第19章 二次根式 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）贵州专版

第十九章 章末复习 思维导图 ◆。·构建知识体系 二次根式 —形如 的式子 概念 (1)被开方数不含 最简二次根式 (2)被开方数中不含 a≥0(a≥0) 性质 (a)2= (a≥0) 次 (a≥0) √ 式 (a<0) 乘法一a·√6= (a≥0，b≥0) 运算 慢团会- (a≥0，b>0) 加减法一先将二次根式化成 ,再将 的二次根式合并 混合运算一类比整式的运算法则进行运算 T考点整合 ◆◆直击核心要点 考点1二次根式的概念及性质 (2)实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图 1.下列式子中，是二次根式的是 所示，则化简√(a-b)严-√/(c一a)严+ A.√-12 B.√3 |b一c的结果为 0 c.5 D.√π-4 考点2二次根式的运算 2.当x=一2时，下列二次根式有意义的是 6.(2025·黔南期中)下列计算正确的是( ( A.√5×√2=√10 B.√2+√3=√5 A.√x-2 B.√Jx-1 C.2:3=2 D.55-2√2=3 3 C.√x-3.6 D.√/2-x 7.计算（√10+3）2035（√/10-3）2034的结 3.(2025·黔南期末)下列二次根式中，是最简 果是 () 二次根式的是 ( A.√10-3 B.√10+3 A.8 C.-3 D.3 C.√0.I D.√3 8.已知a十6=4，=2.则、吾+√层的值为 4.(2025·遵义期中)已知b<0,化简二次根式 9.新定义新趋势对于任意不相等的两个数a, √ab的正确结果是 ( A.-a√-ab B.-a√ab b,定义一种运算※如下：Q※b三。a方名，如 C.a√ab D.a√-ab 5※4=5=3，则(2一月)※(7※5)的值 5-4 5.(1)化简：√x-3)-(-4)2=； 为 16数学1八年级下册 10.计算： 12.数学文化新趋势海伦—秦九韶公式告诉 (1)(2025·黔东南期未)√27-√12+√48； 我们：三角形的三边长分别为a,b,c,记p= 。十b十c),那么三角形的面积可以表示 为S=√p(p-a)(p-b)(p-c).已知一个 三角形的三边长分别为7,8,9，那么这个三 角形的面积为 (2)(2025·路东南期未8÷E+,√后×V压， 13.安全教育情境化高空抛物现象曾被称为 “悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的 “头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空 落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来 不及避让，据研究，高空抛物下落的时间 t(s)和高度h(m)近似满足公式t= (共 (3)22+®)-8-27)： g 中g≈9.8m/s2). (1)当h=98时，求下落的时间t.(结果保 留根号) (2)伤害无防护人体只需要65J的动能，高 空抛物动能(J)=10×物体质量(kg)× 高度(m),某质量为0.1kg的玩具在高 (4)(4+√7)4-)+（√8-46）÷5. 空被抛出后经过4s后落在地上，这个 玩具产生的动能会伤害到楼下的行人 吗？请说明理由. 考点3二次根式的实际应用 11.(教材P12习题T12变式)如图，这是运动 会颁奖台的贴纸，在长方形内绘制三个紧 邻的正方形并标注相应的名次，三个正方 形的面积从左到右依次为3,4,2，将剩余阴 影部分剪掉，则剪掉的面积为 ( A.2√2-2√3+1 B.2√2-2√3+5 C.2√2+2√5-1 D.2√2+2√5-5 第十九章二次根式17 聚焦课标 ·◆，强化情境任务 14.(2025·贵阳期中)铜仁市碧江区某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次 根式√3-2√2的难题. 【问题解决】 (1)聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将3一2√2转化为（α一b)2的形式，根据 √/(a-b)'=a-b(a>b)..(√2)2+12=3,2X2×1=2√2，∴.a= ,b= ,则可 得到化简. 【学以致用】 (2)请仿照小明的解题思路，化简二次根式√5十2√6 【知识迁移与拓展】 (3)若1≤x≤2解方程√+2气+V-2-气=号(x+3). 提示 请完成阶段微测试（二）[第十九章] 18数学1八年级下册+2^B-厄+2)W3-万=1x+3y+y=(x+)+xy=12+1=13. 1 1 1 11.解：(1)：x=√10-3，x十3=√10.两边平方，得(x十3)2=（√/10）2，即x2+6x十9= 10.x2+6x=1.x2+6x-8=1-8=-7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将代数式 x2+6x-8变形为(+3)2-17，再将x+3=0整体代人求值.(2)：x=5,1,2x 2 √5-1.∴.2x十1=5.两边平方，得(2x十1)=(W5)2,即4x2十4x十1=5..4x十4x=4,即 x2+x=1.∴x2+3x=x2+x十(2x+1)-1=√5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB,∴∠B= 90,AB=BEAE=VAB+配=反AB,第二次折叠，得AD=AE=厄AB船 EAB=V2.即A4纸的长与宽的比值为E.【进阶问】解：由题意，得A5纸的长为b,宽为 AB 号.“a6=E,a=E6.b:号=b:受-反.A5纸长与宽的比值为VE 2 【类比归纳V2减半【拓展探究2士巨【延伸探究】解：由题意，得BM纸的面积为250× 4 353=88250(mm).B5纸的面积为SB饿÷2=44125(mm).A4纸的面积为210×297= 62370(mm2).A5纸的面积为SA4纸÷2=31185(mm2)..S纸：S纸=88250：62370≈ 1.4≈√2，Ss纸：SA纸=44125：31185≈1.4≈√2.【归纳V2 第十九章章末复习 思维导图 a(a>≥0)分母能开得尽方的因数或因式aa一a√a品√号 最简二次根式 被开方数相同 考点整合 1.B2.D3.D4.B5.(1)1(2)06.A7.B8.229.-2+y5 10.解：(1)原 式=35-25+45=5尽.(2)原式=+=2+3=5.(3)原式=22+号5-号万 +5=-E+原.4原式=-)+V⑧÷5-6÷-16-7+4-厄 4 2X98=√20= =13-厄.11.D12.12513.解：)当h=98时，下落的时间=√9.8 26.(2这个玩其产生的动能会伤吉到楼下的行人，理由如下：当1=4时，4=√质解得 h=78.4.10×0.1×78.4=78.4>65,∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人. 聚焦课标 14.解：(1)W21(2)5+2√6=(W3)2+2X√3×2+(W2)2=(3+√2)2，∴.√5+2√6= √(W3+2)2=3+2.(3):x+2√x-1=(√x-1+1)2,x-2√-=（√-I-1)2, ∴.√x十2√x-I+√x-2√/-I=√（√x-1+1)+√/（√x-1-1)2=|x-1+1 十/x一1一1.又1≤x≤2，.√x一1一1<0，.方程左边整理，得√x一1十1十1一 =2,故方程为2=之(x十3)，解得x=1, 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 新知梳理 a2+=c2 例题引路 【例1】解：在△ABC中，：∠C=90°，∴.a2+b2=c2.(1):a=8,b=15,.c=a2+b=17. (2)c=25,a=7,.b=√/C2-a=24.(3)设a=3x,则b=4x..(3x)2十(4x)2=402,解得 x=8(负值已舍去)..a=24,b=32. 易错典例 【例2】13或/119 基础过关 1.C2.C3.4913 AC BC AB4.C5.B6.解：CD⊥AB,.∠ADC= ∠BDC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AC-AD=√I7-15=8.∴BC =√/BD+CD=√/(4√5)2+82=12. 第4页（共48页） 能力提升 7.C8.C9.B10.3611.解：AD⊥BC,∠ADC=∠ADB=90°.∠B=60°， ∴∠BAD=30.BD=号AB=2.在R△ADB中，AD=VAB-BD=2E.在R△ADC中， CD=√AC-AD=4.∴BC=BD十CD=6.∴.△ABC的面积为2BC·AD=65. 思维拓展 12.解：(1)：正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB=c, BE=a,AE=bb>a),…c2=4×ab十(b-a),整理，得a十B=C.(2)”直角三角形 ABE的面积为54，c=15,号ab=54,a2+=2=152=225.ab=108.小正方形 EFGH的面积为(b-a)2=a2+b-2ab=225-2X108=9,∴.小正方形EFGH的边长为3. 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 例题引路 【例1】解：连接AM.由题意，得OC=AA'=3m,OM=21m,∴.CM=OM-OC=18m.在 Rt△ACM中，AM=√AC+MC=6√10m.:6√10<20，∴.云梯的长度足够. 易错典例 【例2V6 基础过关 1.C2.B3.50V34.65.解：CD⊥BD,.∠D=90°.在Rt△ADC中，AD= √AC-CD=103m.在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=303m..AB=BD-AD= 20V3m.答：A,B两个凉亭之间的距离为20√3m. 能力提升 6.D7.2.6m8.解：在Rt△AB0中，：∠AOB=90°，AB=25m,OB=19-4=15(m), ∴.AO=√AB-OB=√25-15=20(m).在Rt△DOC中，：∠COD=90°，CD=25m, OD=28-4=24(m),.OC=√CD-0D=√25-24=7(m),∴.AC=0A-OC=20- 7=13(m).答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为13m. 思维拓展 9.解：(1)由题意，得∠ABD=90°.设AB=xm,则AD=(x十2)m.在Rt△ABD中，AB十 BD=AD,即x2十82=(x十2)2，解得x=15.答：旗杆的高度AB的长为15m.(2)由(1)， 得AD=17mAB=15m,如答图，答图D延长BA至点A',使AA'=4m:连接AD,则 A'B=A'A+AB=19m.在Rt△A'BD中，A'D=√AB+BD=5√17≈20.6(m).20.6- 17=3.6(m).答：绳子至少要加长3.6m. 第3课时利用勾股定理作图与计算 基础过关 1.C2.(-1,0)3.C4.AC5.606.20 能力提升 7.D8.D9.A10.解：连接BD.由题意可知a=AB2,b=BC2,c=CD,d=AD.在 Rt△ABD和Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=AD十AB=CD十BC,即a十d=b十c. .a+d=12,.b+c=12. 大单元整合练利用勾股定理在数轴上表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图， 点E和点F即为所求。 432.13方 任务活动2：解：在Rt△ABC中，AC=√十1严=√2，同理得AD=√(W2)+12=√3，AE= √/(W3)2+12=2,AF=√/22+1平=√5.由题意知AP=AF=√5.∴点P表示的数为-√5. 任务活动3：解：(1) 如图，点P即为所求.(2)W5一1 P 32-10123 任务活动4：解：(1)√2 一√2(2)①如图③所示.②如图④，点A表示-3十√5，点B表示 -0.5..-0.5>-3+√/5 4-32-T2 图③ 图④ 第5页（共48页） 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·贵州热点】 1.62.3.解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,在Rt△ABD中，由勾股定 理，得AD=AB-BD,在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC-CD..AB2-BD =AC2-CD,即202-(7+CD)2=15-CD.∴.CD=9.∴.AD=√AC-CD=12.即点A 到BC的距离是12.4.D5.B6.D7.C8.A9.510.B11.3.7512.解：设木杆 断裂处B离地面的高度AB为xm,则BC=(16一x)m.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2十AC=BC,即x2十82=(16一x)2,解得x=6.答：木杆断裂处B离地面的高度AB为 6m. 13.解：(1)：∠AOB=90°，AO=20cm,OB=15cm,∴.在Rt△AB0中，AB= √/AO+OB=√202+15=25(cm).(2)在Rt△A'OB'中，A'0=A0-AA'=20-13= 7(cm),A'B'=AB=25cm,∴.OB'=JAB-AO=√25-7严=24(cm).∴.BB'=OB' OB=24-15=9(cm). 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 基础过关 1.C2.解：(1)a2=676,6=100,c2=576,.b2+c2=a2.∴.此三角形是直角三角形，∠A 是直角.(2)：a2=4,=3,c2=7,∴.a2十b2=c2.此三角形是直角三角形，∠C是直角. 3.证明：由勾股定理，得AB2=2十32=13，BC2=4十62=52，AC2=42十72=65.，.AB2十 BC2=AC.∴.△ABC为直角三角形.4.C5.8 能力提升 6.B7.6和10（或15和17）8.解：(1)根据题意，得AB=√(8-2)+[2-(-1)下=35. (2)根据题意，得CD=√2-(-2)+(3-0)=5，DE=√(-2-0)+[0-(-1)下= √5，CE=√(2-0)+L3-(-1)J下=2√5..DE+CE=5+20=25=CD.∴△CDE是直 角三角形. 第2课时勾股定理逆定理的应用 例题引路 【例】证明：.CD⊥AB,.∠CDB=∠CDA=90°.在Rt△CDB中，BD=BC-CD=9.在 Rt△ACD中，AD=√/AC-CD=16.∴.AB=AD+BD=25.:AB2=252=625,AC+ BC=202+15=625,∴.AB=AC十BC,∴.△ABC是直角三角形. 基础过关 1.D2.A3.D4.解：：AB=BC=2km,∠ABC=90°，AC=√AB+BC=2W2km, ∠BAC=45°.：AC=AD=2√Ekm,CD=4km,∴.AC+AD=16=CD..△ACD是直角 三角形，且∠CAD=90°.∴.∠DAB=∠BAC+∠CAD=135°. 能力提升 5.D6.247.(1)证明：，AC2十BC2=32+42=25,AB2=52=25,.AC+BC2=AB2, .△ABC为直角三角形，∠ACB=90°..AC⊥BC.(2)解：选择八(1)班的铺设方案.理由如 下：八(1)班方案所需水管长度为AC+BC=3十4=7(m).由(1)，得AC⊥BC,且CD⊥AB, 由等面积法可得，CD=AC:BC=2=2.4(m.八(2)班方案所需水管长度为CD+AD十 AB 5 BD=CD十AB=2.4十5=7.4(m)..7<7.4,.选择八(1)班的铺设方案. 思维拓展 8.解：(1)海港C受台风影响.理由如下：如图， 过点C作CD⊥AB AEDF B 于点D.:AC=300km,BC=400km,AB=500km,∴.AC+BC=AB..△ABC是直角 三角形，∠ACB=90,:Sac=号AC·BC=号AB·CD,∴CD=300X40=240(kn. 500 :以台风中心为圆心，周围250km以内为受影响区域，.海港C受到台风影响.(2)如图， 当台风中心位于EF段时，正好影响海港C.此时CE=CF=250km.:在Rt△ECD中，DE =√EC-CD=70km,∴.EF=2DE=140km..140÷20=7(h).答：台风影响该海港持 续的时间为7h. 专题三利用勾股定理求最短路径问题【教材拓展·通性通法】 1.A2.A3.174.435.136.5 60 数学活动利用勾股定理绘制图案 解：任务一：6.25任务二：：DE+EF+DF=7cm,EF=2cm,.DE+DF=5cm.∴.DE= (5-DF)cm.在Rt△DEF中，由勾股定理，得DF2+EF2=DE,∴.DF2十4=(5-DF)2. S. G H、 cmS=DF-鵠m.任务三：号【解析】如答图， ·DF=2 过点H作 答图 第6页（共48页）