精品解析：辽宁沈阳市杏坛中学2025-2026学年下学期八年级数学阶段性作业反馈

八年级下阶段性作业反馈 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 某城市形象标识的图案如图所示，该图案由4个不同的图形构成，其中中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，在边上，，，交于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（ ） A. 64° B. 58° C. 68° D. 116° 7. 如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 8. 下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题的逆命题为假命题的是（ ） A. 等边三角形三个内角均为 B. 两直线平行，同位角相等 C. 内错角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 10. 书架上有本完全一样的书如图所示摆放着，除第本竖着外，从第本起适当倾斜，其平面图形，如图．点、、、、、、，在同一条直线上，，，，，．均为，依次类推，为保证最后一本书的顶点能在前一本书的边上，的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：_________． 12. 在龙岭学校的科技节开幕式上，一个无人机编队正在进行表演，以表演区域中心为原点建立平面直角坐标系，初始队形中，1号无人机位于点．表演第一个动作，所有无人机同时向右平移5个单位长度，此时1号无人机的位置坐标是_______． 13. 在中，，是边上的高，且，则是________三角形． 14. 小文同学需要购买一批图书，经了解发现，甲、乙两家书店的优惠方式如下： 书店 优惠方式 甲 所有图书按标价的八五折优惠 乙 总标价不超过150元的部分，按九折优惠 总标价超过150元的部分，按七折优惠 通过计算，小文发现在乙书店购买这批图书更加划算，那么这批图书的总标价高于______元． 15. 定义：我们称函数为一次函数（k，b为常数，）的m变函数（m为常数）．例如：一次函数的3变函数为，设一次函数的0变函数为，一次函数的m变函数为．若函数和函数的图象有且仅有两个交点，则m的最小值是________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 因式分解： （1）． （2）． 17. 解不等式，并在数轴上表示解集． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，， （1）画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 19. 如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，．则线段与相等吗？请说明理由． 20. 为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 21. 定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”；如A：，B：，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． （1）若关于x的不等式A：，B：，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； 22. 如图1，在中，为的中点，为的延长线上一点，连接交于点，过点作交的延长线于点，连接，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． （3）如图2，若，，，求的面积． 23. 在平面直角坐标系中，对于给定的两点，若存在点，使得的面积等于1，即，则称点为线段的“单位面积点”．解答下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）在点，，，中，线段的“单位面积点”是__________． （2）已知点，，将线段沿轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围． （3）已知点，，点是线段的两个“单位面积点”，点在的延长线上，若，直接写出点纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下阶段性作业反馈 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 某城市形象标识的图案如图所示，该图案由4个不同的图形构成，其中中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：左上角图形是中心对称图形； 右上角图形不是中心对称图形； 左下角图形不是中心对称图形； 右下角图形不是中心对称图形． 综上可得中心对称图形有1个． 故选：A． 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．解一元一次不等式的基本步骤是去分母、移项、系数化为1，注意不等号方向的变化，据此解答即可． 【详解】解：去分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 故选：C． 3. 如图，，在边上，，，交于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，求出和的度数，得出计算即可； 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ． 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念，把一个多项式化成几个整式的积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A．，等式右边不是整式积的形式，故此项不合题意． B．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． C．，符合因式分解的定义，故此项符合题意． D．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． 5. 如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键. 【详解】解：不等式组化为， 解集是， ， 解得：， 故选：D． 6. 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（ ） A. 64° B. 58° C. 68° D. 116° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．先根据旋转的性质，结合已知条件得到且，再由等腰三角形性质可得 ，最后在中，运用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点， ∴且， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，三角形形状的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 先根据平行线的性质得出，，求出，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，根据题意可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 8. 下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：点到、两边距离相等，  点在的角平分线上， 由作法可知，选项C中  为  的角平分线，选项A、B、D均不符合题意． 9. 下列命题的逆命题为假命题的是（ ） A. 等边三角形三个内角均为 B. 两直线平行，同位角相等 C. 内错角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质进行分析判断即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：三个内角均为的三角形是等边三角形，是真命题，故该选项不符合题意； B、原命题的逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、原命题的逆命题为：相等的角是内错角，是假命题，故该选项符合题意； D、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了逆命题，真假命题的判断，平行线的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质掌握相关定理是解题的关键． 10. 书架上有本完全一样的书如图所示摆放着，除第本竖着外，从第本起适当倾斜，其平面图形，如图．点、、、、、、，在同一条直线上，，，，，．均为，依次类推，为保证最后一本书的顶点能在前一本书的边上，的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，一元一次不等式的应用．根据题意可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：依题意，为保证最后一本书的顶点能在前一本书的边上， ∴ 解得：． ∴的最大值为． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式完成因式分解． 【详解】解： 12. 在龙岭学校的科技节开幕式上，一个无人机编队正在进行表演，以表演区域中心为原点建立平面直角坐标系，初始队形中，1号无人机位于点．表演第一个动作，所有无人机同时向右平移5个单位长度，此时1号无人机的位置坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移，根据平面直角坐标系中点的平移性质，向右平移5个单位长度，点的横坐标增加5，纵坐标不变即可解答． 【详解】解：点向右平移5个单位长度后，横坐标变为，纵坐标保持4不变，因此平移后的位置坐标是； 故答案为． 13. 在中，，是边上的高，且，则是________三角形． 【答案】等边或钝角等腰 【解析】 【分析】分为锐角和钝角两种情况，结合三角形高的定义和三角形内角和定理，计算出内角的度数，再根据等腰三角形的性质判断三角形形状即可． 【详解】解：分两种情况讨论： （1）如图，当为锐角时，在内部， 是边上的高， ， 又， ， ， 是等边三角形． （2）如图，当为钝角时，在外部，在的延长线上， 是边上的高， ， 又， ， ， ， 是钝角等腰三角形． 综上，是等边或钝角等腰三角形． 14. 小文同学需要购买一批图书，经了解发现，甲、乙两家书店的优惠方式如下： 书店 优惠方式 甲 所有图书按标价的八五折优惠 乙 总标价不超过150元的部分，按九折优惠 总标价超过150元的部分，按七折优惠 通过计算，小文发现在乙书店购买这批图书更加划算，那么这批图书的总标价高于______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，读懂两个书店的购书优惠活动，正确找出关系式是解题关键． 通过分别表示出在甲、乙书店购书的费用，根据乙店更划算列不等式求解． 【详解】设这批图书总标价为元，所以甲店费用为元． 当时，乙店总标价不超过元的部分按九折优惠，超过150元的部分按七折优惠， 所以乙店费用为元． 因为在乙书店购买更划算， 所以， 解得． 故这批图书的总标价高于200元． 故答案为：200． 15. 定义：我们称函数为一次函数（k，b为常数，）的m变函数（m为常数）．例如：一次函数的3变函数为，设一次函数的0变函数为，一次函数的m变函数为．若函数和函数的图象有且仅有两个交点，则m的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程组求出交点坐标结合函数图象，即可求解． 【详解】解：由题意：，， 解得两个函数的交点为，， 观察图象可知：函数和函数有且仅有两个交点时，的最小值是 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】此题考查了公式法-平方差公式、十字相乘法分解因式，掌握平方差公式，正确分解常数项是解题关键． 17. 解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】 ，把解集表示在数轴上，如下图： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤进行计算，并在数轴上表示解集，即可求解． 【详解】解：去括号，得： 移项，得： 合并同类项得， 解得 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，， （1）画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解答；点的坐标为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【小问2详解】 解：先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， 点的坐标为． 19. 如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，．则线段与相等吗？请说明理由． 【答案】 解：，理由如下： ∵，是的边上的高， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．先运用等腰三角形的性质得到，，再证明，最后根据全等三角形的性质证得． 【详解】略 20. 为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 【答案】八年级（1）班最多有名学生 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设八年级（1）班有名学生，则这批图书有本，根据如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本），列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设八年级（1）班有名学生，则这批图书有本， 由题意得： 解得：4， ∴八年级（1）班最少有名学生，最多有名学生， 答：八年级（1）班最多有名学生． 21. 定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”；如A：，B：，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． （1）若关于x的不等式A：，B：，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； 【答案】（1）A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式” （2） 【解析】 【分析】本题根据新定义“雅含”关系和“子式”的概念解题． （1）先解出不等式A的解集，再根据定义判断关系得到结论； （2）分别解出两个不等式的解集，根据C是D的“子式”列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围． 【小问1详解】 解：解不等式A：，得， ∵不等式B的解集为 ∴满足的数都满足 即B的所有解都是A的解， ∴A与B存在“雅含”关系，B是A的子式． 【小问2详解】 解：解不等式C得， 解不等式D得， ∵C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”， ∴， 解得． 22. 如图1，在中，为的中点，为的延长线上一点，连接交于点，过点作交的延长线于点，连接，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． （3）如图2，若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：延长至点，使，连接、， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，连接、，构造全等三角形，得到，，则，易知垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，结合已知的，等量代换即可证得是直角三角形，，再根据平行线的性质即可得证； （2）根据含角直角三角形的性质以及勾股定理可求得，的长，设，则，在中，根据勾股定理可表示出，再结合已知的，列方程求解即可； （3）取的中点，连接，根据中位线的判定与性质可求得的长，在中，利用勾股定理可求得的长，根据线段之间的和差关系可求得的长，设，在中，根据勾股定理可表示出，再结合已知的，列方程求解的长，最后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ，，， 设，则， ， ， 在中，， ， ，解得， 即； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， 为的中点， 是的中位线， ，， , 在中，， ， 为的中点， ， ， 设，则， ，， ，即， 解得， 即， 的面积为． 23. 在平面直角坐标系中，对于给定的两点，若存在点，使得的面积等于1，即，则称点为线段的“单位面积点”．解答下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）在点，，，中，线段的“单位面积点”是__________． （2）已知点，，将线段沿轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围． （3）已知点，，点是线段的两个“单位面积点”，点在的延长线上，若，直接写出点纵坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）由点的坐标得出，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）当点为线段的“单位面积点”时，，或，当点为线段的“单位面积点”时，，解得：或，即可得出结果； （3）先求出，得出线段的“单位面积点”在轴上或的直线上，则点在的直线与延长线的交点上，求出直线的解析式为：，则，是线段的“单位面积点”，则，， ①当点在轴上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围； ②当点在直线上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：如图1所示： 点的坐标为， ， 、、、， ，，， ， 点、点是线段的“单位面积点”， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图2所示： 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 线段上存在线段的“单位面积点”，的取值范围为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：点的坐标为，， ， 线段的“单位面积点”在轴上或的直线上， 点在的延长线上， 点在的直线与延长线的交点上，如图3所示： 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为：，则， 是线段的“单位面积点”， ， ， ①当点在轴上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或； ②当点在直线上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或． 综上， ①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、含绝对值不等式解法、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $