精品解析：江苏无锡惠山区2025-2026学年第一学期九年级数学期末抽测试题

江苏无锡惠山区2025-2026学年第一学期九年级数学期末抽测试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗、描写清楚． 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 已知关于x方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2. 若，则的值为（ ） A B. C. D. 3. 从某厂抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：3，4，5，6，8，8，8，10这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 4. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 某款智能机器人2025年10月份售价为20万元，12月份售价为18万元．设该款机器人这两个月售价的月平均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的外接圆，半径，垂足为点，则的长为（ ） A. B. C. 12 D. 24 9. 如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角，实验时，导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点，且，（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，则铁架杆与水槽之间的水平距离为（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列所有说法中正确的有（ ） ①函数图象关于点中心对称； ②函数图象关于轴对称； ③若关于的方程在范围内有实数根，则的取值范围是； ④若点和点在该函数图象上，且，则的范围是或． A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应的位置上） 11. 把一元二次方程化成一般形式为______． 12. 正六边形的每个外角都等于__________度． 13. 在一个不透明的袋子里，共有10个除颜色外都相同的小球，每次摸出一个小球记录颜色后放回，经过很多次摸球试验，计算摸到红球的频率大约等于，则由此估计袋子里红球的个数为______． 14. 二次函数的图象的顶点坐标为________． 15. 有一斜坡的坡度为，斜坡上最高点到地面的垂直距离为，那么这个斜坡的长度为______． 16. 如图，与位似，点是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为______． 17. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点.若，则的半径为_____． 18. 如图，在矩形中，．点为、的交点，点在上，的延长线交于点，则的长为______；将图中的绕点顺时针旋转一周，设点O，E的对应点分别为．当直线时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 按要求完成下列各题： （1）求锐角：； （2）计算：． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，，． （1）求证： （2）如果 ，，求的长． 22. 惠山泥人是国家级非物质文化遗产，其形象生动可爱，深受人们喜爱．某展览馆将四种惠山泥人：大阿福、蚕猫、寿星、渔翁各一个并排放在展台上展示． （1）若从中随机抽取一个泥人，抽中大阿福的概率为_____； （2）现计划从这四个泥人中任意选取两个制作成一套纪念品，求恰好选中渔翁和蚕猫的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 2025年，中国新能源汽车产销量预计突破1600万辆，连续11年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图： 类型 人数 百分比 纯电 27 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中_____，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）扇形统计图中“氢燃料”类所在扇形的圆心角的度数为_____度； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有6000人，请你估计喜欢新能源汽车（纯电、混动、氢燃料）的有多少人？ 24. 公元前一世纪《周髀算经》中记载的“方圆圆方图”是我国古代匠人建筑设计的经典构图，体现了古人对几何比例的深刻理解．令人惊叹的是，它所揭示的比例关系正是现代国际标准（）A系列纸张的设计基础，这个比例的值被称为“白银比”． （1）如图1，“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是_____； （2）如图2，纸的长宽比是“白银比”，将纸对折后得到纸．求证：纸的长宽比等于“白银比”； （3）如图3，先将（2）中的纸对折后得到纸，再将纸折叠，使点落在边上，得到正方形纸片．若纸的面积为，则正方形纸片的面积是______．（用含的代数式表示） 25. 如图1，在Rt中，，点为边上的点（不与点A，C重合），点为点关于直线BD的对称点． （1）若点在边上，请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点（不写作法，保留作图痕迹），此时的长为_____：（如需画草图，请使用备用图） （2）若，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点.（不写作法，保留作图痕迹） 26. 为了满足广大航天爱好者的需求，某商场推出了“神舟”和“天宫”模型套件．已知每套模型的进价为60元．若每套售价120元，则每月可以售出100套．若每套售价降低1元，则每月可多售出5套；若每套售价涨价1元，则每月将少售出1套．要求销售单价不得低于成本，设每套售价定为元，每月销售量为套． （1）求与之间函数表达式； （2）求每套售价定为多少元时，每月销售套件所获利润最大，最大利润是多少元？ 27. 如图，在中，．是的外接圆，是线段上一点，过点作的垂线分别交于点，交在点处的切线于点，连接． （1）求证：： （2）若，，求的长度； （3）记的面积为，若，请直接写出的最小值与最大值的比值． 28. 已知二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧)，与轴交于点． （1）点的坐标为_____(用含的代数式表示)； （2）若 ①连接、，是二次函数图象上一点，且的横坐标大于过点作，垂足为，连接，求点的坐标． ②将二次函数的图象平移后得到二次函数的图象，设与图象的交点为，过点的直线与图象的另一个交点为，与图象的另一个交点为，问线段的长是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏无锡惠山区2025-2026学年第一学期九年级数学期末抽测试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗、描写清楚． 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可通过设参数法，将n和m用同一参数表示，再代入所求分式计算求值． 【详解】解： ∵ ∴ 设（k≠0） ∴， ∴=， 故选：D． 3. 从某厂抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：3，4，5，6，8，8，8，10这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，需根据中位数的计算方法，先确认数据已排序，再针对偶数个数据取中间两个数的平均数求解． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排列为3，4，5，6，8，8，8，10 又∵数据共有8个，为偶数个 ∴中位数为中间两个数的平均数，即第4个和第5个数的平均数， ∵第4个数是6，第5个数是8， ∴中位数， 故选：C． 4. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 5. 已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 6. 如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明两个三角形相似，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 某款智能机器人2025年10月份售价为20万元，12月份售价为18万元．设该款机器人这两个月售价的月平均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程． 根据题意可知11月份的售价为万元，12月份的售价为万元，进而根据12月份售价为18万元列方程即可． 【详解】解：∵10月份售价为万元，月平均下降率是， ∴11月份的售价为万元， ∴12月份的售价为万元， 又∵12月份售价为万元， ∴可列方程为． 故选：D． 8. 如图，为的外接圆，半径，垂足为点，则的长为（ ） A B. C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明是等边三角形，利用垂径定理推论，正切函数解答即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角，实验时，导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点，且，（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，则铁架杆与水槽之间的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点B作于点H，设与交于点K，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点H，设与交于点K，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 关于函数，下列所有说法中正确的有（ ） ①函数图象关于点中心对称； ②函数图象关于轴对称； ③若关于的方程在范围内有实数根，则的取值范围是； ④若点和点在该函数图象上，且，则的范围是或． A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．依次分析每个说法，利用偶函数性质判断对称性，通过分段函数分析中心对称，将方程根的问题转化为函数值域问题，结合函数单调性分区间比较函数值大小，进而判断各说法正误． 【详解】解：判断①： ∵ 当时，； 当时，； 取，得，其关于点对称的点为， 又∵时，， ∴ 函数图象不关于点中心对称，①说法错误； 判断②： ∵， ∴ 函数为偶函数，图象关于轴对称，②说法正确； 判断③： 方程等价于， 当时，，则， ∵，∴，，∴即， 当时，，则， ∵，∴当时；当时，∴， 综合得，与③中“”不符，③说法错误； 判断④： 若即，函数递增，恒成立，满足； 若，由化简得，交集为； 若，由化简得，交集为； 若，由化简得，交集为； 若，函数递减，无解； 合并得或，④说法正确； 综上，正确的是②④， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应的位置上） 11. 把一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式 （），需通过移项使等式右边为0． 【详解】解：化成一般形式为：， 故答案为：． 12. 正六边形的每个外角都等于__________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．根据正六边形的外角和为即可求解． 【详解】解：正六边形的外角和为， 正六边形的每个外角都等于． 故答案为：60． 13. 在一个不透明的袋子里，共有10个除颜色外都相同的小球，每次摸出一个小球记录颜色后放回，经过很多次摸球试验，计算摸到红球的频率大约等于，则由此估计袋子里红球的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握好频率与概率的概念与关系是关键． 根据频率估计概率，摸到红球的频率稳定在附近，因此概率约为，利用概率公式计算红球个数． 【详解】解：∵经过很多次摸球试验，摸到红球的频率约为， ∴摸到红球的概率， ∴红球个数为个． 故答案为：3． 14. 二次函数的图象的顶点坐标为________． 【答案】（0，5） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质找出二次函数的顶点坐标（﹣），代入数据即可得出结论． 【详解】∵在二次函数y=x2+5中，a=1，b=0，c=5，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣），即（0，5）． 故答案为（0，5）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握“二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣）”是解题的关键． 15. 有一斜坡的坡度为，斜坡上最高点到地面的垂直距离为，那么这个斜坡的长度为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了坡度，勾股定理． 根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为，已知垂直高度为，可求水平距离，再利用勾股定理求斜坡长度即可． 【详解】解：设水平距离为米， ∵坡度为，斜坡上最高点到地面的垂直距离为， ∴， 解得米， 斜坡长度米， 故答案为：13． 16. 如图，与位似，点是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似性质，位似的两个三角形面积之比等于位似比的平方，计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 故， ， 解得． 17. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点.若，则的半径为_____． 【答案】 【解析】 分析】连接，，证明，，利用正弦函数解答即可． 【详解】解：连接， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 故的半径为． 18. 如图，在矩形中，．点为、的交点，点在上，的延长线交于点，则的长为______；将图中的绕点顺时针旋转一周，设点O，E的对应点分别为．当直线时，线段的长为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】根据勾股定理，得，继而得到；将绕点顺时针旋转，的边恰好落在边上，过点作于点K，将绕点顺时针旋转，的边恰好落在边的延长线上，设直线与直线交于点Q，过点作于点M，根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵点为、的交点， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点作于点H， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 将绕点顺时针旋转，的边恰好落在边上，设直线与直线交于点T， 过点作于点K， 根据旋转的性质，得，，， ∴． ∴． ∴直线， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转，的边恰好落在边的延长线上， 设直线与直线交于点Q， 过点作于点M， 根据旋转的性质，得，，， ∴． ∴． ∴直线， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 按要求完成下列各题： （1）求锐角：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． （1）先求出的值，进而根据特殊角的三角函数值作答即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 21. 如图，，． （1）求证： （2）如果 ，，求的长． 【答案】（1）证明见详解； （2）2 【解析】 【分析】（1）本题考查相似三角形的判定，根据得到，结合即可得到证明； （2）本题考查相似三角形的性质，根据得到，结合，即可得到答案 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 惠山泥人是国家级非物质文化遗产，其形象生动可爱，深受人们喜爱．某展览馆将四种惠山泥人：大阿福、蚕猫、寿星、渔翁各一个并排放在展台上展示． （1）若从中随机抽取一个泥人，抽中大阿福的概率为_____； （2）现计划从这四个泥人中任意选取两个制作成一套纪念品，求恰好选中渔翁和蚕猫的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2）恰好选中渔翁和蚕猫的概率为 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共四个泥人，大阿福有一个， ∴若从中随机抽取一个泥人，抽中大阿福的概率为； 故答案：； 【小问2详解】 解：设大阿福、蚕猫、寿星、渔翁分别为A、B、C、D， 画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中，恰好选中渔翁和蚕猫的有2种， ∴恰好选中渔翁和蚕猫的概率为． 23. 2025年，中国新能源汽车产销量预计突破1600万辆，连续11年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图： 类型 人数 百分比 纯电 27 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中_____，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）扇形统计图中“氢燃料”类所在扇形的圆心角的度数为_____度； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有6000人，请你估计喜欢新能源汽车（纯电、混动、氢燃料）的有多少人？ 【答案】（1）30，将条形统计图补充完整见解析 （2） （3）估计喜欢新能源汽车的约有5400人 【解析】 【分析】（1）先求得样本容量，再根据频数之和等于样本容量，计算所缺失的数据，补图即可； （2）根据圆心角的计算方法解答即可； （3）利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查了样本容量的计算，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取的人数为：， 喜欢混动的人数：（人）， ∴， ∴， 将条形统计图补充完整如图． 【小问2详解】 解：扇形统计图中“氢燃料”类所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计喜欢新能源汽车的约有5400人． 24. 公元前一世纪《周髀算经》中记载的“方圆圆方图”是我国古代匠人建筑设计的经典构图，体现了古人对几何比例的深刻理解．令人惊叹的是，它所揭示的比例关系正是现代国际标准（）A系列纸张的设计基础，这个比例的值被称为“白银比”． （1）如图1，“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是_____； （2）如图2，纸的长宽比是“白银比”，将纸对折后得到纸．求证：纸的长宽比等于“白银比”； （3）如图3，先将（2）中的纸对折后得到纸，再将纸折叠，使点落在边上，得到正方形纸片．若纸的面积为，则正方形纸片的面积是______．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设正方形为，连接,根据题意，得大圆的直径为正方形的对角线，小圆的直径为正方形的边，根据正方形的性质解答即可； （2）设，根据定义证明即可； （3）设，证明，解答即可． 【小问1详解】 解：设正方形为，连接, 根据题意，得大圆的直径为正方形的对角线，小圆的直径为正方形的边， 又， 故， 故“方圆圆方图”中的大圆直径和小圆直径的比即为“白银比”，比值是． 【小问2详解】 解：如图，设， ∵纸的长宽比是“白银比”， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得四边形是矩形， 且，， 故， ∴纸的长宽比等于“白银比”． 【小问3详解】 解：设， ∵纸的长宽比是“白银比”， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠性质，得四边形是矩形， 且，， 第二次折叠，得， 故正方形纸片的面积是． 25. 如图1，在Rt中，，点为边上的点（不与点A，C重合），点为点关于直线BD的对称点． （1）若点在边上，请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点（不写作法，保留作图痕迹），此时的长为_____：（如需画草图，请使用备用图） （2）若，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，勾股定理、轴对称的性质、直角三角形中的线段计算． （1）根据对称性得到相等线段和直角，设未知数，在直角三角形中应用勾股定理建立方程． （2）利用 “到定点距离等于定长” 确定点的轨迹，再通过两圆交点锁定唯一位置，本质是几何条件的轨迹交轨法． 【小问1详解】 解：如图1中；点E即为所求． 在中，． 由勾股定理得：． ∵ 点是点关于直线的对称点， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 设，则 ． 在中，由勾股定理： ． 即 ． 展开并整理： ． 解得： ． 即． 故答案为： 【小问2详解】 如图2中；由，根据圆周角定理，点必在以为直径的圆上． 同时，点是点关于的对称点，故，因此点也在以为圆心、为半径的圆上．两圆的交点即为满足条件的点，连接并作其垂直平分线，与的交点即为，点即为所求． 26. 为了满足广大航天爱好者的需求，某商场推出了“神舟”和“天宫”模型套件．已知每套模型的进价为60元．若每套售价120元，则每月可以售出100套．若每套售价降低1元，则每月可多售出5套；若每套售价涨价1元，则每月将少售出1套．要求销售单价不得低于成本，设每套售价定为元，每月销售量为套． （1）求与之间的函数表达式； （2）求每套售价定为多少元时，每月销售套件所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）当时，，当时， （2）当每套售价定为100元时，每月销售套件所获利润最大，为8000元 【解析】 【分析】本题考查了列一次函数解析式，二次函数的应用． （1）分两种情况分别列一次函数解析式即可； （2）分别求出两种情况的最大利润，比较后作答即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 【小问2详解】 解：①当时，， ， 开口向下， ∴当时，； ②当时，， ， 开口向下， ∴当时，； ， 当时，． 答：当每套售价定为100元时，每月销售套件所获利润最大，为8000元． 27. 如图，在中，．是的外接圆，是线段上一点，过点作的垂线分别交于点，交在点处的切线于点，连接． （1）求证：： （2）若，，求的长度； （3）记的面积为，若，请直接写出的最小值与最大值的比值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线性质与等腰三角形性质，证明，从而得到 （2）过作，由知；先由和求出，再由证明，求出和；利用及勾股定理求出 （3）过作，设，得、；证明，用表示的面积；分别求出的最值，再求出的最值比． 【小问1详解】 解：连接 是的切线， ， ∵直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ，， ∴， ， 是中点， ， ，， ， ∵，， ，，， ∴， ， ∴， 在中，即， 解得； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 设， ∵， ∴ ∴， 由（）得，， ∵， ∴， ， ∴ ∴， 当点与点重合时，取最大值，即取最大值，如图，此时点、、重合，， ∴， 当点与点重合时，取最小值，即取最小值，如图，此时， 由（）得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质、等腰三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数及勾股定理等知识点，熟练掌握圆的相关性质及相似三角形的应用是解题的关键． 28. 已知二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧)，与轴交于点． （1）点的坐标为_____(用含的代数式表示)； （2）若. ①连接、，是二次函数图象上的一点，且的横坐标大于过点作，垂足为，连接，求点的坐标． ②将二次函数的图象平移后得到二次函数的图象，设与图象的交点为，过点的直线与图象的另一个交点为，与图象的另一个交点为，问线段的长是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②长为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）在二次函数解析式中令，计算对应函数值即可得到点的坐标； （2）①先求出二次函数解析式，进而求出与轴的交点、的坐标，作辅助线轴、，利用角的互余推出，结合等腰直角三角形性质得，进一步推出，结合直角判定，设点坐标并表示出、的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程求解点坐标； ②先联立与的解析式求出交点的坐标，将点坐标代入直线的解析式求出关于的表达式，再分别联立直线与、直线与的解析式，利用韦达定理求出点、的坐标，最后代入平面直角坐标系中两点间的距离公式计算的长度，化简后判断其是否为定值． 【小问1详解】 解：对于二次函数，令，则， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：当时，， 令，解得或， ∵在左侧， ∴，，． 如图，过点作轴，过点作于，则点的纵坐标是 ∵，， ∴． ∵，， ∴， 又轴， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 设，则，． 由，得， 即，化简， 解得(舍去)， 当时，，故． ②解：联立，得， 解得，， 故． ∵直线过， ∴，解得． 联立，得， 由韦达定理得， ∴，； 联立，得， 由韦达定理得， ∴，， ∴， 故线段的长为定值． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点求解、相似三角形的判定与性质、一次函数与二次函数的交点问题、韦达定理的应用等知识，关键是实现几何问题与代数问题的转化，利用相似三角形的性质列方程求解点的坐标，结合韦达定理简化交点坐标的计算，进而判断线段长度是否为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $