8.1 平行四边形（第2课时 平行四边形的概念与性质二）同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

8.1平行四边形 （第2课时平行四边形的概念与性质二）同步练习 一、单选题 1．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 2．如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．与全等 D．四边形与四边形的面积相等 二、填空题 6．如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 7．如图，的对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，．的长度是 ． 8．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，，若，，则对角线的长为 ． 9．如图，在中，，，对角线，相交于点，为上一点，连接．若，的周长比四边形的周长大3，则的长为 ． 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是 ． 三、解答题 11．如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 12．如下图，的对角线和相交于点，交于点．求证：． 13．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O． (1)若，，求OA的取值范围． (2)若，，求AB的取值范围． 14．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 15．四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接． (1)如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：． (2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足： ①点M、N分别在、上； ②．（不写画法，保留画图痕迹） (3) 证明（2）中 16．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 17．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 18．如下图，为的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，． (1)求线段的长． (2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的． 19．在一次数学综合与实践活动中，老师给出如下探究任务：先画一个平行四边形，再画两条直线，将该平行四边形分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．小安同学画了如下三种情形： (1)利用小安的分割方法：你认为两直线的交点的位置在___________； (2)如图①，在平行四边形中，，就是使含有一组对顶角的两个图形全等的两直线，分别与，的延长线交于点，．请利用（1）的结论证明：； (3)如图②，将一张平行四边形的纸片沿过对角线的中点的直线折叠，折痕交边于点，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交于点．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，依次找出图中的全等三角形． 【详解】解：在中： ， 全等三角形有：   因此，图中的全等三角形共有对，对应选项C． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是得出的长． 直接利用平行四边形对角线互相平分得出的长，再利用三角形三边关系得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， , , , 在中，的取值范围是，即． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查平行四边形的性质与中心对称，理解题意，灵活运用平行四边形的性质是关键． 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据中心对称的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴． 故选：C． 4．B 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，在平行四边形中，，，得出，结合平分，证明，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由题意得，，证得，即可判断D正确； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：四边形与四边形的面积相等，故D正确； A、B、C根据现有条件，均不能推导出； 故选：D 6． 【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； 利用平行四边形的性质求得、的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 在中， ． 故答案为：． 7．4 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质证明三角形全等推导出对应边相等关系． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， 在和中， ∴ ∴ 故答案为：4 ． 8． 【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键．由平行四边形的性质及，得，由，得，所以利用勾股定理求出的长，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，交于点O，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了平行四边形周长的计算，熟练掌握平行四边形周长公式是解题的关键； 根据已知角度和边长得出AD的长，再根据周长的差列式子求得ED的长． 【详解】解：，， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 的周长比四边形的周长大3， ， ， ， ； 故答案为：． 10．18 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质．由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是，即可推导出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴． 故答案为：18． 11．见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，法一：通过证明，根据全等三角形的性质可求解；法二：通过证明四边形是平行四边形，进而问题可求证． 【详解】解：法一：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 法二：连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 12．见解析 【分析】由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，进而得到. 【详解】证明：平行四边形的对角线互相平分， ． 又于点， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质. 13．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围； （2）由平行四边形的性质求得，再根据三角形的三边关系定理得到的取值范围． 【详解】（1）解：在中，， 即． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，． 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解，掌握以上知识点是解题的关键． 14．(1)证明见解析 (2)直线是将的面积分成二等份，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可证出，，然后根据四边形的周长公式即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，从而可得，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得出结论； （3）连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， 同理可证：， ， ， 四边形与四边形的周长相等． （2）解：直线是将的面积分成二等份，理由如下： 四边形是平行四边形， ， 在和中，， ， ， 由（1）已证：，， ，， ， 四边形与四边形的周长相等， 即直线将的面积分成二等份． （3）解：连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等，如图所示： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． （1）证明即可； （2）利用（1）的结论进行作图即可； （3）由（1）的方法可证，则，同理可证，则，则四边形为平行四边形，即可得到到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求作的线段； （3）由（1）的方法可证， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 16．(1)见解析 (2)3，12 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 17．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握知识点. 18．(1) (2)的值不变， 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，于是得到结论； （2）如图所示，连接，由四边形是平行四边形，得到，求得，于是得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ． ， ． （2）解：的值不变． 如图，连接． 四边形是平行四边形，， ． ， ， ． ，， ，， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题是平行四边形综合性题目，考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，解决本题的关键是灵活运用知识点. 19．(1)平行四边形的对称中心（或对角线的交点） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由平行四边形是中心对称图形可得出结论； （2）连接，则经过点，证明，得出； （3）由平行四边形的性质得，再由证得，得出，然后由折叠性质得，最后证得，即可得出结论． 【详解】（1）解：这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）． 故答案为：平行四边形的对称中心（或对角线的交点）； （2）证明：连接，则经过点，    ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （3）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $