明：如图，分别是的中点， 分别是和的中位线， ， ． 同理可得：． 中点四边形是菱形． 由可知 菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形 35.（24-25·上海中考）(10分) 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图，如果，联结，交边于点，求的值； （2）如图所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】①见解析；② 【解析】（1）①延长交于，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【解答】（1）解：①如图所示，延长交于， 四边形是平行四边形， ， ， 是边中点， ， ， ， ， ， ， ； ②如图所示，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 是边中点， ， 设，则， ， ， ， ； ，， 设，则， ， ； （2）解；如图所示，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ； ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ，即 ， ，即， ， ； ， ，即， ，解得或（舍去）， ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $