19.3 第2课时 二次根式的混合运算-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）广西专版

第2课时二次根式的混合运算 【名师导学 >、预习先知 基础过关 >逐点击破 新知梳理 知识点1 二次根式的混合运算 ①二次根式混合运算的顺序与有理数1.计算√15×√3一√5的结果是 的运算顺序相同，先算乘方，再算乘 A.√40 B.3 C.2√5 D.4√5 除，最后算加减，有括号的先算括号 2.计算： 里面的 (1)√12÷√6+√18= ②在二次根式的混合运算中，乘法公式 (平方差公式、完全平方公式)仍然适 (22-÷√ 用，最后结果一定要化成最简二次 3.计算： 根式. ☑例题引路 x-√厚÷√F: (2)(27-√24+2÷3 【例】计算： (1)N2×(W8+√12)： (2)(4√-3√6)÷2√； (3)(W6+2)(W6-2): (4)(23-√2)2. 【名师点拨】(1)(2)利用分配律进行计 (3)(3√6-6)(6+2)； (4)V80-4 -50×8. √5 算，(3)(4)利用乘法公式进行计算. 【学生解答】 知识点2利用乘法公式进行二次根式的混合运算 4.(2025·河北中考)计算（√10+√6）(10-√6)的结果为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 5.计算： (1)(2-√2)2= (2)(1-3√2)(1+3√2)= 6.计算： (1)(33+2√6)： (2)(3√7+5√2)(3√7-5√2) 10数学N八年级下册 能力提升 ·◆·整合运用 ·思维拓展 ♪>◆强化素养 7.估计2×（√⑧+√10）的值应在 12.类比探究新趋势在进行二次根式的运算 A.7和8之间 B.8和9之间 时，如遇到一这样的式子，我们可以按如 C.9和10之间 D.10和11之间 2+1 下两种方法进行化简： 8.若x为实数，在“(3十1)☐x”的“☐”中填一 种运算符号（在“十，一，×，÷”中选择）后其 1 √2-1 运算的结果为有理数，则x不可能是( 方法一：2+1=(2+1)×(2-1） A.√3+1 B.√3-1 -反1 C.2√3 D.1-3 方法二： 1=2-1=2)-12- 9.若3-√2的整数部分为a,小数部分为b,则 2+1√2+12+1 代数式(2+√2a)b的值为_ (2+1)×(2-1D=2-1. 10.计算： √2+1 (1)(27×36+专0-82)÷厄： ①)请分别参照以上两种方法化简：后十2 1 1 (2)计算：(2+15+反+3 十…十 2026+V2025)(V2026+1D. 1 (2)5(5-√15)+(23+√/15)(/15-23). 11.长方形ABCD的长为2√6+√5，宽为2√6 一√5.在长方形ABCD内部挖去一个边长 为√6一√5的正方形，求剩余部分的面积. 提示 请完成基本功专练（一） 第十九章二次根式11参考答案 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 基础过关 1.C2.B3.0(答案不唯-)4.35.解：(1)由-a≥0，得a≤0.(2)由4a十1≥0，得 1 a-1≥0， a≥-.(3)由 √a-1≠0， 得a>1.6.B7.V2m 能力提升 8.D9.410.2011.解：(1)设这个矩形过道的长为5xm,宽为2xm.根据题意，得 5x·2x=10,解得x=士1.：x不能为负数，x=1..5x=5,2x=2.答：这个矩形过 道的长为5m,宽为2m.(2)设这种地板砖的边长为ym,则40y=10“y=子 弥y=士 2,·y不能为负数，y=之，答：这种地板砖的边长为2m. 第2课时二次根式的性质 新知梳理 ①≥②a Ba -a 例题引路 【例1】解：(1)原式=7.(2)原式=5.(3)原式=(2√5)2=22×（√3）2=4×3=12.(4)原 式=|3-√101=√10-3.【例2】8 易错典例 她 【例3】2025 基础过关 (4)()25.解：(1) 封 1.B2.-83.A4.(1)(W5)2(2)(√3.4)2 () 原式=17.(2)原式=4×7=28.(3)原式=号.6，C7.B8.解：1)原式=-0.3. (2)原式= 4=4 。(3)原式=|3-π=π-3. 架 能力提升 9.D【变式题C10.B11.(1)4或7或8(2)212.解：(1)原式= 91-9+1号2)原式=2-3+3x =22×(5)2-3+1 =4×5-3+1=20-3+1=18. 思维拓展 线 13.解：(1)由隐含条件3-x≥0，解得x≤3.∴x一π<0..原式=-(x-π)-(3-x)= -x十π-3十x=π-3.(2)由数轴得隐含条件a<0,b>0,a>b1,.a十b<0,b-a> 0..∴.原式=|a一a十b一b一a=一a十a十b一b十a=a.(3)由三角形的三边关系得 隐含条件a十b十c>0,a-bc,b-a<c,c-b<a,∴.a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a <0.∴原式=|a+b+c+|a-b-c-|b-a-c|+|c-b-a=(a十b+c)-(a-b- c)+(b-a-c)-(c-b-a)=a+b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a=4b. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 新知梳理 ①√ab@a·b 例题引路 【例1】解：0原式=6x3=尽X2=3E.(2)原式=2√8x=2×2=4 【例2】解：(1)原式=√/3×10=√5×√/102=10√5.(2)原式=√3×2·x2·y= 23xy. 第1页（共48页） 基础过关 1.B2.D3解：10原式=V5X20-V00-10.(2)原式-√分×42-瓜.(3)原 式=5√含×10=5V历=25.(4)原式=-3×2×VX1西=-6X5x5- -150.4.A5.A6.解：(1)原式=√16X√49=4×7=28.(2)原式=√25×10= W√25×√10=5√10.(3)原式=√12X27=√/12×√/27=√3X2×√3X3=2√× 3=18.(4)原式=√36·√·√y=6xy2. 能力提升 7.B860m9.-a一a510.解：1)原式=号×(-9)×√停×45=-6× V停×1x8=-5.(2)原式=√停×25×(-)=2×()× √×3x10=-6,11.解：当4=20f=1.2时，0=16√20X12=16/=326≈ 32×2.4495≈78.38(km/h).答：肇事汽车的车速大约是78.38km/h. 思维拓展 12.解：1)010=10×VT=V0x0.T=V而.@x√厂=-可： √=√=-.(2)-56=-V6×6=-V5x=-1, -6√5=-√6X5=-√36X5=-√180.√/150<√180，∴.-√150>-√180， 即-5√6>-6√5. 第2课时二次根式的除法 新知梳理 a 0W6 6 ③分母能开得尽平方的因数或因式 例题引路 【例】解：1)原式=√-√-.(2原式=√1合÷-√受×6=3.(3)原式 =2X3X(-1)×√14×7×2=-6√6 1 ,9=-6N6×6 9x=-7√6.【例2】解：1)原 式=尽=2.(2原式= 0.09_0.3_1 √/25 5 √0.360.62 基础过关 1.A2.C3.解：(1)原式=一 =-=-2.(2)原武=-×√5÷=- ×x写=-台×号=-）原式-√=45解：)原式 9 3 震吾（原式=停需-号原式=震需6D1第： (1)原式=√2×2=2 5X2=10 ，(2)原式=25=尽=-×2- 2√2√W2√2×√2 =.(3)原式= 3×2√10 2×05 610×√1030 能力提升 8c9.0<110262华11解：0原式=-号√受=-号√厚=-1 3 (2)原式=×4×号√612x-3v=18. 思维拓展 12.解：(1)两名同学的解法都正确.(2)答案不唯一，如：“√而=√分 /70=√70=b √万a -√-√-品而-总 /49×10 第2页（共48页） 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 新知梳理 最简二次根式被开方数 例题引路 【例11)v丽√E2)v@√层√厚【例2解：1)原式=3反+4厄=7E. (②)原式=4v5+8-59(3)原式=+4-号+万=号+56. 2 2 基础过关 1.D2.D3B4.1)0(2)555.解：1)原式=3 2 .(2)原式=2√丘+4 6石.(3》原式=2万-3万+5=-2y巨.(4)原式=43+125-205=-45. 3 3 6.4√67.16√/2 能力提升 8.C9.C10.311.解：(1)原式=(35+3√2)-(2√5-5√2)=3√5+3√2-2√5 +5√2=√5+8√2.(2)原式=2√3-√2-√3+2√2=√3+√2.(3)原式=3√3x+3× +2x·3延=3√3+√3π+2V3x=63x,12.解：V2+√27=25+ 3 33=53=√7(dm).9=√8I>√7，√27<2√12=√48,7=√49>√48，.能 够在这块木板上裁出一个面积为27dm2和两个面积均为12dm2的正方形木板. 思维拓展 13.解：1)原式=6×5-5×号-2厅+之×25=26-万-26+厅=0.2》设原 题中“■”的值是则a…誓-5×写-25+号×2后=5。后-25+5- 孕（宁一2）6-÷寸-2=子解得a号：原题中的值是号 第2课时二次根式的混合运算 例题引路 【例】解：(1)原式=√16+√24=4十2√6.(2)原式=4√5÷2√5-3√6÷2√5=2- 2,3)原式=(6=2=6-4=2.④原式=(23)-2X23×√2+(@ 46+2=14-46. 基础过关 1C2D4厄(2w53解：1原式-√4×号-√受×6=2-3=-1.(2原 式=(33-2√6+25)÷√5=(5√5-2√6)÷√3=5-22.(3)原式=18+6√6 66-12=6.(4)原式=45-35-√4m=1-20=-19.4.B5.1)6-42 √5 (2)-176.解：(1)原式=27+36√2+24=51+36√2.(2)原式=(3√7)-(5√2) =63-50=13. 能力提升 7.B8.C9.210.解：(1)原式=(3√3×3√6+4√2-4√2)÷√2=27√2÷√2=27. (2)原式=5-5√3+15-12=8-5√3.11.解：剩余部分的面积为(2√6+√5)×(2√6 -√5)-（√6-5）2=(26)2-(W5)2-[(6)2-2√6×√5+(W5)]=(24-5)-(6- 2√/30+5)=19-(11-2√30)=8+2√30. 思维拓展 √5-2 一=后-2=后-2.方法二：万+2 2.解：1)方法-万+25+2)×5-2)=4 1 1 5-4=5)-2-5+2)×5-2=5-2.(2)原式=[2-1)+(W5-2)+ √5+2√5+2 5+2 第3页（共48页） (√4-√3)+…+（√2026-√/2025）]（√/2026+1）=（√2026-1）（√2026+1）= (√/2026)2-12=2025. 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【广西热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(W5-1-1)(5-1十3)=(5-2)(/5+2)=5-4 1.(2)原式=a2-7-a2+2a=2a-7.当a=5十1时，原式=2×(W5+1)-7=2W5 5.(3)当a=√2+1时，原式=(3-2√2)(w2+1)2+(1-√2)（√2+1）=(3-2√2)(2+ 2√2+1)+(1-√2)(1+√2)=(3-2√2)(3+2√2)+(1-√2)(1+√2)=9-8+1-2= 0.2.D3.D4.解：由题意，得2一6≥0：解得x=3.y=0+0十4=4.(z 6-2x≥0， y)202s=(3-4)2025=(-1)225=-1.5.C6.17.-2c8.C9.解：(1)x十y= 23-2+2√3+2=43，xy=(25-2)(2√5+2)=(23)2-22=12-4=8.(2)x2 y十y=(x+y-3y=(4)-3X8=48-24=24.10.解：“x+y万+2 1 3-√E √十E 万5+@5-历+5+5-厉=2.w后+元×后2 =1,.x2+3xy十y2=(x十y)2+xy=12+1=13.11.解：(1)x (W3+√2)(W5-√2) =√10-3，x十3=√10.两边平方，得(x十3)2=（√10）2，即x2+6x十9=10.x2+ 6x=1.x2十6x一8=1一8=一7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将代数式x2十6x -8变形为(x+3)-17,再将x十3=0整体代人求值.(2)：x=5,,2z=5 2 1..2x+1=√5.两边平方，得(2x十1)2=(W5)2,即4x2+4x十1=5.4x2十4x=4,即 x2十x=1..x2+3x=x2+x+(2x十1)-1=√5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB,.∠B =90°，AB=BE.AE=√AB十BE=√2AB.第二次折叠，得AD=AE=√EAB. ÷铝--区.即A纸的长与宽的比值为尼.【进阶问1解：由题意，得A纸的 长为6，宽为受“a:6=Ea-一√Bm6:号-6：受-反.∴A5纸长与宽的比值 2 为√2. 【美比归纳W反减半【拓展银究]牛平【廷伸探究】解，由海意得1纸的 面积为250×353=88250(mm).B5纸的面积为S纸÷2=44125(mm2).A4纸的面 积为210X297=62370(mm).A5纸的面积为SA纸÷2=31185(mm)..Sg纸：SA纸 =88250:623701.4≈√2，Ss纸：SA5摄=44125：31185≈1.4≈√2.【归纳/2 第十九章章末复习 思维导图 √a(a≥0)分母能开得尽方的因数或因式aa一a√ab a 最简二次 根式被开方数相同 考点整合 1.B2.D3.B4.D5.11(2)06.D7.B8.229.-2+E10.解： (1)原式=25-2+45-55=-.(2)原式=-2×√27×号×员 -2压.(3)原式=2+2-名E+是5=-厄+反.（④）原式=4-W7) +⑧÷5-5÷5=16-7+4-巨=13-区.11.D12.12513.解： 1当h=98时=√=V历=2后.(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行 人理由如下：当1=4时，45√2，解得h=78,4.10×0.1×78,4=78.4>65,这 个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人 第4页（共48页） 聚焦课标 14.解：1)0万-62m五，2m豆②2-51-√可(2)原式=2-1+ 2 √5-√2+4-√5+…+√2025-√/2024=√2025-1=45-1=44.(3)原式= 11 万六后-+万-万万-万 6万-时+++丘 2 2 2 2 5+1-5-3+7+5-3-厘=2=-1. 2 2 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 新知梳理 a2+b2=c2 例题引路 【例1】解：在△ABC中，因为∠C=90°，所以a+b=c2.(1)因为a=8,b=15,所以c= √a+6=17.(2)因为c=25,a=7,所以b=√2-a=24.(3)设a=3x,则b=4x.所 以(3x)2十(4x)2=402,解得x=8(负值已舍去).所以a=24,b=32. 易错典例 【例2】13或√119 基础过关 1.C2.C3.4913 AC BC AB4.D5.B6.解：因为CD⊥AB,所以 ∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AC-AD= √/172-15=8，所以BC=√/BD+CD=√/(4√5)2+82=12. 能力提升 7.C8.C9.B10.3611.解：AD⊥BC,∠ADC=∠ADB=90°.∠B=60°， ·∠BAD=30.·BD=号AB=2.在R△ADB中，AD=VAB-BD=2.在 Rt△ADC中，CD=√AC-AD=4.∴BC=BD+CD=6..△ABC的面积为号BC· AD=6/3. 思维拓展 12.解：(1)：正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成， AB=c,BE=a,AE=b(6>a)∴c=4X分ab+(b-a)2,整理，得a2+6=c.(2)直 1 角三角形ABE的面积为54，c=15,2ab=54,a+=c=15=225.ab=108. ∴.小正方形EFGH的面积为(b-a)2=a2十b2-2ab=225-2×108=9,∴.小正方形 EFGH的边长为3. 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 例题引路 【例1】解：连接AM.由题意，得OC=AA'=3m,OM=21m,.CM=OM-OC=18m. 在Rt△ACM中，AM=√AC+MC=6√10m.:6√/10<20，∴.云梯的长度足够. 易错典例 【例2V6 基础过关 1.C2.B3.50√34.65.解：CD⊥BD,∴∠D=90°.在Rt△ADC中，AD= √AC-CD=10√3m.在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=30√3m..AB=BD- AD=20√3m.答：A,B两个凉亭之间的距离为20√5m. 能力提升 6.A7.2.6m8.解：过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.,∠ABC=120°， ∠CBD=60.在R△BCD中，∠BCD=90-∠CBD=30',BD=2BC=10m ∴.CD=√BC-BD=10√5m.∴AD=AB+BD=90m.在Rt△ACD中，AC= √/AD+CD=√/902+(10√3)2=20√/2I≈92(m).答：A,C两点之间的距离约为92m. 第5页（共48页） 思维拓展 9.解：(1)由题意，得∠ABD=90°.设AB=xm,则AD=(x十2)m.在A'N Rt△ABD中，AB十BD=AD,即x2十8=(x十2)2，解得x=15.答：旗杆的 高度AB的长为15m.(2)由(1)，得AD=17m,AB=15m,如答图，延长BA 至点A',使AA'=4m,连接A'D,则A'B=A'A十AB=19m在Rt△A'BD中， A'D=√AB+BDd=5√17≈20.6(m).20.6-17=3.6(m).答：绳子至少 D 要加长3.6m. 答图 第3课时利用勾股定理作图与计算 基础过关 1.A2.(-1,0)3.C4.AC5.606.20 能力提升 7.D8.D9.A10.解：连接BD.由题意可知a=AB,b=BC2,c=CD,d=AD.在 Rt△ABD和Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=AD2十AB=CD+BC,即a十d=b +c..a+d=12,∴.b+c=12. 大单元整合练利用勾股定理在数轴上表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图，点E和点F即为所求 21.12时 任务活动2：解：在Rt△ABC中，AC=√2+1严=√2，同理得AD=√(2)2+1=√5， AE=√(W3)2十1=2，AF=√22+1下=√5.由题意知AP=AF=5..点P表示的数 为-5. 任务活动3：(1)解：如图，点P即为所求. (2)W5-1 3210123 任务活动4：解：(1)√2 -√2 ①4 (2)①如图③所示 ②如图④420十立，点A表示-3十 图③ 图④ √5，点B表示-0.5..-0.5>-3十√5. 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·广西热点】 1.62.子3.解：过点A作AD1BC交BC的延长线于点D.在R△ABD中，由勾股 定理，得AD=AB-BD.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC-CD..AB -BD=AC-CD,即202-(7+CD)2=15-CD.∴.CD=9.∴.AD=√/AC-CD =12.即点A到BC的距离是12.4.D5.B6.D7.C8.A9.310.1.5m 11.3.7512.解：设木杆断裂处B离地面的高度AB为xm,则BC=(16-x)m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB十AC=BC,即x2十8=(16-x)2,解得x=6.答： 木杆断裂处B离地面的高度AB为6m.13.解：设BE=xkm,则CE=BC-BE= (16-x)km.AB⊥l,DC⊥l,.∠ABE=∠DCE=90°..EA2=AB2+BE,ED2= CD十CE.调运站E到A,D两个村庄的距离相等，∴.EA=ED.∴AB十BE=CD 十CE,即82十x2=122十(16-x)2,解得x=10.5..BE=10.5km.答：此时调运站E 到村庄B的距离为10.5km. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 基础过关 1.A2.解：(1)因为a2=676,b2=100,c2=576,所以b2十c2=a2.所以此三角形是直角 三角形，∠A是直角.(2)因为a2=4,b=3,c2=7,所以a2十b2=c2.所以此三角形是直 角三角形，∠C是直角.3.证明：由勾股定理，得AB2=22+32=13,BC=42十62= 52,AC=4+7=65,所以AB十BC2=AC.所以△ABC为直角三角形.4.B5.8 能力提升 6.B7.6和10（或15和17）8.解：(1)根据题意，得AB=√(8-2)+2-(-1) =35.(2)根据题意，得CD=√2-(-2)十(3-0)=5，DE= 第6页（共48页）