基本功专练(1) 与线段的垂直平分线、角平分线有关的证明或计算(周测小卷)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

基本功专练（一）与线段的垂直平分线、 角平分线有关的证明或计算 （时间：40分钟满分：60分) 1.(7分)如图，在△ABC中，∠C=90°，3.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， ∠B=30°，BC=6cm,AD是∠CAB的平 AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E。 分线，求CD的长。 (1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数； (2)求证：直线AD是线段CE的垂直平 分线。 2.(7分)如图，在△ABC中，AC的垂直平分 线交AC于点E,交BC于点D,△ABD 的周长为20cm,AE=5cm,求△ABC的 周长。 ·3· 4.(12分)如图，在△ABC中，∠ABC的平分 6.(12分)如图，在四边形ABCD中，∠B= 线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于 90°，AB∥CD,M为BC边上的一点，且 点P,PD⊥AC于点D,PH⊥AB于点H。 AM平分∠BAD,DM平分∠ADC。 (1)若PH=8cm,求点P到直线BC的 求证：(1)AM⊥DM; 距离； (2)M为BC的中点。 (2)求证：点P在∠HAC的平分线上。 H 5.(12分)如图，在△ABC中，∠B=30°， ∠C=40°。 (1)尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D: ②连接AD,作∠CAD的平分线交BC 于点E;(要求：保留作图痕迹，不写 作法) (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数。 4·周测小卷答案 阶段微测试（一） 1.C2.C3.C4.C5.A6.C7.∠1>∠2>∠38.40°9.(20√3-20) 10.18°或36°11.解：，AD=BD,.∠B=∠BAD。又：∠ADC=∠B+∠BAD= 70°，∠B=∠BAD=35°。.∠C=180°-∠B-∠BAC=65°。12.已知：在△ABC0 中，∠A>∠B,∠A>∠C。求证：∠A≥60°。证明：假设∠A<60°，则∠B<60°，∠C 60°，∴.∠A十∠B十∠C<180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾。∴.假设不成立。 ∠A≥60°。13.(1)证明：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC,∠ABD=∠C AB=BC, =60°。在△ABD和△BCE中，∠ABD=∠C,∴·△ABD≌△BCE(SAS)。(2)解： BD=CE, :△ABD≌△BCE,∴∠CBE=∠BAD=20°。∴∠ABE=∠ABD-∠CBE=40°。 14.(1)证明：：∠A=60°，∠C=40°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=80°。BD平分 ∠ABC,:∠DBC=合∠ABC=40.·∠DBC=∠C。六△BCD为等腰三角形。 (2)解：：∠DBC=∠C=40°，.∠BDC=180°-∠DBC-∠C=100°，DB=DC。E为 BC的中点，DE平分∠BDC。∠EDC=号∠BDC=50.15.证明：I):△ABC 是等边三角形，∠CAB=∠CBA=60。:D为BC的中点，∠CAF=∠CAB= 30°。BE⊥AB,.∠ABE=90°。∴.∠CBE=∠ABE-∠CBA=30°。∠CAF= ∠CBE。(2),△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°，AC=BC。在△CAF和△CBE AC=BC. 中，∠CAF=∠CBE,.△CAF≌△CBE(SAS)。∴.CE=CF,∠ACF=∠BCE AF=BE, ∴∠ECF=∠BCE十∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°。∴.△CEF是等边三角形。 基本功专练（一）与线段的垂直平分线、 角平分线有关的证明或计算 1.解：：∠C=90°，∠B=30°，.∠CAB=60°。AD是∠CAB的平分线，∠CAD= ∠BAD=∠B=30。AD=2CD,AD=BD.BC=3CD.∴CD=吉BC=专X6= 2(cm)。2.解：DE是AC的垂直平分线，.AD=CD。.△ABD的周长=AB十 BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=20cm。又.'AE=5cm,∴.AC=2AE=2X5= 10(cm),.△ABC的周长=AB+BC+AC=20+10=30(cm)。3.(1)解：∠BAC =50,AD平分∠BAC,∠EAD=2∠BAC=25。DE⊥AB,∠AED=90, .∠EDA=90°-25°=65°。(2)证明：：∠ACB=90°，.∠AED=∠ACD。AD平 分∠BAC,.∠DAE=∠DAC。又AD=AD,∴.△AED≌△ACD(AAS),.AE= AC,ED=CD,·直线AD是线段CE的垂直平分线。4.(1)解：过点P作PQ⊥BE 于点Q。:BP平分∠ABC,PH⊥AB,PQ⊥BE,PQ=PH=8cm。.点P到直线 BC的距离为8cm。(2)证明：CP平分∠ACE,PD⊥AC,PQ⊥BE,.PD=PQ。又 PH=PQ,PD=PH。∴.点P在∠HAC的平分线上。5.解：(1)如图， 点D,射线AE即为所求。(2)：DF垂直平分线段AB,∴DB=DA, B D米 ∴∠DAB=∠B=30°。∠C=40°，.∠BAC=180°-30°-40°=110°，∴.∠CAD= 110°-30=80。“AE平分∠CAD,∠DAE=号∠CAD=40.6.证明：(1)：AB ∥CD,∴.∠BAD+∠ADC=180°。AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴.2∠MAD+ 2∠ADM=180°，.∠MAD+∠ADM=90°，.∴.∠AMD=90°，即AM⊥DM。(2)过点M 作MN⊥AD于点N,.∠B=90°，AB∥CD,.BM⊥AB,CM⊥CD。'AM平分 ∠BAD,DM平分∠ADC,.BM=MN,MN=CM,∴.BM=CM,即M为BC的中点。 阶段微测试（二） 1.C2.B3.B4.B5.B6.D7.真8.BC=FE(答案不唯一)9.42°10.100 11.解：(1)逆命题：如果a=b,那么a=b。逆命题是假命题。(2)逆命题：同旁内角互 补，两直线平行。逆命题是真命题。12.证明：：CE⊥AD,·∠CED=90°。∴.∠C十 ∠D=90°。：∠A=∠C,∴∠A十∠D=90°。∴∠ABD=90°。∴.△ABD是直角三角 形。13.解：如图， B 点P即为所求。14.证明：连接BD,CD。点D 不* M米 第34页（共48页） 在BC的垂直平分线上，.BD=CD。.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE= D正。在RABDE和R△CDF中，EDE,R△BDE2R△CDFH,BE园 CF。15.(1)证明：：DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠E=∠DFC=90°。在Rt△BDE和Rt BD=CD:R△BDE≌R△CDF(HL),DE=DF。又：DE⊥AB,DF △CDF中，BE=CF, ⊥AC,.AD平分∠BAC。(2)解：AB十AC=2AE。理由如下：由(1)可知DE=DF。 在R△ADE和R△ADF中，(AD=AD:R△ADE≌R:△ADF(HL)。“AE= DE-DF. AF...AB+AC=(AE-BE)+(AF+FC)=(AE+AF)+(FC-BE)=2AE. 阶段微测试（三） 1.A2.C3.A4.D5.D6.D7.2x+3≥58.-39.m>210.3<m4 11.解：(1)去括号，得3一3x<2x十18。移项，得-3x一2x<18一3。合并同类项，得 一5x<15。两边都除以一5，得x>一3。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 2107 一(2)去分母，得2(2x一1)一3(5x十1)17。去括号，得4x一2 15x-3≤17。移项，得4x-15x≤17十3十2。合并同类项，得-11x≤22。两边都除以 -11,得r≥一2。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。01十2一 12.解：.ab,c>0,∴.ac<bc。.bc,a>0,∴.ab<ac。∴.ab<ac<bc。13.解：解不 等式1-2,5工<2x,得x>1。满足该不等式的最小正整数为2。把x=2代入(a 3 3)x=4(x-1),得2(a-3)=4,解得a=5。当a=5时，a2-4a十2=52-4×5十2=7。 14.解：设参加活动的八年级学生有x名，则七年级学生有(60一x)名。根据题意，得 20x十15(60-x)≥1000。解得x≥20。答：至少需要20名八年级学生参加活动。 15.解：(1)设每个甲种文创产品的进价为x元，每个乙种文创产品的进价为y元。根 据题意，得30x十50y=1360, 60十40,1520解得·答：每个甲种文创产品的进价为12元： 个乙种文创产品的进价为20元。(2)设购进甲种文创产品m个，则购进乙种文创产品 (200一m)个。根据题意，得12m十20(200-m)≤3360。解得m≥80。答：最少需要购 进80个甲种文创产品。 基本功专练（二）解一元一次不等式组 1.(1)解：解不等式①，得x≥1。解不等式②，得x>2。在同一条数轴上表示不等式① ②的解集，如图所示。 因此，原不等式组的解集为x>2 -101 345 (2)解：解不等式①，得x≥一2。解不等式②，得x<2。在同一条数轴上表示不等式① ②的解集，如图所示。 因此，原不等式组的解集为一2x -3-2-10123 <2。(3)解：解不等式①，得x≤1。解不等式②，得x<3。在同一条数轴上表示不等 式①②的解集，如图所示。 因此，原不等式组的解集为x -1012345 1。(4)解：解不等式①，得x≥7。解不等式②，得x<2。在同一条数轴上表示不等式 ①②的解集，如图所示。 一因此，原不等式组无解。 -10123456 (5)解：解不等式①，得x≥2。解不等式②，得x<4。在同一条数轴上表示不等式①② 的解集，如图所示。 一因此，原不等式组的解集为2≤x<4。 -1012345 (6)解：解不等式①，得x≥一4。解不等式②，得x3。在同一条数轴上表示不等式① ②的解集，如图所示。 因此，原不等式组的 -5-4-3-2-1012345 解集为一4≤x3.2.解：(1)解不等式①，得x>一4。解不等式②，得x2。在同一条 数轴上表示不等式①②的解集，如图所示。 -5 -4-3-2-1012345 因此，原不等式组的解集为一4<x≤2。(2)由(1)，得该不等式组的最小整数解为一3， 最大整数解为2，.最小整数解与最大整数解的和为-3十2=一1.3.解：解不等 式①，得x<2十1。解不等式②，得x>3m一3。因此，原不等式组的解集是3m一3<x 2士。：不等式组的解集是=6<x<3,一解得2m+ =2×(-1)十1=-1.4.解：解不等式①，得x<11。解不等式②，得x>2-3a。 :不等式组只有4个整数解，整数解为1,89,10。六6<2-3a<7。解得-号<a≤ 号.∴a的取值范围是- 5 4 <a≤-3 ,5.解：(1)①十②，得4x+4y=k十4。 第35页（共48页） ∴x十y=十十1。“方程组的解互为相反数，“x十y=0。“十k十1=0，解得k= -4(2)①-②，得2x-2)y=k-2。x-y=2-1.0<x-y<1,0<2k-1< 1。解得2<k<4。 阶段微测试（四） 1.D2.A3.C4.D5.A6.B7.x08.89.5或610.511.(1)解：解不 等式①，得x>一2。解不等式②，得x<2。在同一条数轴上表示不等式①②的解集， 如图所示。 因此，原不等式组的解集为一2<x<2。 -3-2-10123 (2)解：解不等式①，得x≤5。解不等式②，得x<4。在同一条数轴上表示不等式①② 的解集，如图所示。 因此，原不等式组的解集为x<4。 -1012345 12.解：解不等式②，得x>-5。不等式组的解集为x>-5,.m≤-5。 13.解： I)将D(m,子)代入=x十4，得子=m十4，解得m=-合.“点D的坐标为 (一是)将D(合名)代入%=-2x+6,得-2×()+6=子解得 5 1 。令y=x+4=0,解得x=-4,A(-4,0)。(2)-4<x<- ,14.解：(1)设A 商品的单价为工元，B商品的单价为y元。根据题意，得602十30，=1080，解得 50x+20y=880, x=16·答：A商品的单价为16元，B商品的单价为4元。(2)设购买A商品的件数为 {y=4。 则附天B有商品的件数为0由色科时2226解符12≤m 13。:m是整数，.m可取12,13。故有如下2种方案：方案一：m=12,2m-4=20,即 购买A商品12件，购买B商品20件；方案二：m=13,2m-4=22,即购买A商品13 件，购买B商品22件。 阶段微测试（五） 1.D2.A3.D4.C5.A6.B7.-38.x>-39.2010.-2711.(1)解： 去括号，得3x-6十1<-2x。移项、合并同类项，得5x<5。两边都除以5，得x<1。 (2)解：解不等式①，得x<2。解不等式②，得x≥1。在同一条数轴上表示不等式①② 的解集，如图所示。 一因此，原不等式组的解集为1≤x<2。 -3-2-10123 12.解：解不等式5-3x≤-1，得x≥2。.不等式5-3x≤-1的最小整数解是2。把 x=2代入不等式3(x-4)一6k>0,得3×(2-4)-6k>0,解得k<-1.13.解： (1):该不等式组无解，∴.一1≥1一k,解得≥2。(2)由题意，得该不等式组的解集为 一1<x1一k。.该不等式组恰好有2个整数解，.1≤1一k<2,解得一1<k0。 14.解：(1)根据题意，得=(80-50)x十(65-40)(200-x)=30x十5000-25x=5x 十5000。故与x之间的函数表达式为=5x十5000。(2)，购进两种T恤的总费 用不超过9500元，.50x十40(200-x)≤9500，解得x≤150。：0=5x十5000，k= 5>0,.随x的增大而增大。，.当x=150时，w有最大值，为5×150十5000= 5750(元)，200-150=50（件）.答：购进A种T恤150件，B种T恤50件可获得最大利润，最 大利润为5750元。 15.解：(1)解方程组二y=1十3a,得r=a3, {x+y=-7-a, {y=-2a-4。 :x为非 正数y为负数，/a一3≤0， -2a-4<0, 解得-2<a≤3。(2)由不等式2a.x-x>2a-1,得 (2a-1)x>2a-1.:不等式2ax-x>2a-1的解集为<1，∴2a-1<0,解得a<号。 :-2<a≤3，-2<a<z。又：a为整数，a=-1或0。 阶段微测试（六） 1.C2.D3.A4.C5.B6.B7.90°8.60°9.(4,2)10.√1011.解：(1)如 图，△ABC即为所求。 △ABC的面积=号×4×3=6。(2)如 2345 2 +4 第36页（共48页）