第19章 二次根式 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）广西专版

第十九章 章末复习 思维导图 ◆。·构建知识体系 二次根式一形如 的式子 概念 (1)被开方数不含 最简二次根式 (2)被开方数中不含 a≥0(a≥0) 性质 (a)2= (a≥0) 次 (a≥0) 式 (a0) 乘法一a·石= (a≥0，b≥0) 运算 团 (a≥0，b>0) 加减法一先将二次根式化成 ,再将 的二次根式合并 混合运算 类比整式的运算法则进行运算 【考点整合 ◆、直击核心要点 考点1二次根式的概念及性质 (2)实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图 1.(2025·河池宜州区期中)下列式子中，是二 所示，则化简√a-b)严-√(c-a)严+ 次根式的是 |b一c的结果为 A.√-12 B.√3 6 考点2二次根式的运算 C.5 D.√π-4 6.(2025·南宁邕宁区期末)下列各式计算正 2.当x=一2时，下列二次根式有意义的是 确的是 () ( A.√2+√⑧=√10 B.√12÷√5=4 A.√x-2 B.√x-1 C.7√5-3=4√5 D.2√2×√2=4 7.计算（√10+3）2035（√10-3）2034的结果 C.√x-3.6 D.√2-x 是 () 3.(2025·钦州期末)下列各式中，属于最简二 A.√10-3 B.√10+3 次根式的是 ( C.-3 D.3 A.√20 B.5 8已知4十6=4a6-2,则，+√层的值为 c店 D.√2a 9.新定义新趋势对于任意不相等的两个数a, 4.化简二次根式√一27a的结果为( A.-3a√/3a B.3a√-3a b,定义一种运算※如下：a※6三。b,如 C.3a√3a D.-3a√-3a 5※4= 5干4=3，则(2-3)※(7※5)的值 5-4 5.(1)化简：√x-3)-（-4)2=; 为 第十九章二次根式15 10.计算： 12.数学文化新趋势海伦—秦九韶公式告诉 反-6+-厉 我们：三角形的三边长分别为a,b,c,记p= 。十b十c),那么三角形的面积可以表示 为S=√p(p-a)(p-b)(p-c).已知一个 三角形的三边长分别为7,8,9，那么这个三 角形的面积为 13.安全教育情境化高空抛物现象曾被称为 “悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的 “头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空 落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来 不及避让，据研究，高空抛物下落的时间 t(s)和高度h(m)近似满足公式t= (共 (3)2(+-(8-27): 中g≈9.8m/s2). (1)当h=98时，求下落的时间t.(结果保 留根号) (2)伤害无防护人体只需要65J的动能，高 空抛物动能(J)=10×物体质量(kg)× 高度(m),某质量为0.1kg的玩具在高 (4)(4+√7)4-7)+（√⑧-16）÷5. 空被抛出后经过4s后落在地上，这个 玩具产生的动能会伤害到楼下的行人 吗？请说明理由. 考点3二次根式的实际应用 11.(教材P12习题T12变式)如图，这是运动 会颁奖台的贴纸，在长方形内绘制三个紧 邻的正方形并标注相应的名次，三个正方 形的面积从左到右依次为3,4,2，将剩余阴 影部分剪掉，则剪掉的面积为 ) A.2√2-2√3+1 B.2√2-2√3+5 C.2√2+2√3-1 D.22+25-5 16数学N八年级下册 聚焦课标 ◆、强化情境任务 14.类比探究新趋势小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： (一)一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 1 √2-1 2-1=2-1; √2+1(2+1)（√2-1） 2-1 1 3-2 =B=巨=5-2. 3+√/2(W3+2)(3-2)3-2 (二)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： (√3+1)=4+2√3，(5+√3)=8+2√15，（√a+√b)=a+b+2√ab(a≥0，b≥0）； 再根据平方根的定义可得 √4+2√5=3+1，W8+2√I5=5+√3，Wa+b+2√ab=√a+√b(a≥0，b≥0). 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果. ① 1 1 (n为正整数)= 7+√6 —5√/2n+I+√2m-可 ②√7-4√5= ;当1≤x≤2时，化简√x-2√c-I- (2)应用：求 1十1 1 十…十 的值. 2+1√5+√2'4+√3 √2025+√2024 (3)拓广：求 1 1 1 的值. √4-25 √8-2/15 W12-2√35 √/16-2√63 提示 请完成阶段微测试（二）[第十九章] 第十九章二次根式17(√4-√3)+…+（√2026-√/2025）]（√/2026+1）=（√2026-1）（√2026+1）= (√/2026)2-12=2025. 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【广西热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(W5-1-1)(5-1十3)=(5-2)(/5+2)=5-4 1.(2)原式=a2-7-a2+2a=2a-7.当a=5十1时，原式=2×(W5+1)-7=2W5 5.(3)当a=√2+1时，原式=(3-2√2)(w2+1)2+(1-√2)（√2+1）=(3-2√2)(2+ 2√2+1)+(1-√2)(1+√2)=(3-2√2)(3+2√2)+(1-√2)(1+√2)=9-8+1-2= 0.2.D3.D4.解：由题意，得2一6≥0：解得x=3.y=0+0十4=4.(z 6-2x≥0， y)202s=(3-4)2025=(-1)225=-1.5.C6.17.-2c8.C9.解：(1)x十y= 23-2+2√3+2=43，xy=(25-2)(2√5+2)=(23)2-22=12-4=8.(2)x2 y十y=(x+y-3y=(4)-3X8=48-24=24.10.解：“x+y万+2 1 3-√E √十E 万5+@5-历+5+5-厉=2.w后+元×后2 =1,.x2+3xy十y2=(x十y)2+xy=12+1=13.11.解：(1)x (W3+√2)(W5-√2) =√10-3，x十3=√10.两边平方，得(x十3)2=（√10）2，即x2+6x十9=10.x2+ 6x=1.x2十6x一8=1一8=一7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将代数式x2十6x -8变形为(x+3)-17,再将x十3=0整体代人求值.(2)：x=5,,2z=5 2 1..2x+1=√5.两边平方，得(2x十1)2=(W5)2,即4x2+4x十1=5.4x2十4x=4,即 x2十x=1..x2+3x=x2+x+(2x十1)-1=√5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB,.∠B =90°，AB=BE.AE=√AB十BE=√2AB.第二次折叠，得AD=AE=√EAB. ÷铝--区.即A纸的长与宽的比值为尼.【进阶问1解：由题意，得A纸的 长为6，宽为受“a:6=Ea-一√Bm6:号-6：受-反.∴A5纸长与宽的比值 2 为√2. 【美比归纳W反减半【拓展银究]牛平【廷伸探究】解，由海意得1纸的 面积为250×353=88250(mm).B5纸的面积为S纸÷2=44125(mm2).A4纸的面 积为210X297=62370(mm).A5纸的面积为SA纸÷2=31185(mm)..Sg纸：SA纸 =88250:623701.4≈√2，Ss纸：SA5摄=44125：31185≈1.4≈√2.【归纳/2 第十九章章末复习 思维导图 √a(a≥0)分母能开得尽方的因数或因式aa一a√ab a 最简二次 根式被开方数相同 考点整合 1.B2.D3.B4.D5.11(2)06.D7.B8.229.-2+E10.解： (1)原式=25-2+45-55=-.(2)原式=-2×√27×号×员 -2压.(3)原式=2+2-名E+是5=-厄+反.（④）原式=4-W7) +⑧÷5-5÷5=16-7+4-巨=13-区.11.D12.12513.解： 1当h=98时=√=V历=2后.(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行 人理由如下：当1=4时，45√2，解得h=78,4.10×0.1×78,4=78.4>65,这 个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人 第4页（共48页） 聚焦课标 14.解：1)0万-62m五，2m豆②2-51-√可(2)原式=2-1+ 2 √5-√2+4-√5+…+√2025-√/2024=√2025-1=45-1=44.(3)原式= 11 万六后-+万-万万-万 6万-时+++丘 2 2 2 2 5+1-5-3+7+5-3-厘=2=-1. 2 2 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 新知梳理 a2+b2=c2 例题引路 【例1】解：在△ABC中，因为∠C=90°，所以a+b=c2.(1)因为a=8,b=15,所以c= √a+6=17.(2)因为c=25,a=7,所以b=√2-a=24.(3)设a=3x,则b=4x.所 以(3x)2十(4x)2=402,解得x=8(负值已舍去).所以a=24,b=32. 易错典例 【例2】13或√119 基础过关 1.C2.C3.4913 AC BC AB4.D5.B6.解：因为CD⊥AB,所以 ∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AC-AD= √/172-15=8，所以BC=√/BD+CD=√/(4√5)2+82=12. 能力提升 7.C8.C9.B10.3611.解：AD⊥BC,∠ADC=∠ADB=90°.∠B=60°， ·∠BAD=30.·BD=号AB=2.在R△ADB中，AD=VAB-BD=2.在 Rt△ADC中，CD=√AC-AD=4.∴BC=BD+CD=6..△ABC的面积为号BC· AD=6/3. 思维拓展 12.解：(1)：正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成， AB=c,BE=a,AE=b(6>a)∴c=4X分ab+(b-a)2,整理，得a2+6=c.(2)直 1 角三角形ABE的面积为54，c=15,2ab=54,a+=c=15=225.ab=108. ∴.小正方形EFGH的面积为(b-a)2=a2十b2-2ab=225-2×108=9,∴.小正方形 EFGH的边长为3. 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 例题引路 【例1】解：连接AM.由题意，得OC=AA'=3m,OM=21m,.CM=OM-OC=18m. 在Rt△ACM中，AM=√AC+MC=6√10m.:6√/10<20，∴.云梯的长度足够. 易错典例 【例2V6 基础过关 1.C2.B3.50√34.65.解：CD⊥BD,∴∠D=90°.在Rt△ADC中，AD= √AC-CD=10√3m.在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=30√3m..AB=BD- AD=20√3m.答：A,B两个凉亭之间的距离为20√5m. 能力提升 6.A7.2.6m8.解：过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.,∠ABC=120°， ∠CBD=60.在R△BCD中，∠BCD=90-∠CBD=30',BD=2BC=10m ∴.CD=√BC-BD=10√5m.∴AD=AB+BD=90m.在Rt△ACD中，AC= √/AD+CD=√/902+(10√3)2=20√/2I≈92(m).答：A,C两点之间的距离约为92m. 第5页（共48页） 思维拓展 9.解：(1)由题意，得∠ABD=90°.设AB=xm,则AD=(x十2)m.在A'N Rt△ABD中，AB十BD=AD,即x2十8=(x十2)2，解得x=15.答：旗杆的 高度AB的长为15m.(2)由(1)，得AD=17m,AB=15m,如答图，延长BA 至点A',使AA'=4m,连接A'D,则A'B=A'A十AB=19m在Rt△A'BD中， A'D=√AB+BDd=5√17≈20.6(m).20.6-17=3.6(m).答：绳子至少 D 要加长3.6m. 答图 第3课时利用勾股定理作图与计算 基础过关 1.A2.(-1,0)3.C4.AC5.606.20 能力提升 7.D8.D9.A10.解：连接BD.由题意可知a=AB,b=BC2,c=CD,d=AD.在 Rt△ABD和Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=AD2十AB=CD+BC,即a十d=b +c..a+d=12,∴.b+c=12. 大单元整合练利用勾股定理在数轴上表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图，点E和点F即为所求 21.12时 任务活动2：解：在Rt△ABC中，AC=√2+1严=√2，同理得AD=√(2)2+1=√5， AE=√(W3)2十1=2，AF=√22+1下=√5.由题意知AP=AF=5..点P表示的数 为-5. 任务活动3：(1)解：如图，点P即为所求. (2)W5-1 3210123 任务活动4：解：(1)√2 -√2 ①4 (2)①如图③所示 ②如图④420十立，点A表示-3十 图③ 图④ √5，点B表示-0.5..-0.5>-3十√5. 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·广西热点】 1.62.子3.解：过点A作AD1BC交BC的延长线于点D.在R△ABD中，由勾股 定理，得AD=AB-BD.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC-CD..AB -BD=AC-CD,即202-(7+CD)2=15-CD.∴.CD=9.∴.AD=√/AC-CD =12.即点A到BC的距离是12.4.D5.B6.D7.C8.A9.310.1.5m 11.3.7512.解：设木杆断裂处B离地面的高度AB为xm,则BC=(16-x)m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB十AC=BC,即x2十8=(16-x)2,解得x=6.答： 木杆断裂处B离地面的高度AB为6m.13.解：设BE=xkm,则CE=BC-BE= (16-x)km.AB⊥l,DC⊥l,.∠ABE=∠DCE=90°..EA2=AB2+BE,ED2= CD十CE.调运站E到A,D两个村庄的距离相等，∴.EA=ED.∴AB十BE=CD 十CE,即82十x2=122十(16-x)2,解得x=10.5..BE=10.5km.答：此时调运站E 到村庄B的距离为10.5km. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 基础过关 1.A2.解：(1)因为a2=676,b2=100,c2=576,所以b2十c2=a2.所以此三角形是直角 三角形，∠A是直角.(2)因为a2=4,b=3,c2=7,所以a2十b2=c2.所以此三角形是直 角三角形，∠C是直角.3.证明：由勾股定理，得AB2=22+32=13,BC=42十62= 52,AC=4+7=65,所以AB十BC2=AC.所以△ABC为直角三角形.4.B5.8 能力提升 6.B7.6和10（或15和17）8.解：(1)根据题意，得AB=√(8-2)+2-(-1) =35.(2)根据题意，得CD=√2-(-2)十(3-0)=5，DE= 第6页（共48页）